Function(Under Construction!)

Function

finite step function ---->  cycle finding
infinite step function ---->  dynamic system / fractal

Recursion

一階微分 = 取前一個時刻
二階微分 = 取前兩個時刻
recurrence = 取很多個時刻

嚴格來說不是時刻,而是對什麼變數微分,可以是時間/空間/兩者都有
是時間的叫動態系統
是空間的叫做碎形
兩者都有的例如波方程、量子力學

markov process就是引入機率的動態系統 函數值是連續的
markov chain就是引入機率的動態系統 函數值是離散的

state是某個時刻的函數值  steady state是保持不動的函數值
(eigenfunction跟steady state有甚麼關係?好像沒有關係?)
stationary state = 變數兩者都有的 eigenfunction = eigenmode

Dynamical System(Under Construction!)

Dynamical System

Lotka-Volterra Equation           生物系統
Lorenz Equation                   混沌系統
Turing Pattern
Gray-Scott Pattern   https://pmneila.github.io/jsexp/grayscott/
Conway's Game of Life
k-x k-y  bifurcation diagram  穩態變化
bifurcation diagram:遞迴公式,調整係數,觀察穩態。
bifurcation point:穩態中止之處。
Hopf bifurcation:穩態與循環交界之處。
stable region:穩態與循環之係數範圍。
Nodal Set:特徵函數,高度為零的等高線。
Nullcline:梯度場,向量為零的等高線。
Streamline:梯度場的向量的切線方向連線;勢能場的等高線的垂直方向。
isocline:導數相等之處。
nullcline:導數為零之處。
steady state:導數皆為零之處。走不動而停下來了。
stable:停在穩態、不斷循環。
unstable:走向無限。

電力線(流線)是另一種製圖方式,電流大小是電力線多寡,電流方向是電力線走向。

Fractal(Under Construction!)

Fractal

數學密碼:奇妙的幾何形狀
The Code: Shapes
http://multimedia.lib.ntu.edu.tw/Book?BMID=9583#

動手玩碎形
http://www.math.mcgill.ca/jakobson/courses/math480-19-fractals.html
https://www.cc.gatech.edu/~turk/bio_sim/index.html
Julia Set
Mandelbrot Set
Dragon Curve
Space-filling Curve
Turtle Graphics
L System
http://www.matrix67.com/blog/archives/6231
http://w2.mat.ucsb.edu/200C/spring_2015/
http://algorithmicbotany.org/papers/
http://www.joesfer.com/?p=46
http://chaos.coa.edu/
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperOpenFileX.ashx?autoKey=360
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_map_examples_small.gif
http://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory

Radial Function

X and F(X) ⇨ Angle and Radius【查無專有名詞】

繪製函數圖形,除了水平延展,還可以迴轉周旋。

函數輸入視作從X軸出發的角度,函數輸出視作從原點出發的長度。

利用三角函數sin和cos找到繪製地點。

當函數輸出是負值,則無法畫出函數圖形。三種解法:一、乾脆不畫。二、負值變正值、換顏色。三、穿越原點,跑到對面,角度相差180度。

角度可以改成x的倍率,修改轉速。

運用周旋,得以製作許多特殊圖形。

Periodicity ⇨ Closed

有個值得一提的案例是週期函數:固定間距、不斷重複的函數。

角度改成x的適當倍率,使得一個間距(或者其倍數)剛好轉一圈,函數圖形頭尾銜接,得到封閉曲線。

Angle and Radius ⇨ X and F(X)【查無專有名詞】

任意的封閉曲線,想要從周旋變成延展,就必須滿足函數的規定:找到內部一點作為原點,任意放射線與曲線的交點只有一點。之後即可視作一般函數進行處理。

不是函數的封閉曲線,想要滿足函數的規定,我只知道一種解法是平滑化:每一個點,取其鄰點,求平均數。實施足夠次數,似乎就會變成函數。實施無限次,最後就會變成圓形,其概念類似於流形與圓的映射。我不清楚這部分是否有人研究。

不是函數的一般曲線,我不清楚怎麼轉換。

函數輸入是兩個變數

函數輸入是兩個變數(或者一個複數),視作旋轉角度和俯仰角度,得到三維空間的表面。

f[u_,v_] := Sin[u]Sin[v]+2; ParametricPlot3D[{f[u,v]Cos[v/5]Cos[u/5], f[u,v]Cos[v/5]Sin[u/5], f[u,v]Sin[v/5]}, {u, 0, 40}, {v, 0, 40}, Boxed -> False, Axes -> False, Mesh -> None, PlotPoints -> 70, ColorFunction -> (ColorData["CherryTones"][Rescale[#3, {-2, 2}]] &) ]

進階主題是「球諧函數」。傅立葉轉換的基底(各種頻率的複數波),進行轉換,得到球諧函數。

函數輸出是兩個變數

函數輸出是兩個變數(或者一個複數),視作水平距離和垂直距離,得到三維空間的線。

ParametricPlot3D[{Sin[x] Cos[x*10], Sin[x] Sin[x*10], x}, {x, 0, 9}, Boxed -> False, Axes -> False, PlotStyle -> {RGBColor[192,0,0], Thick}]

進階主題是「柱諧函數」。

Spiral(Under Construction!)

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral.htm

Basis Polynomial(Under Construction!)

Bernstein polynomial

http://www.cs.jhu.edu/~misha/Spring19/
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
Legendre polynomial:  laplace solution of sphere coordinate
http://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquationSphericalCoordinates.html

Hankel transform of Zernike polynomials are essentially Bessel Functions

Chebyshev polynomial: sine wave wrapped around a cylinder

[surface]

https://plot.ly/javascript/3d-surface-plots/
http://bl.ocks.org/supereggbert/aff58196188816576af0

[green function]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(i%7Cx-y%7C)+%2F+%7Cx-y%7C

e^(iκ|x-y|) / |x-y|

ΔG(x, y) + κ^2 G(x, y) = 0