system representation
polynomial representation / matrix representation
polynomial representation:
⎧ x[n+1] = a₀ x[n] + a₁ x[n-1] + ... + aₚ x[n-p]
⎨ + b₀ u[n] + b₁ u[n-1] + ... + b₉ u[n-q]
⎪ y[n] = c₀ x[n] + c₁ x[n-1] + ... + cᵣ x[n-r]
⎩ + d₀ u[n] + d₁ u[n-1] + ... + dₛ u[n-s]
matrix representation:
⎰ x⃗[n+1] = A x⃗[n] + B u⃗[n]
⎱ y⃗[n] = C x⃗[n] + D u⃗[n]
四串系統參數可以改寫成四個常對角矩陣ABCD。
矩陣表示法，數值u[n] x[n] y[n]推廣為向量u⃗[n] x⃗[n] y⃗[n]。
簡單起見，下文u x y一律省略向量符號。
state-space representation / phase-variable representation
模仿ARMA system，state-space model也有這兩種表示法。不再贅述。
companion matrix realization
模仿ARMA system，湊出矩陣ABCD。不再贅述。
https://people.duke.edu/~hpgavin/SystemID/CourseNotes/LTI.pdf
similarity transformation
A' = T⁻¹AT
B' = T⁻¹B
C' = CT
D' = D
x' = T⁻¹x
u' = u
y' = y
相似變換不影響系統的各種數學性質。不再贅述。
stability
專著《Optimal State Estimation: Kalman, H∞ and Nonlinear Approaches》。
BIBO stability
if x[n+1] = A x[n] is stable,
then ⎰ x[n+1] = A x[n] + B u[n] is BIBO stable.
⎱ y[n] = C x[n] + D u[n]
if x′(t) = A x(t) is stable,
then ⎰ x′(t) = A x(t) + B u(t) is BIBO stable.
⎱ y(t) = C x(t) + D u(t)
BIBO穩定性：一個系統，當輸入訊號受限，則輸出訊號也受限。
穩定性：一道差分方程式／微分方程式，未知函數受限。
受限：不會出現正負無限大。
想要判斷state-space model的BIBO穩定性，
只需判斷x[n+1] = A x[n]的穩定性。
只需檢查A。
針對差分方程式x[n+1] = A x[n]／微分方程式x′(t) = A x(t)，
穩定性：A的特徵值，絕對值都小於等於1／實部都小於等於0。
穩定性：A的特徵值，都在複平面單位圓內或上／都在左半複平面。
此時A稱作Schur-stable matrix / Hurwitz-stable matrix。
rank / nullity
矩陣尺寸是size(A)。
矩陣維度是rank(A)。
當矩陣維度少於矩陣尺寸（矩陣維度不足）。
套用此矩陣、實施變換，有些維度完全消失。
例如投影矩陣，有些維度完整保留，有些維度完全消失。
eigendecomposition
利用特徵分解，這件事情可以描述得更細膩。
有些方陣可以特徵分解。
特徵值，包含了等於0，絕對值小於1、絕對值等於1、絕對值大於1。
這些維度，包含了消失、縮小、不變、放大。
不斷套用此矩陣、不斷實施變換，
有些維度完全消失、趨近消失、保持不變、變成正負無限大。
消失、縮小、不變，最終形成穩態，滿足穩定性。
放大，最終不會形成穩態，不滿足穩定性。
順帶一提，消失的維度，特徵值是零，特徵向量未定義。
（數學家規定必須湊滿n個特徵值。但是不必湊滿n個特徵向量。）
穩定性（特徵分解）：特徵值絕對值均小於等於一。
Jordan–Chevalley decomposition (Jordan canonical form)
有些方陣不能特徵分解，只能喬登分解（喬登標準型）。
對角線有特徵值，次對角線還有移位值（0或1），形成喬登矩陣。
喬登矩陣的穩定性分析，多了移位值，需要深入討論。
喬登矩陣拆成對角線矩陣D、次對角線矩陣N。
A = ⎡ 1 1 ⎤ is a Jordan matrix
⎣ 0 1 ⎦
(1) D = ⎡ 1 0 ⎤ 特徵值絕對值均等於一。不斷實施變換，仍保持不變。
⎣ 0 1 ⎦
(2) N = ⎡ 0 1 ⎤ 不斷實施變換，變成無限大。
⎣ 0 0 ⎦
A = D + N
不斷實施變換A，數學式子強行展開，出現D與N交叉相乘項。
D縮小則得以消滅N。D不變則無法消滅N。
此例當中，A不穩定！畢竟D不變則無法消滅N。
