linear elasticity
引用彈簧運動來描述柔體運動。一維彈簧推廣成三維柔體，形成許多步驟，流程如下：
deformation x
-> deformation gradient F = ∇x
-> displacement gradient ∇u = F - I
-> strain ε = (∇u + (∇u)ᵀ) / 2
-> stress σ = - C : ε
-> velocity ⎰ ∂ρ/∂t + ∇∙(ρv) = 0
⎱ ∂(ρv)/∂t + ∇∙(ρv⊗v) + ∇∙σ = 0
柔體模擬，需要位置和速度。設定當前時刻的deformation。套用上述流程得到當前時刻的速度。套用下述任意一道數學公式，得到下個時刻的物理量。套用上述流程得到下個時刻的速度。
1. deformation gradient rate ∂F/∂t = ∇v
2. displacement rate ∂(∇u)/∂t = ∇v
3. strain rate ∂ε/∂t = (∇v + (∇v)ᵀ) / 2
prologue: deformation comes from joint motion
剛體運動和柔體運動採用了完全不同的策略。
剛體運動：細分為移動和轉動，形成兩套相似的物理量。
柔體運動：一律視作移動，只有一套物理量。
物體視作質點相連。運動視作質點運動。
旋轉運動：垂直於質點連接方向。
縮放運動：水平於質點連接方向。
旋轉運動、縮放運動，通通視作位移運動。
物理學沒有「縮放運動」這個詞彙。我們懷念他。
prologue: strain and stress come from spring
模仿了彈簧虎克定律。基本單位改成比率，於是另起名稱。
displacement Δx <-> strain ε
Hooke's constant k <-> Young's modulus E
force F = kΔx <-> stress σ = Eε
potential energy U = ½kΔx² <-> strain energy density Ψ = ½Eε²
length x
displacement Δx
strain ε = Δx/x (displacement per length)
area A
force F
stress σ = F/A (force per area)
volume V
potential energy U
strain energy density Ψ = U/V (potential energy per volume)
term 丨中文 丨原意丨定義
------------丨一一一丨一一丨一一一一一一一一一一一一一一一
strain 丨應變 丨繃緊丨物體邊長，每單位長度的長度差異
stress 丨應力 丨著重丨物體表面，每單位面積的力
基本單位改成比率，背後原因是微積分。物理學家喜歡用微積分來描述物理現象，而微分運算結果就是比率。
deformation
進入正題，開始介紹三維柔體。
三維物體形狀改變，利用數學的幾何變換來描述。
⎡x'⎤ ⎡x⎤
⎢y'⎥ = f(⎢y⎥) or x' = f(x)
⎣z'⎦ ⎣z⎦
物理學家令原座標是大寫字母，新座標是小寫字母。
⎡x⎤ ⎡X⎤
⎢y⎥ = f(⎢Y⎥) or x = f(X)
⎣z⎦ ⎣Z⎦
物理學家習慣用函數輸出符號x代替函數符號f。只需要注意x和X，不需要注意f。x的本質是函數，計算要特別小心。
f(X) ---> x(X)
物理學家習慣省略函數括號。本質仍是函數，計算要特別小心。
x(X) ---> x
deformation gradient
∂x
∇x = ——
∂X
⎡ ∂x ∂y ∂z ⎤
⎢ —— —— —— ⎥
⎢ ∂X ∂X ∂X ⎥
⎢ ⎥
⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥
∇x = ⎢ —— —— —— ⎥
⎢ ∂Y ∂Y ∂Y ⎥
⎢ ⎥
⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥
⎢ —— —— —— ⎥
