第 5 章 檢定
在計量或統計上，估計完畢後的問題就是檢定或診斷。本章整理出幾個實證研究使用的檢定。
5.1 固定效果模型之下個別效果的顯著性檢定
如果估計的模型設定是「固定效果」，我們就要檢定，用擴張的虛擬變數矩陣(LSDV)方法所估計出的個別效果，是否統計上不顯著(Statistical insignificance)？虛無假設如下：
\[
{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}}={{\mu }_{2}}=\cdots {{\mu }_{N-1}}=0
\]
像上面的虛無假設，也隱含了橫斷面N的異質性是否可以統計上不顯著，或可忽略？
檢定的方法如標準的 \(F\) 統計量，類似ANOVA的概念，建立在殘差平方和(RSS=Residual Sum of Squares)。如下：
\[
Cross \;section\text{ }F=\frac{\frac{RRSS-URSS}{N-1}}{\frac{URSS}{NT-N-K}}
\]
除了 \(F\) 檢定，另一個方是就是概似比率(Likelihood ratio, LR)檢定，\(LR\) 檢定量在漸進上是卡方分配，所以一般也稱為卡方檢定。
\[
Cross \;section\text{ }LR=2(\log {{L}_{U}}-\log {{L}_{R}})
\]
R 有兩個作法，第1個是pFtest，如下：
##
## F test for individual effects
##
## data: EQ
## F = 76.705, df1 = 47, df2 = 762, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: significant effects第1個是pFtest，如下：
##
## F statistic
##
## data: Eq
## F = 76.705, df1 = 47, df2 = 762, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: unstability
讀者將兩個結果比較一看，會發現兩個結果的F值都一樣，只是()內的物件次序不同。pooltest()的概念其實是Chow test for stability，但是所建構的檢定量和poolability 之pFtest()是一樣的。可以從兩個結果最後一行alternative hypothesis得知其虛無假設。
5.2 隨機效果模型之下的個別效果
這個檢定和上面一樣的，但是，是檢定由隨機效果估計後的模型。如果是單維模型，虛無假設為
\[
{{H}_{0}}:\sigma _{\mu }^{2}=0
\]
如果是雙維模型，則虛無假設為
\[
{{H}_{0}}:\sigma _{\mu }^{2}=\sigma _{\lambda}^{2}=0
\]
此虛無假設是說：橫斷面效果的變異數為0，也就是i沒有橫斷面差異，或是隨機效果產生的\(N\)個個別效果，統計上沒有顯著差異(Statistical insignificance)。對於檢定，最常用的是Breusch and Pagan (1980) 提出的LM檢定量。這個檢定量須要的一個重要資訊是殘差的常態分配概似函數，如下
\[
\tag{5.1}
L(b,\theta )=\text{constant}-\frac{1}{2}\log |\Omega |-\frac{1}{2}{u}'{{\Omega }^{-1}}u
\]
Eq.(5.1)中，b為解釋變數之估計係數，如果是雙維模型，參數向量\(\theta\)為\({\theta }'=(\sigma _{\mu }^{2},\sigma _{\lambda }^{2},\sigma _{\varepsilon }^{2})\)；如果是單維，則\({\theta }'=(\sigma _{\mu }^{2},\sigma _{\varepsilon }^{2})\)
Breusch and Pagan (1980) 建構之檢定計量，須要對Eq.(5.1)做偏微分取出資訊矩陣(information matrix)。處理後如下：
第2個檢定量LM1針對單獨的個別效果，如下：
\[
{{H}_{0}}:\sigma _{\mu }^{2}=0
\]
\[
\tag{5.2A}
LM_1=A^2
\]
\(A=\sqrt{\frac{NT}{2(T-1)}}\left[ \frac{{\tilde{u}}'({{\mathbf{I}}_{\mathbf{N}}}\otimes {{\mathbf{\tau }}_{\mathbf{T}}})\tilde{u}}{{\tilde{u}}'\tilde{u}}-1 \right]\)
第2個檢定量LM2，則是針對單獨的期間效果，如下：
\[
{H_0}:\sigma _{\lambda }^{2}=0
\]
\[
\tag{5.2B}
LM_2=B^2
\]