穩定性（喬登分解）：
一、特徵值絕對值均小於等於一。
二、特徵值絕對值等於一者，必須都是semisimple。
semisimple白話文：沒有次對角線。N = 0。
semisimple文言文：代數重根數＝幾何重根數。
stabilizability
可穩定性，分成兩部分解釋：
一、穩定的維度：無論哪種輸入訊號，總是自然而然穩定。放著不管也沒關係。
二、不穩定的維度：人為設定特殊的輸入訊號，恰好可以強行穩定。運氣不錯。
可穩定性：即便不穩定，但是可到達。
可到達性：矩陣維度充足，足以生成各種向量。請見下個小節。
⎧ ⎡ -1 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎪ x[n+1] = A x[n] + B u[n] = ⎢ 0 1 1 ⎥ x[n] + ⎢ 0 ⎥ u[n]
⎨ ⎣ 0 0 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦
⎪
⎩ y[n] = C x[n] + D u[n] = [ 1 0 1 ] x[n] + 2 u[n]
上述系統有兩個模態：
一、左上角[ -1 ]與[ 0 ]。顯然穩定，儘管不可到達。
二、右下角⎡ 1 1 ⎤與⎡ 0 ⎤。雖然不穩定，但是可到達。
⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦
因此整個系統可穩定。
此例當中，A恰好是喬登矩陣。
一般情況，A要做喬登分解、ABCD要一起做相似變換。
相似變換不影響矩陣尺寸和矩陣維度。
系統的各種數學性質仍然相同。
reachability / observability
專著《Filtering and System Identification: A Least Squares Approach》。
reachability
expansion of x (polynomial representation):
⎧ x[1] = A x[0] + B u[0]
⎨ x[2] = A² x[0] + AB u[0] + B u[1]
⎪ :
⎩ x[k] = Aᵏ x[0] + Aᵏ⁻¹B u[0] + ⋯ + AB u[k-2] + B u[k-1]
expansion of x[k] (matrix representation):
⎡ u[0] ⎤
x[k] = Aᵏ x[0] + [ Aᵏ⁻¹B ⋯ A²B AB B ] ⎢ : ⎥
⎣ u[k-1] ⎦
Я
reachability matrix (controllability matrix):
𝑅 = reverse(Я) = [ A⁰B ⋯ Aᵏ⁻¹B ]
reachability:
any x[k] can be generated by x[0] and u[0⋯k-1]
<=> any (x[k] - Aᵏ x[0]) can be generated by u[0⋯k-1]
<=> rank(𝑅) = rank(Я) = k
x[n]是向量。k是向量長度。
x是向量的數列。n是數列索引值。N是數列長度。
當矩陣維度充足，那麼矩陣直條的線性組合，得以形成各種輸出向量。
當rank(𝑅) = k，那麼𝑅的直條的線性組合，得以形成各種x[n]。
observability
expansion of y (polynomial representation):
⎧ y[0] = C x[0] + D u[0]
⎨ y[1] = CA x[0] + CB u[0] + D u[1]
⎪ :
⎩ y[k-1] = CAᵏ⁻¹ x[0] + CAᵏ⁻²B u[0] + ... + CAB u[k-1] + D u[k-1]
expansion of y (matrix representation):
⎡ y[0] ⎤ ⎡ C ⎤ ⎡ D 0 ⋯ ⎤ ⎡ u[0] ⎤
⎢ : ⎥ = ⎢ CA ⎥ x[0] + ⎢ CB D ⋯ ⎥ ⎢ : ⎥
⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ CAB CB ⋯ ⎥ ⎢ : ⎥
⎣ y[k-1] ⎦ ⎣ CAᵏ⁻¹ ⎦ ⎣ : : ⎦ ⎣ u[k-1] ⎦
y⃗ 𝑂 𝑇 u⃗
observability matrix:
⎡ CA⁰ ⎤
𝑂 = ⎢ : ⎥
⎣ CAᵏ⁻¹ ⎦
observability:
unique x can be reconstructed by y and u
<=> unique x[0] can be reconstructed by y[0⋯k-1] and u[0⋯k-1]
<=> unique x[0] can be reconstructed by (y[0⋯k-1] - 𝑇 u[0⋯k-1])
<=> rank(𝑂) = k
可到達性矩陣：x[k]強行展開，改寫成矩陣𝑅。
