Polynomial(Under Construction!)

多項式微積分

多項式函數的導數、積分,仍是多項式函數!dx竟然可以變不見!有興趣的讀者可以觀落陰請教牛頓、萊布尼茲。

http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/polynomials.html

多項式函數的導數、積分,可以預計算!數學家發明了大量的計算手法,得以在紙上推導微積分的結果,得到公式。有興趣的讀者可以參考微積分、工程數學教科書。

多項式性質優雅、用途廣泛。物理、化學、工程、經濟、……,各種領域都在使用多項式。

高精度計算

Formal Power Series(Under Construction!)

Repeating Decimal / Terminating Decimal

收斂時,一般數等於無窮數。

https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Infinite Poynomial / Finite Polynomial

「無窮多項式」。多項式擁有無限多項。

「有限多項式」。多項式擁有有限多項。簡稱「多項式」。

無窮多項式、多項式,性質截然不同,必須看成是兩種東西。

無窮多項式就和多項式一樣,有著各種運算。

addition +

無窮多項式的加法減法,視情況得到無窮多項式或有限多項式。


euclidean division ÷

有限多項式的帶餘除法,視情況得到無窮多項式或有限多項式。

geometric series
1/(1-ax) = (ax)⁰ + (ax)¹ + (ax)² + ...

differentiation d/dx

微分總是從宇宙洪荒之中取得更高項。

儘管現實世界似乎沒有可以比擬的事物。

Binomial Series(Under Construction!)

Binomial Series

「二項式級數」。

Taylor Series(Under Construction!)

Taylor Series

「泰勒級數」。多項式更換底數的數學公式。底數減a。

f(x) = c₀ (x-a)⁰ + c₁ (x-a)¹ + c₂ (x-a)² + c₃ (x-a)³

原多項式不斷微分、求值,得到新多項式係數c₀ c₁ c₂ c₃。

註:方便起見,定義0! = 1與0⁰ = 1,讓數學公式變漂亮。

        f(a)          f′(a)          f″(a)          f‴(a)       
f(x) = ――――― (x-a)⁰ + ――――― (x-a)¹ + ――――― (x-a)² + ――――― (x-a)³
         0!             1!             2!             3!        
f(x) = c₀ (x-a)⁰ + c₁ (x-a)¹ + c₂ (x-a)² + c₃ (x-a)³
f(a) = c₀ (a-a)⁰ + c₁ (a-a)¹ + c₂ (a-a)² + c₃ (a-a)³ = c₀
c₀ = f(a)

f′(x) = 1 c₁ (x-a)⁰ + 2 c₂ (x-a)¹ + 3 c₃ (x-a)²
f′(a) = 1 c₁ (a-a)⁰ + 2 c₂ (a-a)¹ + 3 c₃ (a-a)² = c₁
c₁ = f′(a)

f″(x) = (2⋅1) c₂ (x-a)⁰ + (3⋅2) c₃ (x-a)¹
f″(a) = (2⋅1) c₂ (a-a)⁰ + (3⋅2) c₃ (a-a)¹ = 2! c₂
c₂ = f″(a) / 2!

整數多項式,底數保持是整數,仍是整數多項式。

順帶一提,整數多項式,k階微分的每個係數,除以k!,都能整除。也就是說,任意連續k數連乘,除以k!,都能整除。

https://www.quora.com/Is-there-a-simple-proof-for-the-Taylor-Series

Taylor Series: Taylor Expansion

「泰勒展開」。多項式更換輸入值的數學公式。輸入值加a。

Taylor Series另一種形式。分母移動。

            (x-a)⁰         (x-a)¹         (x-a)²         (x-a)³
f(x) = f(a) ―――――― + f′(a) ―――――― + f″(a) ―――――― + f‴(a) ――――――
              0!             1!             2!             3!  

變數替換,x替換成x+a。

                x⁰         x¹         x²         x³
f(x + a) = f(a) ―― + f′(a) ―― + f″(a) ―― + f‴(a) ――
                0!         1!         2!         3!

taylor expansion

     deg(a)        deg(a)
      ⎲‾╵           ⎲‾╵ a⁽ⁿ⁾(k)
a  =   〉   aₙ xⁿ  =   〉   ——————— (x - k)ⁿ
      ⎳_╷           ⎳_╷    n!
      n=0           n=0

Natural Exponentiation(Under Construction!)

微分不動點

https://math.stackexchange.com/questions/2402730/

光滑函數:無限可微(包含無窮多項式)。

解析函數:無限可微且無窮多項式且收斂。

微分不動點:一個多項式,經過微分,仍然是相同多項式。

零多項式是微分不動點:缺乏討論意義。

其他多項式都不是微分不動點:微分總是消滅最高項。

某些無窮多項式是微分不動點:微分總是取得更高項。

利用遞迴函數。

f(x)  =  c₀x⁰ +  c₁x¹ +  c₂x² +  c₃x³ + ...
f′(x) = 1c₁x⁰ + 2c₂x¹ + 3c₃x² + ...

equations      recurrence
{ c₀ = 1c₁     { c₀ = any number
{ c₁ = 2c₂     { cₙ = cₙ₋₁ / n
{ c₂ = 3c₃
{  :    :

利用泰勒展開。

                  x⁰   x¹   x²
f(x + a) = f(a) ( ―― + ―― + ―― + ... )   let f(x) = f′(x) = f″(x) = ...
                  0!   1!   2!
              x⁰   x¹   x²
f(x) = f(0) ( ―― + ―― + ―― + ... )   let a = 0
              0!   1!   2!