\(B=\sqrt{\frac{NT}{2(N-1)}}\left[ 1-\frac{{\tilde{u}}'({{\mathbf{\tau }}_{\mathbf{N}}}\otimes {{\mathbf{I}}_{\mathbf{T}}})\tilde{u}}{{\tilde{u}}'\tilde{u}} \right]\)
Breusch-Pagan的 LM統計量十分簡便，只須要OLS之下的殘差 即可，這也是這個檢定很普及的原因。Panel Data 大師 Baltagi (1981a) 對Breusch-Pagan的 LM的性質作了模擬測試，發現Breusch-Pagan的LM檢定力(Power)和型一誤差(Size)的表現都相當好。只有當被檢定的變異數趨近0時，會產生變異數估計為負的狀況，而有不好的表現。
以LM為基礎，學者們紛紛提出LM的修正檢定量。Breusch-Pagan 的LM檢定量假設了對立假設是雙尾，但是，變異數不會有負值，因此，更準的檢定須要對立假設為單尾才正確。 Honda (1985) 對此提出了修正的uniformly most powerful 統計量，他的統計量honda是對LM1開根號的簡單變化，檢定如下：
\[
{{H}_{0}}:\sigma _{\mu }^{2}=0
\]
\[
\tag{5.3}
\text{honda}=\sqrt{\frac{NT}{2(T-1)}}\left[ \frac{{\tilde{u}}'({{\mathbf{I}}_{\mathbf{N}}}\otimes {{\mathbf{\tau }}_{\mathbf{T}}})\tilde{u}}{{\tilde{u}}'\tilde{u}}-1 \right]\sim N(0,1)
\]
Honda (1985) 的統計量證明為標準常態分配，其實也是LM1的A之翻版，然而他主要的貢獻為證明了honda檢定量，在非常分配時的穩健性(robustness)。對於這個檢定量標準常態分配性質，如果解釋變數很多時或解釋變數之間有高度線性重和時，檢定表現會不好，詳細的理論，讀者可以參考 Moulton and Randolph (1989)
在Honda的架構， King and Wu (1997) 提出locally mean most powerful的單邊檢定，這個檢定量和Honda 的honda 統計量一致，漸進上也是標準常態分配。
\[
{{H}_{0}}:\sigma _{\mu }^{2}=0
\]
\[
\tag{5.4}
KW=\sqrt{\frac{NT}{2(N-1)}}\left[ \frac{{\tilde{u}}'({{\mathbf{\tau }}_{\mathbf{N}}}\otimes {{\mathbf{I}}_{\mathbf{T}}})\tilde{u}}{{\tilde{u}}'\tilde{u}}-1 \right]\sim N(0,1)
\]
KW其實也是LM2的B之翻版。如果要檢定兩者，也就是結合檢定
\[
{{H}_{0}}:\sigma _{\mu }^{2}=\sigma _{\lambda }^{2}=0
\]
Breusch-Pagan的雙尾檢定LM，就是 \(LM_{1}+LM_{2} \sim \chi^2(2)\)
\[
\tag{5.5}
\begin{align}
LM &=\frac{NT}{2(T-1)}{{\left[ 1-\frac{{\tilde{u}}'({{\mathbf{I}}_{\mathbf{N}}}\otimes {{\mathbf{\tau }}_{\mathbf{T}}})\tilde{u}}{{\tilde{u}}'\tilde{u}} \right]}^{2}} \\
& +\frac{NT}{2(N-1)}{{\left[ 1-\frac{{\tilde{u}}'({{\mathbf{\tau }}_{\mathbf{N}}}\otimes {{\mathbf{I}}_{\mathbf{T}}})\tilde{u}}{{\tilde{u}}'\tilde{u}} \right]}^{2}} \\
\end{align}
\]
Honda (1985) 論文沒有直接在理論上處理這個結合檢定虛無假設，只是建議了一個很方便的做法，就是(5.3)+(5.4)再除根號2。
\[
\tag{5.6}
honda2:\frac{honda+KW}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)
\]
Eq.(5.6)的漸進性質，也是標準常態分配。
Baltagi and Li (1992) 修正KW型的locally mean most powerful檢定，來處理這個結合檢定。
\[
KW2=\frac{\sqrt{T-1}}{\sqrt{N+T-2}}honda+\frac{\sqrt{N-1}}{\sqrt{N+T-2}}KW\sim N(0,1)
\]
這個檢定量的漸進性質，也是標準常態分配。