可觀察性矩陣：y[0]...y[k-1]強行展開，改寫成矩陣𝑂。
避免撞名，採用斜體。
𝑅和𝑂是一堆矩陣併成一個超大矩陣。
y⃗和u⃗是一堆向量併成一個超長向量。
Krylov subspace：湊足k種連續次方，得以構成k維空間。
一、可到達性矩陣𝑅、可觀察性矩陣𝑂，至少列出0次方到k-1次方。
二、輸入向量u⃗，長度至少是k，得以檢查可到達性、可觀察性。
原作者Kálmán先想到controllability，後人才想到reachability。
導致大家採用符號𝐶，不採用符號𝑅。
現今教科書已經習慣採用符號𝐶。
不過我喜歡採用符號𝑅。
許多古代教科書並未將controllability與reachability區分清楚。
名稱混用，自己小心。
dual system
專著《Linear systems》。
reachability / controllability / stabilizability
可到達性：總是存在輸入訊號，各種初始狀態都可以得到各種狀態。
可控制性：總是存在輸入訊號，可以得到各種狀態。
可穩定性：總是存在輸入訊號，讓系統穩定。
可到達性：每種狀態皆可抵達。
所有初始條件，皆可抵達特定一種狀態。
可控制性：每種狀態皆可抵達。
存在初始條件，可以抵達特定一種狀態。
可穩定性：每種狀態不見得皆可抵達。
所有初始條件，輸出訊號皆可抵達穩態。
可到達性：已知初始狀態x[0]、當前狀態x[n]，
總是存在輸入訊號u，
可以從初始狀態x[0]得到當前狀態x[n]。
（可以得到狀態數列x、輸出數列y。畢竟已知系統公式。）
可控制性：已知當前狀態x[n]。
總是存在輸入訊號u、初始狀態x[0]，
可以得到當前狀態x[n]。
（可以得到狀態數列x。畢竟已知系統公式。）
可穩定性：已知初始狀態x[0]，
總是存在輸入訊號u，
使得每種輸出訊號y到達穩態。
（即便不滿足可控制性。例如ABCD矩陣全是零。）
上述定義經過推導得到下述結論。
可到達性：初始狀態x[0] = 0可以到達所有狀態。
可控制性：存在初始狀態x[0]可以到達狀態x[n] = 0。
離散時間系統，可到達性=>可控制性。
離散時間系統，A有反矩陣，可到達性<=>可控制性。
連續時間系統，可到達性<=>可控制性。
observability / constructability / detectability
可觀察性：已知輸入訊號u、輸出訊號y，
總是存在唯一一種初始狀態x[0]。
可以用輸入訊號u得到輸出訊號y。
（可以得到唯一一種狀態數列x。畢竟已知系統公式。）
可建設性：已知輸入訊號u、輸出訊號y，
總是存在一種初始狀態x[0]。
可以用輸入訊號u得到輸出訊號y。
（可以得到一種狀態數列x。畢竟已知系統公式。）
可偵測性：已知輸入訊號u、輸出訊號y，
可以讓輸出訊號y到達穩態。
（即便不滿足可觀察性。例如不知道狀態但知道會穩定。）
離散時間系統，可觀察性=>可建設性。
離散時間系統，C有反矩陣，可觀察性<=>可建設性。
連續時間系統，可觀察性<=>可建設性。
dual system
ABCD通通轉置、且BC互換，仍然是LTI state-space model。
ABCD通通轉置、且BC互換，reachability與observability恰好對調。
原理是線性代數基本定理：kernel(A) = image(Aᵀ)⟂
就這樣。
┌──────────────────┐ dual ┌──────────────────┐
│ reachability │←────→│ observability │
└──────────────────┘ └──────────────────┘
⇓ ⇓
┌──────────────────┐ dual ┌──────────────────┐
│ controllability │←────→│ constructability │
└──────────────────┘ └──────────────────┘
https://math.stackexchange.com/questions/4820830/
http://www.dii.unimo.it/~zanasi/didattica/Teoria_dei_Sistemi/Luc_TDS_ING_2016_Reachability_and_Controllability.pdf
http://www.dii.unimo.it/~zanasi/didattica/Teoria_dei_Sistemi/Luc_TDS_ING_2016_Observability_and_Constructability.pdf
minimal realization
專著《Approximation of Large-Scale Dynamical Systems》。
minimal realization
minimal realization is both reachable and observable.
