Set

set是指數學名詞「集合」。在這裡我們只考慮元素為整數的集合。集合有幾點特性：

一、空集合。

二、集合中的元素不會重複。

Array

要表達一個集合，可以直觀的用一條一維的int陣列：將集合裡的所有元素，依序放入陣列中。再用一個變數，記錄元素總數。

struct Set { int array[100]; // 可存入100個元素 int num; // 記錄集合中有多少元素 }; Set set1, set2; // 建立兩個集合

如果熟悉C++標準函式庫，那麼使用vector更方便！

vector<int> set1(100); vector<int> set2(100);

然而，以這種資料結構，做聯集、交集、差集之類的運算，相當麻煩，速度慢。時間複雜度是O(AB)，A和B是元素數量。

可以直接使用C++標準函式庫的set_union()、set_intersection()。

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List

原理就和Array完全一樣。Array是一個一個數字連著放，List則是一個一個數字連成串。

Array

另外一種表達集合的方法，是用一條一維的bool陣列：集合裡若有x這個元素，就讓array[x]這個位置為true，否則為false。

它的壞處就是數值有界限、受陣列大小影響。然而，以這種資料結構，做聯集、交集、差集之類的運算，相當輕鬆，速度快。時間複雜度是O(R)，R是陣列大小。

bool set[100]; // 一個集合，元素的數值範圍為0到99 // 加入元素 void add_element(bool a[100], int element) { a[element] = true; } // 刪去元素 void delete_element(bool a[100], int element) { a[element] = false; } // 聯集 void union(bool a[100], bool b[100], bool c[100]) { for (int i=0; i<100; i++) c[i] = a[i] || b[i]; } // 交集 void intersection(bool a[100], bool b[100], bool c[100]) { for (int i=0; i<100; i++) c[i] = a[i] && b[i]; } // 差集 void difference(bool a[100], bool b[100], bool c[100]) { for (int i=0; i<100; i++) c[i] = a[i] && !b[i]; } // 補集 void complement(bool a[100], bool b[100]) { for (int i=0; i<100; i++) b[i] = !a[i]; } // 判斷是否為空集合 bool empty(bool a[100]) { for (int i=0; i<100; i++) if (a[i]) return false; return true; } // 判斷是否沒有交集 bool disjoint(bool a[100], bool b[100]) { for (int i=0; i<100; i++) if (a[i] && b[i]) return false; return true; } // 判斷a有沒有包含b bool contain(bool a[100], bool b[100]) { for (int i=0; i<100; i++) if (!a[i] && b[i]) return false; return true; }

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Bit Array（Bit Vector）（Bitset）

還可以進一步以bit代替bool變數。bit只有0和1兩種值，類似於bool變數，兩者都可以用來表示一個元素存不存在。利用bit們來表達集合，可以節省儲存空間，也可以節省運算時間。

一個int變數，記憶體大小是32 bit，可以充作32個數字的集合。想要更多bit，那就建立一條陣列吧！

typedef int Bitset[100]; // 一個集合，元素的數值範圍為 0 到 3199 // 求出element所在的陣列格子。即是element除以32的商數。 int get_pos(int element) { return element >> 5; } // 求出element在陣列格子當中是第幾個bit。即是element除以32的餘數。 // 然後讓一個bit位移至適當位置，以利計算。 int get_bit(int element) { return 1 << (element & 31); } // 加入元素 void add_element(Bitset a, int element) { a[get_pos(element)] |= get_bit(element); } // 刪去元素 void delete_element(Bitset a, int element) { a[get_pos(element)] &= ~get_bit(element); } // 聯集 void union(Bitset a, Bitset b, Bitset c) { for (int i=0; i<100; i++) c[i] = a[i] | b[i]; } // 交集 void intersection(Bitset a, Bitset b, Bitset c) { for (int i=0; i<100; i++) c[i] = a[i] & b[i]; } // 差集 void difference(Bitset a, Bitset b, Bitset c) { for (int i=0; i<100; i++) c[i] = a[i] & ~b[i]; } // 補集 void complement(Bitset a, Bitset b) { for (int i=0; i<100; i++) b[i] = !a[i]; } // 判斷是否為空集合 bool empty(Bitset a) { for (int i=0; i<100; i++) if (a[i]) return false; return true; } // 判斷是否沒有交集 bool disjoint(Bitset a, Bitset b) { for (int i=0; i<100; i++) if (a[i] & b[i]) return false; return true; } // 判斷a有沒有包含b bool contain(Bitset a, Bitset b) { for (int i=0; i<100; i++) if (~a[i] & b[i]) return false; return true; }