最後，我們介紹 Gouriéroux, Holly, and Monfort (1982) 的卡方檢定量。LM的問題是當變異數很小時，容易在估計時估成負值，在結合檢定中，只要任一個變異數成分為婦的檢定就會出現問題，就算兩者相加後抵銷了負值，這個問題也持續的干擾了檢定量的表現。GHM的檢定量則利用了賦予條件的方式，建構統計量。 Baltagi and Li (1992) 進一步的修正為混和卡方分配，更為完整易解，我們用下標 \(m\) 代表混和(mixed)一詞。概念如下：
\[
\chi _{m}^{2}=\left\{ \begin{matrix}
L{{M}_{1}}+L{{M}_{2}} \\
L{{M}_{1}} \\
L{{M}_{2}} \\
0 \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
{} \\
{} \\
{} \\
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{} \\
{} \\
{} \\
{} \\
\end{matrix}\begin{matrix}
\text{if A}>\text{0,B}>\text{0} \\
\text{if A}>\text{0,B}\le \text{0} \\
\text{if A}\le \text{0,B}>\text{0} \\
\text{if A}\le \text{0,B}\le \text{0} \\
\end{matrix}
\]
GHM的檢定量也是卡方分配。
執行這四個檢定量時，要注意，這四個檢定量，執行GHM 和KW時，必須估計「雙維」模型。另外兩者，單維雙維模式皆可。R實做如下：
R Code: Honda統計量，檢定「單維」隨機效果之個別效果是否為0。
##
## Lagrange Multiplier Test - (Honda)
##
## data: Eq
## normal = 63.708, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: significant effects
R Code: Breusch-Pagan統計量，檢定「單維」隨機效果之個別效果是否為0。
##
## Lagrange Multiplier Test - (Breusch-Pagan)
##
## data: Eq
## chisq = 4058.7, df = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: significant effectsR Code: GHM統計量，檢定「雙維」隨機效果之個別效果是否為0
##
## Lagrange Multiplier Test - two-ways effects (Gourieroux, Holly and
## Monfort)
##
## data: Eq
## chibarsq = 4060.3, df0 = 0.00, df1 = 1.00, df2 = 2.00, w0 = 0.25, w1 =
## 0.50, w2 = 0.25, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: significant effectsR Code: KW統計量，檢定「雙維」隨機效果之個別效果是否為0
##
## Lagrange Multiplier Test - two-ways effects (King and Wu)
##
## data: Eq
## normal = 33.219, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: significant effects
由 p-value可知，橫斷面 \(N\) 具有隨機形式的差異性，估計時必須納入考慮。R 的這個檢定，彈性蠻多。
plmtest()是檢定隨機效果設定下的個別效果是否皆相等(無差異)，effect 和 type都有多種選項：
effect: 有3種
“individual”
“time”
“twoways”
type: 有4種。
honda = Honda (1985) , 是內定檢定量；
bp = Breusch and Pagan (1980) Random Effects LM test；
ghm = Gouriéroux, Holly, and Monfort (1982) 檢定量；
kw = King and Wu (1997) 檢定量
5.3 隨機效果vs.固定效果
隨機效果較好還是固定效果較好，是一個須要檢定的問題。在計量上我們使用著名的 Hausman (1978) Test for random effect。虛無假設表示如下：
\[
H_{0}:E(u_{it}|X_{it})=0
\]
此虛無假設檢定的是解釋變數和殘差無關，也就是無內生性。其檢定量為
\[
\tag{5.8}
hausman=\frac{({{{\hat{b}}}_{RE}}-{{{\hat{b}}}_{FE}}{)}'({{{\hat{b}}}_{RE}}-{{{\hat{b}}}_{FE}})}{{\hat{\Sigma }}}
