費氏數列的由來

Fibonacci數列

1202年，義大利數學家斐波那契出版了他的「算盤全書」。
他在書中提出了一個關於兔子繁殖的問題：
如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔
在牠出生後的第三個月裡，又能開始生一對小兔，假定在
不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，50個月後會有
多少對兔子？

在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟
了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子。再過
多一個月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大
，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發現一個規律：

時間(月)
初生兔子(對)
成熟兔子(對)
兔子總數(對)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
9
13
21
34
10
21
34
55

 

 

 

 

 

 

 

 

由此可知，從第一個月開始以後每個月的兔子總數是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…

若把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為斐波那契數列。
數列中每個數便是前兩個數之和，而數列的最初兩個數都是1。
若設 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13...
則：當n＞1時，Fn+2 = Fn+1 + Fn，而 F0=F1=1。
下面是一個古怪的式子：

Fn 看似是無理數，但當 n ≧0 時，Fn 都是整數　　

利用斐波那契數列來做出一個新的數列：
方法是把數列中相鄰的數字相除，以組成新的數列如下：

當 n 無限大時，數列的極限是：

　　 　　

這個數值稱為黃金分割比，它正好是方程式 x2+x-1=0 的一個根

延伸補充
斐波那契數列與黃金分割

一般認為斐波那契數列的提出是基於兔子的繁殖問題：如果一開始有一對兔子，它們每月生育一對兔子，小兔在出生後一個月又開始生育且繁殖情況與最初的那對兔子一樣，那麼一年後有多少對兔子？
答案是，每月兔子的總數可以用以下數列表示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…。
這一數列是意大利數論家列奧納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他13世紀初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取數列前兩個元素為1，那麼遞推關係就是：

當然，曾經有一度數學家們將0作為斐波那契數列的首項（或第0項）。
這一數列看起來相當簡單，但卻隱藏著一些有趣的東西。

   <----------以下內容隱藏---------->
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關於數列元素

關於斐波那契數列的元素，人們發現了不少有意思的事情。
質數與合數：斐波那契數列的質數元素也是該數列的質數項，唯一的例外是第4項元素3。但這個規律反過來不成立，數列的質數項元素的也可能是合數。這一“規律”可以為人們提供搜索大質數的線索。但在相當大的元素以後是不是仍有這個規律呢？目前沒有人知道。
如果把用二進製表示的斐波那契數列前511個元素繪製出來，是這個樣子的Wolfram Research）：

是不是有點分形的味道？
第10n項：分別是2，21，209，2090，20899，208988，2089877，20898764…。（Sloane's A068070）也就是說，這一數字不斷接近208​​987640249978733769…的前幾項。而208987640249978733769…和這樣一個數有關：

Binet公式：這個公式不是軌道力學裡的那個常用的同名公式，而是給出斐波那契數列第n項的另一個公式，是Jacques Philippe Marie Binet在1843年發現的：

看到了什麼？是不是括號中的兩個數似乎和黃金分割有關？


斐波那契數列與黃金分割


蘇格蘭人Robert Simson證明了，當項數趨於無窮時，斐波那契數列的後項與前項之比趨近黃金分割，也就是1.61803398875…。這也許說明了斐波那契數列與黃金分割有天然的聯繫。
如斐波那契螺旋就是最直接的例子。如果順逆時針螺旋的數目是斐波那契數列中相鄰的2項，可稱其為斐波那契螺旋，也被稱作黃金螺旋。這樣的螺旋能最佳利用圓周，疏密最為均勻。它的構造方法也不難，只需先用同樣是與斐波那契數列有關的數構造黃金矩型（長寬之比為黃金分割），再在每個矩形中各描繪出一條1/4圓弧，讓各段弧彼此連接。這樣的黃金矩形也往往能一些藝術名作中找到，如達·芬奇著名的作品《蒙娜·麗莎》。

計算機繪製的斐波那契螺旋

斐波那契螺旋與黃金矩型


自然界中的斐波那契數列

最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或樹葉。薊、菊花、向日葵、松果、菠蘿……都是按這種方式生長的。如此的原因很簡單：這樣的佈局能使植物的生長疏密得當、最充分地利用陽光和空氣，所以很多植物都在億萬年的進化過程中演變成瞭如今的模樣。當然受氣候或病蟲害的影響，真實的植物往往沒有完美的斐波那契螺旋。