正則化、解耦合、最小實現是相同概念。不再贅述。
多餘維度刪光光。盡力減少矩陣尺寸，讓矩陣維度充足。
針對state-space model，最小實現＝可到達＋可觀察。
想要得到最小實現，有兩種方式：
一、喬登分解（A是方陣）：
Kálmán decomposition，刪除不可到達、不可觀察的多餘區塊。
二、奇異值分解：
balanced realization，刪除奇異值是零的多餘維度。
eigensystem realization又進一步簡化計算流程，成為主流方式。
any y can be generated by x[0] and u
<=> rank(𝑅) = rank(𝑂) = k
<=> minimal realization
利用初始狀態和輸入訊號，可以得到各種輸出訊號。
Kálmán decomposition
reachable canonical form / observable canonical form
reachable canonical form:
以矩陣A為主角，實施喬登分解。
實施相似變換，將A和B分離成兩個區塊：可到達、不可到達。
observable canonical form:
以矩陣A為主角，實施喬登分解。
實施相似變換，將A和C分離成兩個區塊：可觀測、不可觀測。
Kálmán decomposition
將ABC分離成四個區塊：
可到達可觀測、可到達不可觀測、不可到達可觀測、不可到達不可觀測。
https://faculty.washington.edu/chx/teaching/me547/2_3_KalmanDecomposition_slides.pdf
balanced realization
balanced realization
四個矩陣ABCD的方程組，對角化比較複雜。
四個矩陣不能一起對角化。
只能以𝑅為主、或者以𝑂為主。
甚至𝑅與𝑂都無法對角化，只能得到Jordan canonical form。
有人發現取平方（矩陣內積和外積）再開根號，𝑅和𝑂就可以一起對角化。
宛如SVD的背後原理。SVD即是EVD取平方（矩陣內積和外積）再開根號。
1. get P,Q by Lyapunov equation
AP + PAᵀ + BBᵀ = 0
AᵀQ + QA + CᵀC = 0
2. get 𝑂 by Cholesky decomposion
Q = 𝑂ᵀ𝑂
3. get U,Σ by eigendecomposition
𝑂P𝑂ᵀ = 𝑂𝑅𝑅ᵀ𝑂ᵀ= HHᵀ = UΣ²Uᵀ
4. get T by conjugate decomposition
T = 𝑂⁻¹U√Σ
T⁻¹ = √ΣUᵀ𝑂
其實步驟1和2是多餘的。
H = Hankel((f[1], ⋯, f[k]))
使用矩陣內積HᵀH、矩陣外積HHᵀ，即可完成平衡實現。
步驟1和2主要是為了介紹Lyapunov equation。
https://ocw.mit.edu/courses/6-241j-dynamic-systems-and-control-spring-2011/7f6754029d6945bd3bdc745080890bf8_MIT6_241JS11_chap26.pdf
image
線性代數當中，
image：一個矩陣，嘗試各種輸入向量，所能得到的各種輸出向量。輸出向量的集合。
theorem:
image(AAᵀ) = image(A)
直觀解讀：
一、Aᵀx是輸入向量x實施變換，獲得一部分的輸入向量。比原本少。
再經過A變換，獲得一部分的輸出向量。比原本少。