\]
Eq.(5.8)中，\(\hat{\Sigma }=\operatorname{var}({{\hat{b}}_{FE}})-\operatorname{var}({{\hat{b}}_{RE}})\) ；下標符號 RE 代表隨機效果，FE 代表固定效果。
虛無假設的條件期望值其實就是一個線性迴歸。在虛無假設之下，個別效果、殘差和解釋變數間統計上無關。因為\({{u}_{it}}={{\mu }_{i}}+{{v}_{it}}\) ，所以個別效果是殘差的一部份，與殘差無關，也就是與殘差內的成分無關。如之前所說，隨機效果是橫斷面個別項和解釋變數之間的關係是隨機的，也就是說這關係的期望值是0，也就是統計上無關。
因此，這個虛無假設其實就是內生性檢定：在虛無假設正確的前提，代表殘差，或個別效果項，和解釋變數無關，或無內生性。這樣的情形，隨機效果GLS估計的結果，比固定效果的固定效果的LSDV要好。
所以，接受虛無假設，是說隨機效果「比較好」，而不是說隨機效果是「正確」的設定，固定效果不正確。Hausman 檢定是一種推論，建立在內生性存在與否的推論。用「正確」與否看待 Hausman檢定 檢定的結果，過於沈重。
Hausman Test 的精神是內生性檢定，解說摘要如下：
第1.當虛無假設H0被接受。
A. 隨機效果GLS和固定效果LSDV估計的參數都是一致(consistent)的。
B. 隨機效果比固定效果設定的估計的變異數要有效率(efficient)。
第2. 當虛無假設H0被拒絕。
A. 隨機效果GLS估計式則不一致(inconsistent)。
B. 固定效果LSDV的估計參數，仍然是一致的。
接下來說明一下Hausman檢定的代數結構。令\(q={{\hat{b}}_{RE}}-{{\hat{b}}_{FE}}\) ，如果H0是正確的，則滿足兩項條件：
\(\text{p}\lim \text{ }q=0\) 和 \(\operatorname{cov}(q,{{\hat{b}}_{RE}})=0\)
因為 \({{\hat{b}}_{RE}}-\beta ={{({X}'{{\Omega }^{-1}}X)}^{-1}}{X}'{{\Omega }^{-1}}u\)
和\({{\hat{b}}_{FE}}-\beta ={{({X}'{{Q}^{-1}}X)}^{-1}}{X}'{{Q}^{-1}}u\)
所以，E(q)=0 且
\[
\begin{align}
\operatorname{cov}({{{\hat{b}}}_{RE}},q)&=\operatorname{var}({{{\hat{b}}}_{RE}})-\operatorname{cov}({{{\hat{b}}}_{RE}},{{{\hat{b}}}_{FE}}) \\
& ={{({X}'{{\Omega }^{-1}}X)}^{-1}}-{{({X}'{{\Omega }^{-1}}X)}^{-1}}{X}'{{\Omega }^{-1}}E(u{u}')QX{{({X}'QX)}^{-1}} \\
& ={{({X}'{{\Omega }^{-1}}X)}^{-1}}-{{({X}'{{\Omega }^{-1}}X)}^{-1}} \\ &=0
\end{align}
\]
又由\({{\hat{b}}_{FE}}={{\hat{b}}_{RE}}-q\) ，可得
\[
\begin{align}
\operatorname{var}({{{\hat{b}}}_{FE}})&=\operatorname{var}({{{\hat{b}}}_{RE}})-2\operatorname{cov}({{{\hat{b}}}_{RE}},q)+\operatorname{var}(q)\text{ } \\
& = \operatorname{var}({{{\hat{b}}}_{RE}})+\operatorname{var}(q) \\
& \because \operatorname{cov}({{{\hat{b}}}_{RE}},q)=0 \\
\end{align}
\]
故
\[
\tag{5.9}
\begin{align}
\operatorname{var}(q) &= \operatorname{var}({{{\hat{b}}}_{FE}})-\operatorname{var}({{{\hat{b}}}_{RE}}) \\
&=\sigma _{\varepsilon }^{2}{{({X}'QX)}^{-1}}-{{({X}'{{\Omega }^{-1}}X)}^{-1}} \\
\end{align}
\]
因此，我們可以得到Eq.(5.8)檢定量的分母 \(\Sigma\) 。執行Hausman test判斷 「隨機效果vs.固定效果」的R程式如下：