可以直接使用C++標準函式庫的bitset。

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Hash Function【這不是資料結構】

int hash(一筆資料) {return 一個數值;}

一筆資料重新表示成一個數值。該數值稱作雜湊值。

資料庫的觀點：資料進行索引，以利管理。密碼學的觀點：資料進行編碼，以求隱蔽。

理想情況是相同資料有著相同雜湊值、相異資料有著相異雜湊值，如此就能直接使用雜湊值來分辨資料。

可以直接使C++標準函式庫的hash()。

Hashing【這不是資料結構】

array[ hash(一筆資料) ] = 一筆資料;

繁中「雜湊」，簡中「散列」。一筆資料套用hash function得到雜湊值，作為陣列索引值，用陣列儲存資料。設計hash function時，必須確保雜湊值不會超出陣列邊界。

無論是相同資料、相異資料，只要有著相同雜湊值，就會儲存到陣列的同一個格子。此時有三種應對方案：

一、每個陣列元素皆改為List，串接資料。

二、放到下一格；如果下一格已經使用，就再往下一格。

三、新資料直接覆蓋舊資料。

此處以一為主。插入的時間複雜度是O(1)。刪除、搜尋的最佳時間複雜度是O(1)，相異資料有著相異雜湊值；最差時間複雜度是O(N)，相異資料有著相同雜湊值。

Hash Table

當元素的數值範圍很大，甚至元素不是整數，此時可以利用hash function得到一個索引值，而不會超出陣列邊界。

數值範圍小，索引儲存是首選，省時間費空間；數值範圍大，循序儲存是首選，省空間費時間。hash table兩者兼具，介於中間。

可以直接使用C++標準函式庫的unordered_set、unordered_multiset。

Cuckoo Filter

建立多個hash function。當陣列格子已有資料，就換hash function、換雜湊值。

有興趣的讀者，可以自行上網搜尋資料。

Bloom Filter

套用多個hash function，同時儲存於多個欄位，分散風險。只要發現對應欄位幾乎都是1，就推定元素存在於集合當中。缺點是可能製造原本不存在的元素。

如果懶得設計hash function，可以用兩個湊出多個：hashᵢ(n) = hash₁(n) + i ⋅ hash₂(n)。關鍵字Kirsch–Mitzenmacher。

有興趣的讀者，可以自行上網搜尋資料。

Binary Search Tree

只要是可以儲存大量數字的資料結構，都可以用來儲存一個集合。因此二元搜尋樹當然也能勝任這項任務！

詳細內容請見本站文件「Binary Search Tree」。

可以直接使用C++標準函式庫的set，不過它沒有聯集、交集、差集等功能，必須自己另外設計程式碼。也許你內心有點芥蒂；沒錯，C++標準函式庫的set，的確是名不符實的set。

Disjoint Sets

「互斥集」。一堆集合們，擁有的元素都不相同。也就是說，這些集合們之間沒有交集。

A = {1, 3, 7, 8}
B = {4, 5}
C = {2}
A、B、C構成Disjoint Sets。

D = {1, 2, 3}
A、B、C、D不是Disjoint Sets。

舉例來說，有十個學生，要製作分組報告，分成四組，這四組就是Disjoint Sets。

甲君、乙君、丙君、丁君、戊君、己君、庚君、辛君、壬君、癸君
共十人，分成了四組：

第一組：甲君、丙君、辛君、壬君
第二組：乙君
第三組：丁君、戊君、己君
第四組：庚君、癸君

這四組構成Disjoint Sets。

聯集、交集、差集，運算結果非常明顯。

merge、split、find

資料結構通常擁有「合併、分裂、尋找」三個功能。

互斥集的情況下，大家通常只使用合併、尋找。

也因此英文俗稱「Merge–Find Set」，中文俗稱「并查集」。中文俗稱源自「合并merge、并集union」和「查找find」。

合併merge：兩個集合合併成一個集合。（此處等同聯集union）
分裂split：一個集合分裂成兩個集合。
尋找find：一個元素位在哪個集合。

Disjoint-sets List

Disjoint-sets Array

讓一條int陣列的第x格代表第x人，格子裡填上這個人所屬的團體編號。若兩個人在同一團體，他們的格子裡就會有相同的團體編號。這是很直觀的方式。

int g[10]; // 每個人所屬的團體編號 g[0] = 0; // 第0人在第0團 g[1] = 0; // 第1人在第0團 g[2] = 2; // 第2人在第2團 : g[9] = 2; // 第9人在第2團

