Section 6. 微分方程式
主題 1. 分離變數法型的微分方程
解簡易常微分方程式(ODE: Ordinary Differential Equation)，我們的 Python 模組還是一樣使用 sympy，解微分方程式的函數是dsolve()。
dsolve(以Eq(A, B)建構的方程式，函數)
A是等號左邊的微分方程，B是右邊常數，因此在某些問題，我們必須做移項。在一般慣用符號上，微分方程式會用y'，但是，其實就是y'(t)也就是f '(t)。
電腦程式不會區分哪一型，我們要展示各類都可以處理，才這樣分。其實輸入都是一樣的。
我們看範例，解微分方程式from sympy import *
t = symbols('t')y = Function('y')
dsolve(Eq(Derivative(y(t), t) -3*y(t), 2), y(t))Derivative(y(t), t)就是微一階y'(t)；若微二階 y''(t) 就是Derivative(y(t), t, t)，所以，Eq(Derivative(y(t), t) -3*y(t), 2) 就是以
表示的微分方程式
Derivative(y(t), t) 也可以用 y(t).diff(t) 表示，上例就是 Eq(y(t).diff(t)-3*y(t), 2)
讀者可以自取所好。
我們看一下結果
dsolve(Eq(Derivative(y(t), t) -3*y(t), 2), y(t))
Out[2]: Eq(y(t), C1*exp(3*t)/3 - 2/3)
Eq(y(t), C1*exp(3*t)/3 - 2/3) 其實就是y(t)=C1*exp(3*t)/3 - 2/3，正式鍵出來就是範例: 解微分方程式
，
此題要移項成為
Python碼如下：dsolve(Eq(Derivative(y(t), t) - (y(t)+1)/(t-3), 0), y(t))
Out[3]: Eq(y(t), C1*t - 3*C1 - 1)Eq(y(t), C1*t - 3*C1 - 1) 其實就是第7題中間的y(t)=C(t-2) -1，第7題尚有期始條件y(1)=0，帶入解C，就很簡單了。
主題 2. 積分因子型的微分方程
我們看範例，解微分方程式
，此題要移項成為
Python碼如下：dsolve(Eq(Derivative(y(t),t) - 2*t*y(t)-3*t, 0), y(t))
Out[4]: Eq(y(t), C1*exp(t**2)/2 - 3/2)Eq(y(t), C1*exp(t**2)/2 - 3/2) 其實就是y(t)=C1*exp(t**2)/2 - 3/2，正式鍵出來就是
。
最後，雖然目前範例都是一階微分方程，為了普及一般，二階的輸入範例如下：
解二階一次微分方程
dsolve(Eq(Derivative(y(t), t, t) + 9*y(t), 1), y(t))
Out[5]: Eq(y(t), C1*sin(3*t) + C2*cos(3*t) + 1/9)這個解有三角函數：
另外，Derivative(y(t), t, t) 也可以用y(t).diff(t, t)表示，此題就是
Eq(y(t).diff(t, t) + 9*y(t), 1)。
