等比級數師傅

等比級數師傅

康康:師傅，請問什麼是等比級數呢?

等比級數師傅:這個你就問對人了，整座山除了館主之外應該沒有人比我更了解等比級數了…

一個等比數列共有n項，其首項為a₁，末項為a_n，公比為r，這個等比數列的和通常以S_n表示，即等比級數S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+……+a_n

如果一個等比數列的首項為a₁，公比為r，則有等比數列的定義可得知：

第二項：a₂=a₁×r；

第三項：a₃=a₁×r²；

第四項：a₄=a₁×r³；

……

第n項：a_n=a₁×r^n-1=

如前例，在數列10，20，40，80，160中，a₁=10，公差r=2，因此

第二項：a₂=10×2^(2-1)=20

第三項：a₃=10×2^(3-1)=40

第四項：a₄=10×2^(4-1)=80

第五項：a₅=10×2^(5-1)=160

事實上，由a_m=a₁r^(m-1)，a_n=a₁r^(n-1)，可得a_m=a_nr^(m-n)

康康:那師傅，可以偷偷請問一下，有沒有像等差級數一樣的撇步嗎?

等比級數師傅:算你內行，那我也就偷偷告訴你吧…

由S_n=a₁+a₁r+a₁r²+……a₁r^n-1---(1)

rS_n=a₁r+a₁r²+a₁r³……a₁rⁿ---(2)

(1)-(2)即可得到：

(1-r)S_n=a₁-a₁rⁿ

所以S_n=a₁(1-rⁿ)/1-r

康康:感謝師傅的指導，希望有朝一日我也能像你們一樣厲害。