因此image(AAᵀ) ⊆ image(A)。
二、Aᵀ是垂直投影。Aᵀ消滅的維度，A消滅的維度，基本相等。
換句話說，rank(Aᵀ) = rank(A)。
即便額外套用Aᵀ，剩下的維度還是一樣多。
因此image(AAᵀ) = image(A)。
嚴謹證明，分成三個階段：
(1) AᵀAx = 0 <=> Ax = 0
(2) kernel(AᵀA) = kernel(A)
(3) image(AᵀA) = image(Aᵀ)
(1)(⟹) 等號兩邊同乘xᵀ
AᵀAx = 0
=> xᵀAᵀAx = 0
=> ‖Ax‖² = 0
=> Ax = 0
(1)(⟸) 等號兩邊同乘Aᵀ。
Ax = 0
=> AᵀAx = 0
(2) 因為兩個方程式等價，所以兩個解集合也等價。
(3) 線性代數基本定理：kernel(A) = image(Aᵀ)⟂
kernel(AᵀA) = kernel(A)
=> image((AᵀA)ᵀ)⟂ = image(Aᵀ)⟂
=> image(AᵀA)⟂ = image(Aᵀ)⟂
=> image(AᵀA) = image(Aᵀ)
https://math.stackexchange.com/questions/2411508
reachability
圖論當中，
reachable：從一個起點可以到達一個終點。
connected：從各種起點可以到達各種終點。
訊號學當中，
reachable set：從各種起點所能到達的各種終點。終點的集合。
使用矩陣來描述相鄰關係，
訊號學的reachable set＝線性代數的image。
先備知識請見本站文件「adjacency matrix」。
圖論當中，A是圖。Aᵀ是反向圖（顛倒所有邊）。
套用Aᵀ：順走1步。
套用A：逆走1步。
套用AAᵀ：先順走1步、再逆走1步（矩陣乘法由右往左讀）。
考慮所有可能的起點，以及所有可以到達的終點。
套用A、套用AAᵀ，所有可以到達的終點一樣多。
套用R = (A⁰+A¹+⋯+Aᵏ)：
逆走0步到k步，所到之處通通聯集。
套用RRᵀ = (A⁰+A¹+⋯+Aᵏ)(A⁰+A¹+⋯+Aᵏ)ᵀ：
先順走再逆走（矩陣乘法由右往左讀）。
展開式子，變成兩兩相乘，得到各種情況。例如順1逆2。
套用P = A⁰(A⁰)ᵀ+A¹(A¹)ᵀ+⋯+Aᵏ(Aᵏ)ᵀ：
順0逆0、順1逆1、……、順k逆k，所到之處通通聯集。
考慮所有可能的起點，以及所有可以到達的終點。
套用R、套用P，所有可以到達的終點一樣多。
reachability Gramian
Gram matrix MᵀM
k-step Aᵏ⁻¹B
outer product (Aᵏ⁻¹B)(Aᵏ⁻¹B)ᵀ = Aᵏ⁻¹BBᵀ(Aᵏ⁻¹)ᵀ
image image(Aᵏ⁻¹B) = image((Aᵏ⁻¹B)(Aᵏ⁻¹B)ᵀ)
k-reachability matrix 𝑅ₖ = [ A⁰B ⋯ Aᵏ⁻¹B ]
k-reachability Gramian [ A⁰BBᵀ(A⁰)ᵀ ⋯ Aᵏ⁻¹BBᵀ(Aᵏ⁻¹)ᵀ ]
matrix
k-reachability R[k] = sum Aᵏ⁻¹B
k=0⋯∞
k-reachability Gramian P[k] = sum Aᵏ⁻¹BBᵀ(Aᵏ⁻¹)ᵀ = sum 𝑅ₖ 𝑅ₖᵀ
k=0⋯∞ k=0⋯∞
k-reachable set image(R[k]) = image(P[k])
k-reachable iff k-reachability Gramian is
symmetric positive definite.