##
## Hausman Test
##
## data: Eq
## chisq = 25.628, df = 6, p-value = 0.0002611
## alternative hypothesis: one model is inconsistent使用phtest()必須注意：第1個物件必須是隨機效果估計結果之物件(gsp_re)，第2個是固定效果估計結果的物件(gsp_fe)。次序不可以換。
根據 p-value 拒絕無內生性之虛無假設，這個模型的個別效果和解釋變數之間有內生性。因此，固定效果設定估計的參數，會比隨機效果的結果較好。
在進行實證研究的時候，有些時候會困惑於固定效果和隨機效果的選擇。計量學者對此的看法相當一致，並不會以統計檢定當作上帝。可以摘要如下：
第1.依據統計條件判斷，好比特定檢定量如Hausman test，Likelihood ratio test等等，或其他有關內生性問題以及配適度比較的統計檢定。
第2.依照資料的屬性。如果您模型的解釋變數有一些是特徵啞變數，例如，「男性=1, 女性=0」或「產業代號」等等數據。這些數據使用固定效果時，因為 \(Q-transform\) 的移除平均數動作，將這些資料都移除了。如果這些資料前的係數，對研究是重要的，研究者，自然須要使用隨機效果。
5.4 序列相關檢定
追蹤資料的時間維度這麼小，和時間有關的序列相關檢定重要嗎？要解釋它的重要性，我們這樣來看問題。
綜合前面的寫法，我們先重述一下重要的基本觀念。如一個panel data迴歸方程式：
\[
\tag{5.10A}
{{y}_{it}}=a+b{{x}_{it}}+{{u}_{it}}
\]
\(u_{it}\) 是複合殘差成分(composite errors)，因此可以寫成
\[
{{u}_{it}}={{\mu }_{i}}+{{\varepsilon }_{it}}
\]
所以，也可以寫成 Eq.(5.10A)
\[
\tag{5.10B}
{{y}_{it}}=a+b{{x}_{it}}+{{\mu }_{i}}+{{\varepsilon }_{it}}
\]
\(Q-transform\) 後的固定效果方程式可以寫成
\[
y_{it} - \bar{y}_{i}=b(x_{it}-\bar{x}_{1i})+(\varepsilon_{it}-\bar{\varepsilon}_{i})
\]
在固定效果之下， \(Q-transform\) 就是對資料作time-demean。time-demean 之後，就是一個pooled OLS regression。對於pooled regression 相對有效率的要件，就是殘差也是「同質變異」且「無序列相關」，也就是 也是「同質變異」且「無序列相關」，也就是 \((\varepsilon_{it}-\bar{\varepsilon}_{i})\) 也是「同質變異」且「無序列相關」，也就是
\(\operatorname{var}\left( {{\varepsilon }_{it}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}} \right)=E{{({{\varepsilon }_{it}}-{{\bar{\varepsilon }}_{i}})}^{2}}-{{\left[ E({{\varepsilon }_{it}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}}) \right]}^{2}}\)
因為 \(E({{\varepsilon }_{it}}-{{\bar{\varepsilon }}_{i}})={{\bar{\varepsilon }}_{i}}-{{\bar{\varepsilon }}_{i}}=0\)
故
\[
\tag{5.12}
\begin{align}
\operatorname{var}\left( {{\varepsilon }_{it}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}} \right)&=E{{({{\varepsilon }_{it}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}})}^{2}}=E(\varepsilon _{it}^{2}-2{{\varepsilon }_{it}}{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}}+\bar{\varepsilon }_{it}^{2}) \\
& =E(\varepsilon _{it}^{2})-2E({{\varepsilon }_{it}}{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}})+E(\bar{\varepsilon }_{it}^{2}) \\
& =\sigma _{\varepsilon }^{2}-2E({{\varepsilon }_{it}}\frac{\sum{{{\varepsilon }_{it}}}}{T})+E{{(\frac{\sum{{{\varepsilon }_{it}}}}{T})}^{2}} \\