⎣ ∂Z ∂Z ∂Z ⎦
流行的梯度定義：同一變數對不同變數微分是矩陣橫條。
本站的梯度定義：同一變數對不同變數微分是矩陣直條。
新長度∂x和原長度∂X的比率。x和X是數量，除法得到比率。x和X是函數，微分得到比率。
9個數值。物體切割成微小立方體，微小立方體有三個軸（分母），每個軸又有三個移動方向（分子）。
∂x
F = ——
∂X
物理學家習慣將deformation gradient重新標記成大寫F。以下只好把force重新標記成小寫f。
displacement
u = x - X
⎡ x - X ⎤
u = ⎢ y - Y ⎥
⎣ z - Z ⎦
新位置x與原位置X的差異。
3個數值。物體有三個軸，每個軸各有一個偏移量。
displacement gradient
∂u ∂(x-X)
∇u = —— = ——————
∂X ∂X
⎡ ∂(x-X) ∂(y-Y) ∂(z-Z) ⎤ ⎡ ∂(x-X) ∂y ∂z ⎤
⎢ —————— —————— —————— ⎥ ⎢ —————— —— —— ⎥
⎢ ∂X ∂X ∂X ⎥ ⎢ ∂X ∂X ∂X ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ∂(x-X) ∂(y-Y) ∂(z-Z) ⎥ ⎢ ∂x ∂(y-Y) ∂z ⎥
∇u = ⎢ —————— —————— —————— ⎥ = ⎢ —— —————— —— ⎥
⎢ ∂Y ∂Y ∂Y ⎥ ⎢ ∂Y ∂Y ∂Y ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ∂(x-X) ∂(y-Y) ∂(z-Z) ⎥ ⎢ ∂x ∂y ∂(z-Z) ⎥
⎢ —————— —————— —————— ⎥ ⎢ —— —— —————— ⎥
⎣ ∂Z ∂Z ∂Z ⎦ ⎣ ∂Z ∂Z ∂Z ⎦
新舊長度差異∂x-∂X與原長度∂X的比率。
9個數值。3個正向，6個側向。物理術語是normal displacement gradient和shear displacement gradient。
∇u = F - I
物理學家習慣用deformation gradient直接求得displacement gradient。正向扣掉原長度（比率1），側向不必扣掉原長度（側向的原長度是0）。恰是線性代數的恆等矩陣I。
strain
ε = (∇u + (∇u)ᵀ) / 2
⎡ ∂(x-X) 1 ⎛ ∂x ∂y ⎞ 1 ⎛ ∂x ∂z ⎞ ⎤
⎢ —————— — ⎜ —— + —— ⎟ — ⎜ —— + —— ⎟ ⎥
⎢ ∂X 2 ⎝ ∂Y ∂X ⎠ 2 ⎝ ∂Z ∂X ⎠ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 ⎛ ∂x ∂y ⎞ ∂(y-Y) 1 ⎛ ∂y ∂z ⎞ ⎥
ε = ⎢ — ⎜ —— + —— ⎟ —————— — ⎜ —— + —— ⎟ ⎥
⎢ 2 ⎝ ∂Y ∂X ⎠ ∂Y 2 ⎝ ∂Z ∂Y ⎠ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 ⎛ ∂x ∂z ⎞ 1 ⎛ ∂y ∂z ⎞ ∂(z-Z) ⎥
⎢ — ⎜ —— + —— ⎟ — ⎜ —— + —— ⎟ —————— ⎥
⎣ 2 ⎝ ∂Z ∂X ⎠ 2 ⎝ ∂Z ∂Y ⎠ ∂Z ⎦
⎡ εₓₓ εₓ εₓ ⎤
ε = ⎢ εₓ ε ε ⎥ where εₓ = εₓ, εₓ = εₓ, ε = ε
⎣ εₓ ε ε ⎦
本來，strain即是displacement gradient。
9個數值。3個正向，6個側向。物理術語是normal strain和shear strain。
後來，物理學家嘗試各種改造方式，以便得到各種彈性模型。strain是經過改造的displacement gradient。
其中一種改造方式：成對的shear strain，視作功效相同。數值重新設定成兩者平均數，使得數值相同。物理術語是Saint-Venant's compatibility condition。