每層樹枝的數目也往往構成斐波那契數列。
曾在網上看到下面這樣一組圖，說的是花瓣數符合斐波那契數列各元素的各種植物，也許僅僅是巧合？

另外，晶體的結構也往往與斐波那契數列有關。人們早就發現，在自然界的晶體中，原子以重複的樣式排列，不同的化合物也許會出現不同的排列方式，但都是簡單的平移重複而已。下面是幾張來自晶體中的圖案模型。在圖a中，我們可以看到每個原子被其他三個相同的原子包圍，形成了一個單位樣式，這稱為三重對稱，因為如果把其中之一沿著平面轉過120度，將與另一個發生重疊。而在四重對稱（圖b）中，轉過90度後可得相同圖形，在六重對稱（圖c）中，轉過60度可得相同圖形。



但無論如何，五重對稱（圖d）卻不可能得到，因為其中原子間的距離長短不一，這個樣式無法實現旋轉對稱，由此很容易就充分證明了在晶體中找不到五重對稱，依此，七重對稱或者更高重的對稱都是找不到的。 所以，早期晶體學家們都根深蒂固地認為，五重或七重以上的對稱不符合自然規律。 然而，1982年4月的那個早晨，以色列理工學院的Daniel Shechtman卻發現在他電子顯微鏡下面，一個衍射圖案可以安然轉過圓周的1/10（也就是36度）依舊得到原來樣式，也就是說，發現了十重對稱！很快，他又從鋁錳合金中找到了五重對稱的圖案。在那個時期，這項工作絕對是顛覆性的了，以至於相關論文1984年夏天被Journal of Applied Physics斷然拒掉。還好，Physical Review Letters沒做同樣的武斷之事，隨後就發表了他的文章。Shechtman發現的固體形態被命名為準晶（quasicrystal），以示與傳統晶體的區別，並被認為是介於晶體和非晶體之間的一種形態。

Daniel Shechtman獲得了2011年的諾貝爾化學獎

著名應用數學家Roger Penrose爵士


事實上，無獨有偶，同一時期的數學家們已為他做好了理論鋪墊，英國人彭羅斯（Roger Penrose）差不多同一時期便在前人工作基礎上提出了一種以兩種形狀的拼圖鋪滿平面的解決方案。對於Shechtman的準晶體衍射圖案和彭羅斯的鑲嵌瓷磚來說，都有一個迷人的性質，就是在它們的形態中隱藏著美妙的數學常數τ，亦即黃金分割數1.618……。彭羅斯瓷磚以一胖一瘦兩種菱形（內角分別為72度、108度和36度、144度）鑲拼而成，兩種菱形的數量之比正好是τ；同樣的，在準晶中，原子之間的距離之比也往往趨近於這個值。

數列相關故事

高斯

七歲時高斯進了 St. Catherine小學。大約在十歲時，老師在算數課上出了一道難題：「把 1到 100的整數寫下來，然後把它們加起來！」每當有考試時他們有如下的習慣：第一個做完的就把石板??當時通行，寫字用後面朝下地放在老師的桌子上，第二個做完的就把石板擺在第一張石板上，就這樣一個一個落起來。這個難題當然難不倒學過算數級數的人，但這些孩子才剛開始學算數呢！老師心想他可以休息一下了。但他錯了，因為還不到幾秒鐘，高斯已經把石板放在講桌上了，同時說道：「答案在這兒！」其他的學生把數字一個個加起來，額頭都出了汗水，但高斯卻靜靜坐著，對老師投來的，輕蔑的、懷疑的眼光毫不在意。考完後，老師一張張地檢查著石板。大部分都做錯了，學生就吃了一頓鞭打。最後，高斯的石板被翻了過來，只見上面只有一個數字：5050（用不著說，這是正確的答案。）老師吃了一驚，高斯就解釋他如何找到答案：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，49＋52＝101，50＋51＝101，一共有50對和為 101的數目，所以答案是 50×101＝5050。由此可見高斯找到了算術級數的對稱性，然後就像求得一般算術級數合的過程一樣，把數目一對對地湊在一起。