& =\sigma _{\varepsilon }^{2}-\frac{2\sigma _{\varepsilon }^{2}}{T}+\frac{T\sigma _{\varepsilon }^{2}}{{{T}^{2}}} \\
& =\sigma _{\varepsilon }^{2}-\frac{2\sigma _{\varepsilon }^{2}}{T}+\frac{\sigma _{\varepsilon }^{2}}{T} \\
& =\sigma _{\varepsilon }^{2}(\frac{T-1}{T}) \\
\end{align}
\]
Eq.(5.12)的得出是基於\({{\varepsilon }_{it}}\sim iid(0,\sigma _{\varepsilon }^{2})\)，故
\(E{{\varepsilon }_{it}}{{\varepsilon }_{is}}=0,s\ne t\)
且
\(E{{\varepsilon }_{it}}{{\varepsilon }_{is}}=\sigma _{\varepsilon }^{2},s=t\)
所以大多數的交叉乘積都可以消除。Eq.(5.12)的結果，確認了time-demean的殘差
\((\varepsilon_{it}-\bar{\varepsilon}_{i})\) 的非條件(unconditional)同質變異為
\(\sigma_{\varepsilon }^{2}(\frac{T-1}{T})\)
再來就是 \((\varepsilon_{it}-\bar{\varepsilon}_{i})\) 的序列相關，可由不同期 \(s \ne t\) 共變異數導出來
\[
\begin{align}
& E[({{\varepsilon }_{it}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}})({{\varepsilon }_{is}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}})] \\
& =E[{{\varepsilon }_{it}}{{\varepsilon }_{is}}]-E[{{\varepsilon }_{it}}{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}}]-E[{{\varepsilon }_{is}}{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}}]+E[\bar{\varepsilon }_{i}^{2}] \\
& =0-\frac{\sigma _{\varepsilon }^{2}}{T}-\frac{\sigma _{\varepsilon }^{2}}{T}+-\frac{\sigma _{\varepsilon }^{2}}{T} \\
& =-\frac{\sigma _{\varepsilon }^{2}}{T}<0 \\
\end{align}
\tag{5.14}
\]
Eq.(5.14)的相關係數就是固定效果設定下(5.11)的序列相關，這個式子，有2個含意：
(1)固定效果設定之下的殘差項，具有負的序列相關。
(2)隨著時間增加序列相關會遞減，\(T \to \infty\) 時，序列相關的影響就會消失。
估計隨機效果時，不是將方程式想成 Eq.(5.10B)的樣子，隨機效果是共變異數矩陣，就是如下Eq.(3.9)，
\({{\Omega }_{\mu ,\varepsilon }}={{\text{I}}_{\text{N}}}\otimes {{\Sigma }_{\mu ,\varepsilon }}=\sigma _{\mu }^{2}\left( {{\text{I}}_{\text{N}}}\otimes {{\text{J}}_{\text{N}}} \right)+\sigma _{\varepsilon }^{2}\left( {{\text{I}}_{\text{N}}}\otimes {{\text{I}}_{\text{T}}} \right)\)
只和個別效果的變異數 \(\sigma^2_{\mu}\) 和殘差變異數 \(\sigma^2_{\varepsilon}\) 有關。故，
\[
\operatorname{cov}({{u}_{it}},{{u}_{is}})=\left\{ \begin{align}
& \sigma _{\mu }^{2}+\sigma _{\varepsilon }^{2} \begin{matrix}
\end{matrix} & t=s \\
& \sigma _{\mu }^{2} \begin{matrix}
\end{matrix} & t\ne s \\
\end{align} \right.