仍是9個數值，但是只有6種數值。3種扯面、3種扯邊。
stress
⎡ σₓₓ σₓ σₓ ⎤
σ = ⎢ σₓ σ σ ⎥ where σₓ = σₓ, σₓ = σₓ, σ = σ
⎣ σₓ σ σ ⎦
物體切割成微小立方體。一個立方體有六個面。一個面有一個力。力除以表面積，形成壓力（向量）。一個壓力有3個分量。1個正向、2個側向。
一個立方體有6個壓力。兩個立方體的接觸面的壓力是相等的（方向相反）。一個立方體負責記錄3個壓力（colocated grid）。
9個數值。3個正向、6個側向。物理術語是normal stress和shear stress。
沿用先前的改造方式：成對的shear stress，數值相同。
仍是9個數值，但是只有6種數值。3種正向、3種側向。
linear elasticity與elastic modulus
σ = C : ε
ε is Cauchy strain tensor (order-2) (3x3)
σ is Cauchy stress tensor (order-2) (3x3)
C is elastic modulus tensor (order-4) (3x3x3x3)
: is double dot product
線性：模仿彈簧，但是不限相同方向。例如X軸strain可以得到Y軸stress。
9個strain，使用81個彈性係數，得到81個stress。相同方位的stress進行加總，最後得到9個stress。
物理學家寫成張量雙點積。計算學家寫成矩陣乘法。
tensor double dot product
⎡ σₓₓ σₓ σₓ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ εₓₓ εₓ εₓ ⎤
⎢ σₓ σ σ ⎥ = ⎢ C ⎥ : ⎢ εₓ ε ε ⎥
⎣ σₓ σ σ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ εₓ ε ε ⎦
₃ₓ₃ ₃ₓ₃ₓ₃ₓ₃ ₃ₓ₃
matrix product
⎡ σₓₓ ⎤ ⎡ Cₓₓₓₓ Cₓₓₓ ... ... ⎤ ⎡ εₓₓ ⎤
⎢ σₓ ⎥ ⎢ Cₓₓₓ Cₓₓ ... ... ⎥ ⎢ εₓ ⎥
⎢ σₓ ⎥ ⎢ Cₓₓₓ Cₓₓ ... ... ⎥ ⎢ εₓ ⎥
⎢ σₓ ⎥ ⎢ Cₓₓₓ Cₓₓ ... ... ⎥ ⎢ εₓ ⎥
⎢ σ ⎥ = ⎢ Cₓₓ Cₓ ... ... ⎥ ⎢ ε ⎥
⎢ σ ⎥ ⎢ Cₓₓ Cₓ ... ... ⎥ ⎢ ε ⎥
⎢ σₓ ⎥ ⎢ Cₓₓₓ Cₓₓ ... ... ⎥ ⎢ εₓ ⎥
⎢ σ ⎥ ⎢ Cₓₓ Cₓ ... ... ⎥ ⎢ ε ⎥
⎣ σ ⎦ ⎣ Cₓₓ Cₓ ... ... ⎦ ⎣ ε ⎦
₉ₓ₁ ₉ₓ₉ ₉ₓ₁
沿用先前的改造方式：只有36種彈性係數。
6種strain、36種彈性係數、6種stress的矩陣乘法。索引值重新安排，3種正向、3種側向。物理術語是Voigt notation。
Voigt notation
⎡ σₓₓ ⎤ ⎡ Cₓₓₓₓ Cₓₓ ... ... ⎤ ⎡ εₓₓ ⎤
⎢ σ ⎥ ⎢ Cₓₓ C ... ... ⎥ ⎢ ε ⎥
⎢ σ ⎥ = ⎢ Cₓₓ C ... ... ⎥ ⎢ ε ⎥
⎢ σₓ ⎥ ⎢ Cₓₓₓ Cₓ ... ... ⎥ ⎢ εₓ ⎥
⎢ σₓ ⎥ ⎢ Cₓₓₓ Cₓ ... ... ⎥ ⎢ εₓ ⎥
⎣ σ ⎦ ⎣ Cₓₓ C ... ... ⎦ ⎣ ε ⎦
₆ₓ₁ ₆ₓ₆ ₆ₓ₁
isotropic linear elasticity與Lamé's parameters
σ = λ tr(ε) I + 2με
⎧ σₓₓ = λ(εₓₓ + ε + ε) + 2μ εₓₓ
⎪ σ = λ(εₓₓ + ε + ε) + 2μ ε
⎨ σ = λ(εₓₓ + ε + ε) + 2μ ε
⎪ σₓ = σₓ = 2μ εₓ
⎪ σₓ = σₓ = 2μ εₓ
⎩ σ = σ = 2μ ε
λ is something like bulk modulus.
