Signal

Signal(Time Series)

「訊號」就是一串數字。

數學家稱作數列(離散)、函數(連續)。

訊號學家稱作數位訊號(離散)、類比訊號(連續)。

常見的Signal

合成波:正弦波、方波、三角波、脈衝波。

脈衝函數:Dirac函數、高斯函數、sinc函數。

成長速率:步進函數、sigmoid函數、logistic函數。

市場波動:Gaussian Process、Wiener Process。

雜訊:AGWN。

Signal的性質

脈衝:忽然劇烈變化、迅速還原。

週期:特定片段重複無限多次。通常稱作波。

穩態:最終收斂於特定常數。

Signal的指標

平均數、變異數、偏度、峰度、ANOVA、能量、訊噪比、頻率、週期、過零率、包絡線、……。

知名工具tsfresh

Signal Quantization

Signal Sampling

訊號取樣。時間軸離散化。保留重點,刪除細節。

Signal Quantization

訊號量化。數值軸離散化。保留重點,刪除細節。

簡易的量化是四捨五入、無條件捨去、無條件進入。進階的量化是區分數量級。經典的量化是以圖表相較並沒有明顯差異

演算法(Vector Quantization)(Cluster Analysis)

先分群,以群集中心作為量化結果。

再分類,以分界線決定量化結果。

演算法(Location-Allocation Analysis)

加強版。直線距離改成了其他指標。

演算法(Product Quantization)

分段、各自量化、合併。

Signal Resampling

Signal Reconstruction

訊號重建。找到原本波形。找到內插函數。

一、訊號通常很長。如果採用多項式內插,那麼內插函數必須是非常高次的多項式,才能穿過所有訊號。然而,非常高次的多項式,劇烈震盪,無法平順的穿過訊號,稱作「Runge's Phenomenon」。

二、訊號通常取自真實世界、源自物理現象。例如聲音訊號,是由不同頻率的波,疊加而成的。詳見「傅立葉轉換」。

由於上述兩點,因而衍生了其他內插演算法。

Signal Resampling

訊號重新取樣。改變疏密程度,重新設計訊號。

變密稱作upsampling、變疏稱作downsampling。也有人把變密稱作interpolation、變疏稱作decimation。

訊號重新取樣=訊號重建+函數求值。

演算法(Triangle Interpolation)(Linear Interpolation)

三角波,等價於一次內插。不切實際,但是算得快。

演算法(Sinc Interpolation)

方波函數,實施逆向傅立葉轉換,頻域轉時域(反過來也行),就是sinc函數。如果頻域只有特定幾個頻率有方波(理想中是無限薄的脈衝,但是實際上是有點厚的方波),那麼時域採用sinc函數,最理想不過了。算得極慢。

演算法(Lanczos Interpolation)

加強版。自由調整胖瘦。砍掉綿延的小波,只留主要的部分。

演算法(Mitchell–Netravali Filter)

加強版。改用三次多項式函數模擬之。算得快。

Signal Prediction

Signal Estimation(Time Series Analysis)

訊號估計。找到訊號規律。找到迴歸函數。

迴歸函數是遞迴函數、週期函數等等具有規律的函數。

誤差設定成「均方誤差Mean Squared Error」:平方誤差,再除以數列長度;平方誤差的平均數。如此一來,長度不同的數列,得以互相比較誤差大小。

Signal Prediction(Time Series Forecasting)

訊號預測。訊號有某種規律,請預測接下來的訊號。

訊號預測=訊號估計+函數求值。

演算法(Linear Prediction)(Linear Predictive Coding)

請見本站文件「Filter」。

Linear Regression:用一次函數符合資料。Linear Prediction:用線性遞迴函數符合資料。

首先求得均方誤差最小的線性遞迴函數。時間複雜度O(N²),在頻域計算可加速為O(NlogN)。

求得線性遞迴函數之後,欲預測下一個新訊號,直接代入最後K個舊訊號即可。時間複雜度O(K),K是線性遞迴函數的項數。

求得線性遞迴函數之後,欲預測第M個新訊號,共有四種演算法。時間複雜度O(K²logM),在頻域計算可加速為O(KlogKlogM)。

演算法(ARIMA)

加強版。遞迴關係式增加項次。

演算法(ARCH)

加強版。推廣成非線性,引入統計學。

演算法(Prophet)

Signal Classification🚧

Signal Detection

訊號偵測。判斷訊號是資訊或是雜訊。

Signal Classification

訊號分類。判斷訊號是哪種常見訊號。

演算法(MUSIC)

演算法(Hidden Markov Model)

Signal Separation🚧

Signal Overlapping

訊號疊加。數據軸加法。大量訊號疊合在一起。

Signal Separation

訊號分隔。數據軸分割。大量訊號疊合在一起,分隔每道訊號。

假定數據是關鍵因子的加權平均數。真實世界有許多自然現象是加權平均數,例如合力就是施力的加權平均數。

例如麥克風錄到一段演奏,嘗試分隔出每種樂器的聲音。

例如相機拍到一個場景,嘗試分隔出光線的來源與強度。

例如RFID收到一段訊號,嘗試分隔出訊號的原始波形。

演算法(Independent Component Analysis)

演算法(Wavelet Analysis)

請參考「Fourier Transform」。

Signal Segmentation🚧

Signal Concatenation

訊號銜接。時間軸銜接。大量訊號銜接在一起。

主要問題在於波形不連續。在於相位。淡入淡出也無法解決。

Signal Segmentation

訊號分段。時間軸分割。大量訊號銜接在一起,分割每段訊號。

Signal Representation🚧

Signal Transformation

訊號變換。訊號套用函數,改變訊號造型。

Signal Representation

訊號表示。訊號套用函數,換個視角呈現訊號。

演算法(Karhunen–Loève Transform)(Hotelling Transform)

即是Principal Component Analysis。

演算法(Sparse Coding)

Signal Recovery🚧

Signal Completion

訊號補全。訊號部分佚失,推敲原本訊號。

Signal Recovery

訊號還原。訊號部分錯誤,推敲原本訊號。