Planar Graph

一張圖，畫在平面上，點不重疊、邊不交叉，稱作「平面圖」。

先前在「Graph」提及了同構的概念：一張圖可以挪動點與邊。一張平面圖，就算挪動點與邊，使得點重疊、邊交叉，也還是平面圖。反過來說，一張圖，畫在平面上，挪動點與邊，使得點不重疊、邊不交叉，也算是平面圖。

那有沒有立體不打結圖呢？應該有吧。

Euler Characteristic

凡是點、邊、面這些基本元件之間的數量關係，就稱作Euler Characteristic。歐拉是第一位想到這件事情的數學家。

平面圖當中，則有V+F=E+2這個數量關係，其中V代表點數、E代表邊數、F代表面數。統計數量之前，需要挪動點與邊，使得點不重疊、邊不交叉。

進階版本是V+F=E+C+1，其中C代表連通分量數目。

你會證明嗎？:-)

UVa 10178

Dual Graph

設計平面圖演算法時，「對偶圖」是相當重要的工具。

一張平面圖當中，面與面的相鄰關係表示成一張圖，就得到對偶圖。對偶圖當中，面與面的相鄰關係表示成一張圖，就得到原來的平面圖。

原圖和對偶圖可以互相轉換成為對方。原圖和對偶圖擁有相等的資訊量，只是以不同形態呈現。

有向圖的情況比較特別：對偶圖從右往左穿越邊；橋與自環無法判斷左右，對偶圖以逆時針方向穿越邊。此定義亦可改成從左往右、順時針。

運用同構的概念，挪動原圖的點與邊，就會得到另外一種對偶圖。對偶圖可能有許多種，而且不見得同構！

由於缺乏優美規律，因此談論對偶圖時，習慣忽略同構。

最特別的對偶圖例子，就是橋（bridge）與自環（loop）。舉例來說，原圖是一棵樹，對偶圖是一個點以及一大堆自環；各種樹對應各種自環包覆方式。

由於缺乏優美規律，因此談論對偶圖時，習慣忽略橋與自環。原圖凡是無橋、無自環，對偶圖即是無橋、無自環。

圖論當中，有許多對偶方式。最名聞遐邇的對偶方式，就是平面對偶。於是Dual Graph這個名詞，就留給了平面對偶所得到的圖；其他對偶方式則有其他名稱。

UVa 11706

Planar Graph資料結構

平面圖當中，點不重疊、邊不交叉。鄰邊與鄰面交錯排列。

Adjacency Lists當中，各點的鄰邊，可以依照時針順序排序！

如何判斷鄰邊次序？我沒有學會。如果你知道，麻煩告訴我。

Planar Graph Recognition（Planarity Testing）

運用Depth-first Search，時間複雜度O(V+E)：

動態圖的情況下，均攤時間複雜度O(log³V)：

UVa 10768

Mininum Spanning Tree（Matsui, 1994）

原圖的最小生成森林以外的邊，就是對偶圖的最大生成樹。

原圖的每一種最小生成森林、對偶圖的每一種最大生成樹，一一對應。

證明：一、視樹為牆。樹無環，故面有出口、面皆連通。二、生成樹須連通，故任兩面僅能有一條通路，否則兩條以上通路將切斷生成樹連通。三、生成森林無須連通，但是兩生成子樹的任兩面，其通路必經最外面（可想成樹根），故任兩面仍僅有一條通路。四、承一二三，所有面連通、任兩面只有一條通路，即是面的生成樹！五、牆最小，非牆最大，故得面的最大生成樹。

演算法原理類似「Borůvka's Algorithm」，同時考慮原圖和對偶圖，同時計算原圖的最小生成樹、對偶圖的最大生成樹。

一、隨時刪除所有自己連向自己的邊，也就是刪除所有自環。
二、重複以下步驟V次：
　口、原圖以及對偶圖，一定找得到一個度數小於4的點，稱作a點。
　口、如果a點在原圖上：
　　甲、原圖a點所屬的生成子樹，找權重最小的聯外邊ab。
　　乙、原圖的最小生成樹有邊ab。
　　丙、原圖收縮邊ab、對偶圖刪除邊ab。兩圖隨時保持對偶。
　口、如果a點在對偶圖上：
　　甲、對偶圖a點所屬的生成子樹，找權重最大的聯外邊ab。
　　乙、對偶圖的最大生成樹有邊ab。
　　丙、對偶圖收縮邊ab、原圖刪除邊ab。兩圖隨時保持對偶。

因為度數小於4，找最小鄰邊的時間複雜度降為O(1)，總時間複雜度降為O(V+E)，到達了下限。

平面圖：V+F=E+C+1
原圖以及對偶圖的總度數：2E + 2E' = 4E
原圖以及對偶圖的總點數：V + V' = V + F = E+C+1
原圖以及對偶圖，一個點的平均度數：4E / (E+C+1) < 4
原圖以及對偶圖，一定至少有一個點，其度數小於等於平均度數，也就是小於4。

由於要維護原圖和對偶圖的資料結構，還要隨時找到度數小於4的點，所以此演算法的實際運行速度，遠比一般圖的最小生成樹演算法來得慢。

儘管此演算法並不實用，但是此演算法開啟了一條道路，讓我們知道各種圖論問題一旦搬到平面圖上，只要運用對偶圖、度數等等性質，時間複雜度就會有很大的改進。

至於有向圖的版本，我不知道有沒有人研究。

Shortest Path

已經有詳細的課程教材，不再重複整理。

ICPC 6438

Minimum s-t Cut / Maximum s-t Flow

原圖的最小st割＝對偶圖的最小分隔環。

Multiple-source shortest paths in planar graphs
build O(nlogn)  query O(logn)

Multiple-Source Single-Sink Maximum Flow in
Directed Planar Graphs in O(diameter ⋅ nlogn) Time
http://arxiv.org/pdf/1104.4728.pdf

Multiple-Source Multiple-Sink Maximum Flow in
Directed Planar Graphs in Near-Linear Time
https://arxiv.org/pdf/1105.2228
O(n log³ n)

Maximum Integer Flows in Directed Planar Graphs with
Multiple Sources and Sinks and Vertex Capacities
https://arxiv.org/pdf/1804.08683
O(n log³ n + kn)

ICPC 3661

Maximum Clique

最大團頂多4點。窮舉所有子團，時間複雜度O(V+E)。

備忘

平面圖判定　　　　　	Kuratowski's theorem　　	O(N)
存在歐拉回路　　　　	對偶圖存在二分圖　　　　	O(N)
最小生成樹　　　　　	對偶圖最大生成樹的補圖　	O(N)
st最短路徑（無負邊）	　　　　　　　　　　　　	O(N sqrtlogN)
st最短路徑（有負邊）	　　　　　　　　　　　　	O(N sqrtN)
st最小割＝st最大流　	對偶圖最小分隔環　　　　	O(N logN)
最小割　　　　　　　	對偶圖最小環　　　　　　	O(N logN logN)
最小割樹　　　　　　	對偶圖最小環基底　　　　	O(N sqrtN logN)
最大割　　　　　　　	對偶圖中國郵差問題　　　	O(N sqrtN logN)
²⁄₃點分隔　　　　　　	planar separator theorem	O(N)
完美匹配計數　　　　	FKT algorithm

degeneracy = 5    存在某一點，邊數小於等於5
arboricity = 3    分解成生成森林，數量大於等於3