μ is both normal modulus and shear modulus.
均向性：抱歉，我不知道這究竟是什麼。
此處的均向性，獨樹一格。它不是isotropic tensor、也不是isotropic transform、更不是rotational invariance。
上述數學式子，許多物理書籍均有提及，但是我無法理解前因後果。我把它當作輕小說設定。古人幻想出來的數學公式。詳情請見專著《Linear and Nonlinear Structural Mechanics》。
又線性又均向性又改造的情況下，根據輕小說設定，只需紀錄兩個彈性係數。物理術語是Lamé's parameters。
Poisson's ratio
ν = - εₓ / ε
2個normal strain的比例。肉眼可見，相當直覺。
一般來說，一個維度被擠壓，其他維度會拉伸。因此加上負號。
isotropic linear elasticity與Poisson's ratio
λ = Eν / (1+ν)(1-2ν)
μ = E / 2(1+ν)
又線性又均向性又指定strain比例又改造的情況下，根據輕小說設定，只需紀錄一個彈性係數。姑且稱作Young's modulus。
大家習慣自訂Young's modulus和Poisson's ratio，間接求得Lamé's parameters。
Navier–Cauchy equation
流體方程組＋線性彈性＝柔體方程組。
流體方程組其中一項是應力。藉由流體方程組，以應力求速度。應力有許多種設定方式。先前是應力與應變率成正比（牛頓流體）。此處是應力與應變呈線性關係（線性彈性）。
我習慣讓應力σ添加負號，形成恢復力。
大家習慣省略壓力p，納入應力。
⎧ ∂ρ/∂t + ∇∙(ρv) = 0 mass transport
⎨ ∂(ρv)/∂t + ∇∙(ρv⊗v) + ∇∙σ = 0 momentum transport
⎩ σ = - C : ε linear elasticity
有人追加不可壓縮，表示成物質導數。
某些流體不可壓縮。柔體肯定可以壓縮，不適合這樣做。
⎧ Dρ/Dt = 0
⎨ D(ρv)/Dt + ∇∙σ = 0
⎩ σ = - C : ε
有人追加均向性，表示成Lamé's parameters。
推導過程請見維基百科。
⎰ Dρ/Dt = 0
⎱ D(ρv)/Dt - (λ+μ) ∇∇∙u - μ ∇∙∇u = 0
σ = -(λ tr(ε) I + 2με)
∇∙σ = -((λ+μ)∇∇∙u + μ∇∙∇u)
延伸閱讀：σ is wrong!
物理學家認為應變與應力同向。σ = C : ε。
我認為在流體方程組當中必須反向。σ = - C : ε。
換句話說，我認為流體方程組的σ是恢復力。
我將解釋理由。
一、虎克定律。
fₑₓₜ = k Δx
fᵢₙₜ = -k Δx
彈簧力有兩種定義。視情況帶負號。
形變力（外力）：施力導致移位。移位與力同向。
恢復力（內力）：移位導致反彈。移位與力反向。
二、作用力與反作用力定律（動量守恆）。
fᵢₙₜ + fₑₓₜ = 0
-fᵢₙₜ = fₑₓₜ
k Δx = fₑₓₜ
動量守恆，內力外力相加等於零。
讓等號左側是運動量，讓等號右側是外力，那麼等號左側帶正號。
三、功能定理。
W = ΔK = fΔx = maΔx = ½mΔ(v²) ---> K = ½mv²
W = ΔU = fΔx = mgΔx ---> U = mgh
力ｘ移位＝功。功是能量差異。
四、力學能守恆定律（能量守恆）。
K + U = Eₜₒₜₐₗ
½mv² + mgh = Eₜₒₜₐₗ
能量守恆，動能位能相加等於某個常數。
讓等號左側是動能位能，讓等號右側是總和，那麼等號左側帶正號。
五、連續方程式。
朝外為正：物理量增加為正值。物理量朝外流動為正值。形成相加。
朝內為正：物理量增加為正值。物理量朝內流動為正值。形成相減。
進一步移項，形成相等。
∂(ρv)/∂t + ∇∙(ρv⊗v) = 0
^^^^^^^^ ^^^^^^^^
temporal spatial
change change
連續方程式有兩種定義。大家採用「朝外為正值」。
為何採用朝外呢？難道不能朝內嗎？背後原因是微積分。使用微積分描述流動守恆，於是迎合微積分的規矩。如此而已。
散度：朝外為正值。
梯度：右大於左為正值。
另一方面，採用「朝外為正值」，數學式子形成相加，恰好符合能量守恆的格式。完美詮釋「流動守恆，總和為定值」。
六、流體方程組。