\tag{5.15}
\]
根據Eq. (5.15)，隨機效果之下，複合殘差成分的序列相關( \(t \ne s\) )
\[
\tag{5.16}
\rho ({{u}_{it}},{{u}_{is}})=\frac{\sigma _{\mu }^{2}}{\sigma _{\mu }^{2}+\sigma _{\varepsilon }^{2}}>0
\]
因此，隨機效果設定之下的殘差是有序列相關的，且這個序列相關恆正，且不會因時間增長消失。因此，不論是固定效果或個別效果，只要個別效果存在，序列相關和模型之間，就存在密切關係。例如，對一個pooling regression的殘差做序列相關檢定，可以推論出固定效果還是隨機效果設定比較好。另外，因為兩種效果的設定，皆有序列相關，因此，序列相關的程度，影響了估計時是否要進行序列相關修正。所以，序列相關檢定就很重要。
接下來，我們介紹幾種檢定。
第1種針對pooling OLS迴歸殘差的序列相關檢定，檢定觀察不到效果 (Unobserved effect test)。這類檢定是對pooled OLS 殘差的序列相關檢定，意義有二：
(1) 如果沒有序列相關，則pooled OLS估計的條件期望值，是一個完整估計值。
(2) 檢視是否須要對pooled OLS執行穩健變異數。
虛無假設如下
\[
H_{0}: \sigma^2_{\mu}=0
\]
這個虛無假設和前面介紹的Breusch and Pagan檢定之虛無假設一樣， 但是， 這是建立在Eq.(5.16)的序列相關性。因此，其推論意義，有所不同，如下：
(1) 如果虛無假設是正確的，代表資料沒有個別異質性\(\mu_i\) ，因此，複合殘差就只剩下 \(\varepsilon\) ，因此Pooled OLS 就是一個好的設定。簡單的說，就是不須要考慮 Panel Data諸多問題。
(2) 但是，Wooldridge (2010) 指出，拒絕此虛無假設時，並不能推論隨機效果設定為真(True)。因為拒絕虛無假設，往往是因為會因為複合殘差有序列相關所導致。
Wooldridge (2010) 的檢定量是半參數式(semi-parametric)檢定，定義如下：
\[
\tag{5.17}
W=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{t=1}^{T-1}{\sum\limits_{s=t+1}^{T}{{{u}_{it}}{{u}_{is}}}}}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( \sum\limits_{t=1}^{T-1}{\sum\limits_{s=t+1}^{T}{{{u}_{it}}{{u}_{is}}}} \right)}^{2}}}}}
\]
第2種是對固定效果的time-demean殘差\(\varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i}\) 檢定其同質變異和無序列相關。這個檢定使用的是傳統的系列相關檢定，例如，Durbin-Watson 和Breusch-Godfrey LM檢定。但是，如Eq.(5.14) 指出。此序列相關當T很大時，會越來越小；因此，T要大，不然使用這種檢定時，會有檢定力太小的問題。
第3種則是針對上述問題，Wooldridge (2010) 建議：如果固定校果的時間較短，則直接對固定效果殘差執行AR(1)迴歸，
\[
\begin{align}
& ({{\varepsilon }_{it}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}})=b({{\varepsilon }_{it-1}}-{{{\bar{\varepsilon }}}_{i}})+{{\nu }_{it}} \\
& {{\varepsilon }_{it}}=a+\delta {{\varepsilon }_{it-1}}+{{\eta }_{it}} \\
\end{align}
\]
\[
\tag{5.18}
{H_0}:\delta =-\frac{1}{T-1}
\]
應用標準的 \(t\) 檢定，如果接受虛無假設，代表有序列相關，拒絕的話，就是無序列相關。
第4種稱為局部穩健檢定(locally robust test)。
綜合上面所談到的狀況，隨機效果的存在會影響殘差序列相關的檢定，反之亦然。所以，解決方案就是使用結合檢定(joint test)：同時檢定序列相關和隨機效果。針對這個問題， Baltagi and Li (1991) 和 Baltagi and Li (1995) 假設了殘差 \(\varepsilon\) 為常態分配和同質變異，導出了LM檢定量。這個檢定的數學細節，請參閱 Baltagi (2013) 第5章。