https://control.asu.edu/Classes/MAE507/507Lecture06.pdf
https://control.asu.edu/Classes/MAE507/507Lecture17.pdf
Lyapunov equation
k-reachability Gramian P[k+1] = A P[k] Aᵀ + BBᵀ
Lyapunov stability image(P[k+1]) = image(P[k]) when k→∞
Lyapunov equation X = AXAᵀ + Q
where X = P[k] and k→∞
Q = BBᵀ
Lyapunov theorem Lyapunov stability <=> Lyapunov equation
Hankel singular values
reachability Gramian P = 𝑅𝑅ᵀ => AP + PAᵀ + BBᵀ = 0
observability Gramian Q = 𝑂ᵀ𝑂 => AᵀQ + QA + CᵀC = 0
Hankel singular values Σ = sqrt(eigenvalue(PQ))
balanced realization P' = Q' = Σ
similarity transformation
P' = T⁻¹P(Tᵀ)⁻¹
Q' = TᵀQT
eigensystem realization
eigensystem realization (Ho–Kálmán realization)
利用脈衝響應求得卷積核f，進一步改寫成矩陣H = 𝑂𝑅。
輸入訊號是脈衝函數，輸出訊號稱作脈衝響應。
針對線性非時變系統，脈衝響應恰是卷積核。
1. get (f[0], ⋯, f[n])
by impulse response
2. get 𝑂,𝑅
by compact SVD of Hankel((f[1], ⋯, f[n]))
3. get A,B,C,D
A: extract from Hankel((f[2], ⋯, f[k+1]))
B: first column of 𝑅
C: first row of 𝑂
D: orignal D (by similarity transformation)
https://math.stackexchange.com/questions/3275985/
https://par.nsf.gov/servlets/purl/10312038
Markov parameters
卷積核，省略f[0]，改寫成常反對角矩陣，恰是𝑂𝑅相乘。
impulse response = convolution kernel:
(f[0], ⋯, f[k]) = (D, CA⁰B, CA¹B, ..., CAᵏ⁻¹B)
Markov parameters:
(f[1], ⋯, f[k]) = (CA⁰B, CA¹B, ..., CAᵏ⁻¹B)
theorem:
Hankel((f[1], ⋯, f[k])) = Hankel((CA⁰B, ⋯, CAᵏ⁻¹B)) = 𝑂𝑅
⎡ f[1] f[2] ⋯ f[k] ⎤ ⎡ CA⁰B CA¹B ⋯ CAᵏ⁻¹B ⎤
⎢ f[2] f[3] ⋯ f[k+1] ⎥ ⎢ CA¹B CA²B ⋯ CAᵏB ⎥
⎢ : : : ⎥ = ⎢ : : : ⎥ = 𝑂𝑅
⎢ : : : ⎥ ⎢ : : : ⎥
⎣ f[k] f[k+1] ⋯ f[2k-1] ⎦ ⎣ CAᵏ⁻¹B CAᵏB ⋯ CA²ᵏ⁻²B ⎦
Toeplitz matrix = constant diagonal matrix
Hankel matrix = constant skew-diagonal matrix
可到達性矩陣故意被左右顛倒，就是為了產生常反對角矩陣。
如果我沒搞錯，這與卷積互相呼應。
卷積的其中一個數列也是需要左右顛倒。
conjugate decomposition
A = BᵀB。
對稱半正定矩陣A，分解成矩陣內積。
沒有正式學術名稱。
少數文獻稱作共軛分解conjugate decomposition。
概念宛如將一個平方值，分解成共軛複數相乘。
分解方式有無限多種。其中有兩種知名方式：
一、Cholesky decomposition，分解成上三角矩陣。
A = LLᵀ and B = Lᵀ
二、eigendecomposition。特徵分解。
A = EΛE⁻¹ = EΛEᵀ = E√Λ√ΛEᵀ and B = √ΛEᵀ
A是對稱半正定矩陣的情況下，特徵分解EVD等同奇異值分解SVD！
A不是對稱半正定矩陣的情況下，只好改用SVD。
Hankel((f[1], ⋯, f[k]))是對稱矩陣，但是通常不是半正定矩陣。
Hankel singular values
Hankel((f[1], ⋯, f[n]))
做共軛分解，得到𝑂與𝑅。
從中間剖開一人分一半。
共軛分解採用compact SVD，順便降維，以便形成minimal realization。
刪除奇異值是零的多餘維度。
方便起見，新維度還是標記成k，新矩陣則追加下標k。
A = UΣVᵀ = U√Σ√ΣVᵀ compact singular value decomposition
Aₖ = Uₖ√Σₖ√ΣₖVₖᵀ minimal realization (rank k)