∂(ρv)/∂t + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇p + ∇∙σ = 0
^^^^^^^^ ^^^^^^^^ ^^^^^^^ ^^^^^^^ ^^^^^^^
temporal spatial order-0 order-1 order-2
change change tensor tensor tensor
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
kinetic potential
force density force density
追加三項，重力密度ρg、壓力p、應力σ。我認為它們宛如位能。我認為等號左側應該帶正號。
p考慮正向。σ考慮正向和側向。線性彈性當中，p是σ的特例，兩者可以整併，只留下σ。
七、牛頓流體。
σ = - ν (∂ε/∂t)
^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^
stress viscosity strain rate
^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^
damping damping velocity
coefficient
應變率視作速度，整個式子其實就是阻尼！
阻尼減緩速度。阻尼與速度反向，總是帶負號。
讓應變與應力反向，牛頓流體自然而然帶負號，牛頓流體自然而然是阻尼。阻尼＝黏滯。完美詮釋「該係數是負面詞彙黏滯係數，而不是正面詞彙流暢係數」。
∂(ρv)/∂t + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇p - ν ∇∙∇v = 0
^^^^^^
damping
擴散帶負號，也就是阻止擴散。
八、線性彈性。
σ = - C : ε
^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^
stress elastic modulus strain
應變視作移位，整個式子其實就是彈簧的恢復力（的密度）！
∂(ρv)/∂t + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇p - ∇∙(C:ε) = 0
^^^^^^^
restoring force density
彈簧力帶負號，也就是恢復力（的密度）。
九、心得感想。
我認為流體方程組、柔體方程組當中，應變與應力反向。
如此一來，流體方程組、柔體方程組，更容易理解。
我希望往後的物理教科書也能採用這種方式。
σ是恢復力。這樣才是正港的彈性！
rate of physical quantities
物理量對時間微分，整理成速度梯度。數學公式推導過程如下。
1. deformation gradient rate ∂F/∂t = ∇v
∂F/∂t
= ∂/∂t F operator notation
= ∂/∂t (∂/∂X u + I) ∇u = F - I
= ∂/∂t ∂/∂X u + ∂/∂t I distributive law
= ∂/∂t ∂/∂X u derivative of constant is 0
= ∂/∂X ∂/∂t u commutative law
= ∂/∂X v v = ∂u/∂t
= ∂v/∂X fraction notation
2. displacement rate ∂(∇u)/∂t = ∇v
u = x - X by definition
∂/∂t u = v by definition
∂/∂X ∂/∂t u = ∂/∂X v apply ∂/∂X to both sides
∂/∂t ∂/∂X u = ∂/∂X v commutative law
3. strain rate ∂ε/∂t = (∇v + (∇v)ᵀ)/2
ε = (∇u + (∇u)ᵀ)/2 by definition
∂/∂t ε = ∂/∂t (∇u + (∇u)ᵀ)/2 apply ∂/∂t to both sides
∂/∂t ε = (∇v + (∇v)ᵀ)/2 commutative law
有人修改速度梯度的定義，數學公式變得不太一樣。
1. deformation gradient rate ∂F/∂t = L F
∇v = dv/dX initial coordinates X
L = dv/dx current coordinates x
∂F/∂t
= ∂v/∂X ∂F/∂t = ∇v
= ∂v/∂x ∂x/∂X chain rule
= L F