前述LM結合檢定的問題是：如果接受了虛無假設(無隨機效果且無序列相關)，那就單純多了。但是，一旦拒絕此虛無假設，那就不知道是誰造成的。隨機效果？序列相關？還是兩者？ Bera, Sosa-Escudero, and Yoon (2001) 提出了修正前面問題的 locally robust tests。雖然依賴常態分配和同質變異， 但是檢定的結果，對於偏離虛無假設的方向，具有局部穩健特性。這個檢定量，隨然是次佳，但有助於辨認是何種原因，導致拒絕虛無假設；而且，數值演算的難度較低。
綜合說來，如果沒有序列相關，則Breusch-Pagan的家族，是隨機效果檢定的最佳檢定量。如果沒有隨機效果，則Breusch-Godfrey’s 的序列相關檢定，是最佳檢定。如果有隨機效果，則 LM test of Baltagi and Li (1995) 的LM是最佳序列相關檢定。
第5種也是最後一種的，是檢定是在隨機效果之下，檢定序列相關的條件LM(Conditional LM)檢定 (Baltagi and Li, 1991,1995)。虛無假設是無序列相關，拒絕虛無假設之後，有序列相關時的形式，可能是AR結構，也可能是MA結構。Baltagi and Li (1991, 1995)的檢定，對於拒絕虛無假設時，對立假設不論是AR(1)或 MA(1)，都一樣。這個檢定依然假設殘差 \(\varepsilon\) 為常態分配及具有同質變異。
套件plm提供多種方式檢定序列相關：
Wooldridge’s test for unobserved individual effects
##
## Wooldridge's test for unobserved individual effects
##
## data: formula
## z = 3.8963, p-value = 9.767e-05
## alternative hypothesis: unobserved effect
再來就是Durbin-Watson 追蹤資料版的序列相關檢定
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## Durbin-Watson test for serial correlation in panel models
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## data: Eq
## DW = 0.59303, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: serial correlation in idiosyncratic errors再來執行 Bera, Sosa-Escudero, and Yoon (2001) 的locally robust test
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## Bera, Sosa-Escudero and Yoon locally robust test
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## data: formula
## chisq = 55.698, df = 1, p-value = 8.45e-14
## alternative hypothesis: AR(1) errors sub random effects
上述檢定pbsytest()的對立假設有兩種：“twosided”和”onesided”.
讀者可以試試另一個的結果。
最後一個檢定pwartest()需要呼叫模組car內的檢定函數 linearHypothesis()，所以前一行要載入 library(car)
最後一個就是固定效果下的Wooldridge 序列相關檢定
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## Wooldridge's test for serial correlation in FE panels
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## data: gsp_fe
## F = 702.98, df1 = 1, df2 = 766, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: serial correlation