初始化

一開始大家還沒開始分團的時候，其實可以想做是：每個人都不同團，每個人都是自己一人一團。有個方便的初始值設定方法，就是將第x格的值設成x，這樣每個人就都是不同團體的了。

void initialize() { for (int x=0; x<10; x++) g[x] = x; }

Find: 找出一個人在哪一團？

直接看團體編號。

int find(int x) { return g[x]; }

Equivalent Relation: 兩個人是否同團？

直接看團體編號。

bool equivlence(int x, int y) { return g[x] == g[y]; }

Merge: 兩個人想合併自己所屬團體

現在有兩團想要合併成一團，交涉的人分別是x和y。x y想要合併成一團，只要把所有與x y同團的人，都填上同一個團體編號就行了。取x 和y其中一團的團體編號，當作新的團體編號，如此一來就不需要額外的編號了。

void merge(int x, int y) { // 要是x y不同團，才設成同團，以節省時間。 if (g[x] != g[y]) { int gmin = min(g[x], g[y]); // 團體編號較小者 int gmax = max(g[x], g[y]); // 團體編號較大者 // 把所有與x y同團的人，都填上同一個團體編號。 // 設定為團體編號較小者， // 讓所有團體編號維持是從零0開始的連續數字。 for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) g[i] = gmin; } } void merge(int x, int y) { // 精簡程式碼結構 if (g[x] == g[y]) return; // 為了精簡程式碼，不管團體編號大小了。 int gx = g[x], gy = g[y]; for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gx) g[i] = gy; }

Number of Sets: 全部總共幾個團體？

兩團合併成一團後，團體數就會減少一團。只需修改一下merge的程式碼。

int groups = 10; // 團體數 void merge(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; // 兩團合併成一團後，團體數就會減少一團。 int gx = g[x], gy = g[y]; for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gx) g[i] = y; }

Cardinality of a Set: 一個團體總共幾個人？

一個一個數是差勁的方法：

// 計算出x所屬的團體的人數 int cardinality(int x) { int gn = g[x]; // 先找到團體編號 int people = 0; // 計算出團體編號為gn的人數 for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gn) people++; return people; }

比較好的方法是：另外建立一條陣列去記錄每個團體的人數吧！陣列第x格填入團體編號為x的人數。要找出一個團體的人數，就直接從陣列裡面找。

以團體的觀點來看：兩團合併成一團後，團體人數就會改變。以人的觀點來看：當一個人所屬的團體被改變時，就調整人數。所以只要修改一下merge的程式碼就可以了。

int size[10]; // 每個團體的人數 void initialize() { for (int i=0; i<10; i++) { g[i] = i; size[i] = 1; // 團體編號從0到9，每團都是一個人。 } } void merge(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; int gx = g[x], gy = g[y]; for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gx) { g[i] = gy; size[gx]--; // 團體編號為gx的人數減少一人 size[gy]++; // 團體編號為gy的人數增加一人 } } int cardinality(int x) { return size[g[x]]; }

根據團體的人數多寡來做merge

合併團體時，將小的團體併入大的團體，可以節省一點點設定團體和增減人數所需的時間。

void merge(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; int glarge = g[x], gsmall = g[y]; if (size[x] < size[y]) swap(glarge, gsmall); for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gsmall) { g[i] = glarge; size[gsmall]--; size[glarge]++; } }

Singleton Set: 團體是否合併過？

自己一個人一組，沒有merge過。

bool singleton(int x) { return size[g[x]] == 1; }

時間複雜度

merge是O(N)，find、equivalence、cardinality、singleton是O(1)。

如果有N個人，全部的人都merge過一遍，每次merge要花O(N)時間，總共花O(N²)時間。

空間複雜度

如果有N個人，需要一條N格的陣列，O(N)。

Disjoint-sets Forest

原理正是圖論的「有向森林」。

讓一條int陣列的第x格代表第x人──不過，格子裡改成填上x的老大是誰：

int p[10]; // 記錄每個人的老大 p[0] = 1; // 第0人的老大是第1人 p[1] = 1; // 第1人的老大是第1人 p[2] = 8; // 第2人在老大是第8人 … p[9] = 2; // 第9人在老大是第2人

彷彿是老鼠會，以萬流歸宗的方式，來代表這個人是團體的大頭目。團體的所有成員，他們往上追溯之後，都是同一個頭目。一個團體中，只會有一個頭目，由他來支配團體、作為團體的代表。