Natural Exponential Function

大家令c₀ = f(0) = 1,建立常數項是1的微分不動點函數。

       x⁰   x¹   x²   x³
f(x) = ―― + ―― + ―― + ―― + ...   when f(0) = f′(0) = f″(0) = ... = 1
       0!   1!   2!   3!
         x⁰   x¹   x²   x³
exp(x) = ―― + ―― + ―― + ―― + ...    where exp(0) = 1
         0!   1!   2!   3!

常數項是1的微分不動點函數屬於指數函數。

指數函數:輸入相加等同輸出相乘。

二項式展開(巴斯卡三角)、冪級數乘法(加性卷積)。

 exp(x + y) = exp(x) exp(y)

  (x+y)⁰   (x+y)¹   (x+y)²      
= ―――――― + ―――――― + ―――――― + ...
    0!       1!       2!        

  0!   x⁰y⁰     1!   x⁰y¹   x¹y⁰     2!   x⁰y²   x¹y¹   x²y⁰        
= ―― ( ―――― ) + ―― ( ―――― + ―――― ) + ―― ( ―――― + ―――― + ―――― ) + ...
  0!   0!0!     1!   0!1!   1!0!     2!   0!2!   1!1!   2!0!        

    x⁰y⁰       x⁰y¹   x¹y⁰       x⁰y²   x¹y¹   x²y⁰        
= ( ―――― ) + ( ―――― + ―――― ) + ( ―――― + ―――― + ―――― ) + ...
    0!0!       0!1!   1!0!       0!2!   1!1!   2!0!        

  x⁰y⁰   x⁰y¹   x⁰y²         x¹y⁰   x¹y¹   x¹y²         
= ―――― + ―――― + ―――― + ... + ―――― + ―――― + ―――― + ...
  0!0!   0!1!   0!2!         1!0!   1!1!   1!2!         

    x⁰   x¹   x²           y⁰   y¹   y²        
= ( ―― + ―― + ―― + ... ) ( ―― + ―― + ―― + ... )
    0!   1!   2!           0!   1!   2!        
  exp(x + y) = exp(x) exp(y)

    (x+y)ⁿ       (x+y)ᵃ⁺ᵇ          1    (a+b)!             xᵃyᵇ
sum ―――――― = sum ―――――――― = sum  ―――――― ―――――― xᵃyᵇ = sum  ――――
 n    n!    n=a+b (a+b)!   n=a+b (a+b)!  a!b!        n=a+b a!b!

          xᵃyᵇ         xᵃ         yᵇ  
= sum sum ―――― = ( sum ―― ) ( sum ―― )
   a   b  a!b!      a  a!      b  b!  

exp(x)是指數函數,exp(1)做為底數。指數函數的一次方是底數。

exp(x)稱作「自然指數函數」。

exp(1)稱作「歐拉數」,簡寫為小寫英文字母e。

                                 1    1    1    1
exp(x) = eˣ   where e = exp(1) = ―― + ―― + ―― + ―― + ... ≈ 2.71828182846
                                 0!   1!   2!   3!

Natural Exponential Function下界

近似公式,但是不實用。

https://proofwiki.org/wiki/Euler's_Number:_Limit_of_Sequence_implies_Limit_of_Series

           x⁰   x¹   x²         xⁿ
exp(x,n) = ―― + ―― + ―― + ... + ―― ≥ (1 + x/n)ⁿ
           0!   1!   2!         n!

           x⁰   x¹   x²
exp(x)   = ―― + ―― + ―― + ......   = lim (1 + x/n)ⁿ
           0!   1!   2!              n→∞

Natural Logarithm(Under Construction!)

積分不動點

https://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_series

http://www.math.com/tables/expansion/log.htm

Natural Logarithmic Function上界

近似公式,但是不等於。

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Mascheroni_constant

          (x-1)¹   (x-1)²   (x-1)³         (x-1)ⁿ   1    1    1          1 
ln(x,n) = ―――――― - ―――――― + ―――――― - ... + ―――――― < ―― + ―― + ―― + ... + ――
            1        2        3              n      1    2    3          n 
                          
          (x-1)¹   (x-1)²   (x-1)³                  1    1    1          
ln(x)   = ―――――― - ―――――― + ―――――― - ......       < ―― + ―― + ―― + ......
            1        2        3                     1    2    3          

Transcendental Number(Under Construction!)

數字種類(基於數列運算)

數字可以改寫成多項式、數列。數列可以裝備微分積分。

目前大家還不知道如何進行補滿拓展。也許是指數對數函數?也許是超越數?

e

「歐拉數Euler Number」。實際數值差不多是2.72。

計算eˣ的演算法:Taylor Series與Horner's Rule。

π

「圓周率」。圓周長除以直徑,實際數值差不多是3.14。

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms

延伸閱讀:π is wrong!

http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html

有兩派人馬,一派支持角度,一派支持面積。

角度派認為π是180°,是圓周角360°的一半,要乘以二才能補成360°,極不方便。這派人馬認為應該替360°特地訂立符號。

面積派認為π剛好就是單位圓面積,明明很方便,不需要改。

延伸閱讀:math.h

https://zhuanlan.zhihu.com/p/20085048