𝑂 = Uₖ√Σₖ
𝑅 = √ΣₖVₖᵀ
system parameters
算A：移位一個時刻，湊出A。然後𝑂和𝑅移項即得。
⎡ f[2] f[3] ⋯ f[k+1] ⎤ ⎡ CA¹B CA²B ⋯ CAᵏB ⎤
⎢ f[3] f[4] ⋯ f[k+2] ⎥ ⎢ CA²B CA²B ⋯ CAᵏ⁺¹B ⎥
⎢ : : : ⎥ = ⎢ : : : ⎥ = 𝑂A𝑅
⎢ : : : ⎥ ⎢ : : : ⎥
⎣ f[k+1] f[k+2] ⋯ f[2k] ⎦ ⎣ CAᵏB CAᵏ⁺¹B ⋯ CA²ᵏ⁻¹B ⎦
let Hₖ = Hankel((f[1], ⋯, f[k]))
Aₖ = 𝑂ₖ⁺(Hₖ+⃡1)𝑅ₖ⁺
算B：𝑅ₖ第零個直條就是Bₖ。
算C：𝑂ₖ第零個橫條就是Cₖ。
算D：原本的D降維。【尚待確認】
表格
專著《Linear Optimal Control: H₂ and H∞ Methods》。
LTI state-space model
╭────────────────────────────┬────────────────────────────╮
│ polynomial representation │ matrix representation │
╞════════════════════════════╧════════════════════════════╡
│ time domain │
╞════════════════════════════╤════════════════════════════╡
│ sequence │ companion matrix │
│ a,b,c,d │ A,B,C,D │
│ a = (a₀, a₁, ...) │ │
│ b = (b₀, b₁, ...) │ │
│ c = (c₀, c₁, ...) │ │
│ d = (d₀, d₁, ...) │ │
├────────────────────────────┤────────────────────────────┤
│ linear recurrence │ linear recurrence │
│ ⎧ x[n+1] = a₀ x[n] + ⋯ │ ⎰ x[n+1] = A x[n] + B u[n] │
│ ⎨ + b₀ u[n] + ⋯ │ ⎱ y[n] = C x[n] + D u[n] │
│ ⎪ y[n] = c₀ x[n] + ⋯ │ │
│ ⎩ + d₀ u[n] + ⋯ │ │
├────────────────────────────┤────────────────────────────┤
│ expansion │ expansion │
│ x[n+1] = ...... | x[n+1] = Aⁿ⁺¹ x[0] + Я u⃗[n]|
│ y[n] = ...... │ y⃗[n] = 𝑂 x[0] + 𝑇 u⃗[n] │
├────────────────────────────┤────────────────────────────┤
│ convolution │ Hankel matrix │
│ ⎰ x+⃡1 = a ∗ x + b ∗ u │ 𝑂𝑅 │
│ ⎱ y = c ∗ x + d ∗ u │ │
├────────────────────────────┤────────────────────────────┤
│ impulse response │ Markov parameters │
│ f[n] = ...... │ f[n] = CAⁿ⁻¹B + D δ[n] │
│ │ = ⎰ D , if n = 0 │
│ │ ⎱ CAⁿ⁻¹B , if n > 0 │
├────────────────────────────┤────────────────────────────┤
│ expansion │ expansion │
│ y[n] = ...... │ y[n] = C Aⁿ x[0] │
│ │ + sum CAⁿ⁻¹⁻ⁱB u[i] │
│ │ i=0⋯n-1 │
│ │ + D u[0] │
╞════════════════════════════╧════════════════════════════╡
│ z-domain │
╞════════════════════════════╤════════════════════════════╡
│ generating function │ resolvent │
│ A(z) = a₀z⁰ + a₁z⁻¹ + ⋯ │ G(z) = C(zI-A)⁻¹B + D │
│ B(z) = b₀z⁰ + b₁z⁻¹ + ⋯ │ adj(zI-A) │
│ C(z) = c₀z⁰ + c₁z⁻¹ + ⋯ │ = C ————————— B + D │
│ D(z) = d₀z⁰ + d₁z⁻¹ + ⋯ │ det(zI-A) │
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│ BIBO stability │ BIBO stability │
│ A(z) = 0 │ det(zI-A) = 0 │
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