各位可能會有一個疑問：一個團體之中，每個人都有一個頭目，那麼頭目的老大是誰呢？可以姑且設定成自己。

一個團體就像是一棵分支很複雜的有根樹。這些團體構成了一叢森林，故名Disjoint-sets Forest。

初始化

一開始大家還沒開始分團的時候，可以想成是：每個人都不同團，每個人都是自己一人一團，自己當頭目。將第x格的值設成x，這樣每個人都是不同團體的頭目了。

int p[10]; void initialize() { for (int x=0; x<10; x++) p[x] = x; }

Find: 找出一個人在哪一團？

接下來談談頭目吧。頭目在一個團體之中扮演舉足輕重的角色，一個團體只會有一個頭目，所以可以用頭目作為一個團體的代表。

int find(int x) { // 當 x 不是頭目，就繼續追本溯源，直到找到頭目。 while (x != p[x]) x = p[x]; return x; } int find(int x) { return x == p[x] ? x : find(p[x]); }

find的時候，可以把途中遇到的所有人，將其老大重設為頭目。如此一來下次find的時候就會變快了。

int find(int x) { return x == p[x] ? x : (p[x] = find(p[x])); }

Equivalent Relation: 兩個人是否同團？

同一個團體中的成員，他們的頭目都是同一個人。要看兩個人是不是同一團，看看他們的頭目是不是同一人就行了。

bool equivalence(int x, int y) { return find(x) == find(y); }

Merge: 兩個人想合併自己所屬團體

合併x y兩個團體，重新選出一個頭目。最簡單的方式是：讓x的頭目帶著他旗下所有小弟，投靠y團體的隨便一個人，如此一來兩個團體就擁有共同的頭目了，也依然保持著老鼠會的架構。

void merge(int x, int y) { x = find(x); // 先找出x的頭目 p[x] = y; // x的頭目帶領旗下小弟投靠y }

merge的時候，直接投靠對方的頭目，可以讓樹的深度增加最少。如此一來下次find的時候就會變快了。

void merge(int x, int y) { x = find(x); // 先找出頭目 y = find(y); // 先找出頭目 p[x] = y; // x的頭目帶領旗下小弟投靠y的頭目 } void merge(int x, int y) { p[find(x)] = find(y); }

實作小叮嚀：merge要確保投靠的人是頭目，投靠後頭目只有一個。另外也要避免同團體的人互相設定彼此是頭目，否則find會無限循環。

Number of Sets: 全部總共幾個團體？

兩團合併成一團後，團體數就會減少一團。只需修改一下merge的程式碼。

int groups = 10; // 團體數 void merge(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; groups--; // 兩團合併成一團後，團體數就會減少一團。 p[x] = y; }

Cardinality of a Set: 一個團體總共幾個人？

先前提到頭目可以支配、代表一個團體，所以把焦點放在頭目上吧。另外建立一個陣列去記錄每個頭目帶領的人數，size[頭目] = 頭目帶領的人數。

兩團合併成一團後，團體人數就會改變。新頭目吸收人數；舊頭目則不再是頭目，毋須理會他帶領的人數。只需修改一下merge的程式碼。

int size[10]; // 每個頭目帶領的人數 void initialize() { for (int i=0; i<10; i++) { p[i] = i; // 每團只有一個人，頭目是自己 size[i] = 1; // 每個頭目都只帶領一個人，那個人是自己。 } } void merge(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; groups--; size[y] += size[x]; // 新頭目吸收人數 // size[x] = 0; // 舊頭目不再帶領人 p[x] = y; } int cardinality(int x) { return size[find(x)]; }

根據團體的人數多寡來做merge

merge的時候，讓小的團體併入大的團體，可以讓樹的深度增加最少。如此一來下次find的時候就會變快了。

void merge(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; groups--; if (size[x] < size[y]) // x團體人單勢孤，y團體人多勢眾。 { p[x] = y; // x的頭目帶領旗下小弟投靠y的頭目 size[y] += size[x]; // y的頭目增加人數 } else // 形勢顛倒 { p[y] = x; size[x] += size[y]; } }

Singleton Set: 團體是否合併過？

自己一個人一組，沒有merge過。

bool singleton(int x) { return size[find(x)] == 1; }

Empty Set: 空集合

之前我們都未處理空集合。現在我們要改良資料結構，讓它可以處理空集合，而效率仍然保持一樣。

將陣列的第0格當作是一個空集合，不代表任何人。總人數如果有10人，那麼就要建立11格的陣列。第0格是空集合，第1格到第10格，分別代表著10個人。

現在既然有了空集合，便可將頭目的老大設定為空集合，更具義理。也就是說，初始化時要將陣列的初始值都改成0。

int p[10+1]; void initialize() { for (int x=0; x<10+1; x++) p[x] = 0; } bool empty(int x) { return x == 0; }

多了空集合，就要另外考慮和空集合做聯集。不管什麼集合，只要和空集合做聯集，集合都不會改變。凡是遇到空集合，就不必做聯集了。

void merge(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y || x == 0 || y == 0) return; p[x] = y; }

其他部分大致不變，不再贅述。

時間複雜度

merge、find、equivalence、cardinality、singleton皆是O(logN)。值得一提的是，均攤時間皆是O(α(N))，其中α(N)是Ackermann function f(N,N)的反函數。

空間複雜度

如果有N個人，就需要一條N格的陣列，O(N)。

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