energy detection
找出訊號的能量。
週期訊號可以分隔為多串弦型訊號。能量就是每個弦型訊號的振幅的平方和。
能量就是頻譜逐項平方總和。就這樣。
根據Parseval's theorem，可以直接在時域求得能量。
Parseval's theorem：時域共軛乘法等於頻域共軛乘法。
Parseval's theorem：時域逐項平方總和等於頻域逐項平方總和。
Parseval's theorem
N-1 N-1
sum x*(n) y(n) = sum x̂*(n) ŷ(n) where x* = conjugate(x)
n=0 n=0
Parseval's theorem (special case)
N-1 N-1
sum |x(n)|² = sum |x̂(n)|² where x̂ = fourier(x)
n=0 n=0
Spectrum Sensing: Enhanced Energy Detection Technique Based on Noise Measurement
Teager–Kaiser Energy Operator
TK[x(t)] = ẋ(t)² - x(t)ẍ(t)
TK[x(n)] = x(n)² - x(n+1)x(n-1)
power spectral density estimation
找出特定頻段的功率。
功率就是頻譜單項平方，最後除以訊號長度。就這樣。
energy：能量。每個弦型訊號的振幅的平方和。每個訊號的平方和。
power：功率。能量除以時間。每單位時間的能量。
discrete-time signal
E = sum |x̂(f)|² energy
Eₓₓ(f) = |x̂(f)|² energy spectral density
P = E / N power
Pₓₓ(f) = Eₓₓ(f) / N power spectral density (periodogram)
continuous-time signal
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_density
+∞
E = ∫ |x̂(f)|² df energy
-∞
+∞
= ∫ |x(t)|² dt Parseval's theorem
-∞
Eₓₓ(f) = |x̂(f)|² energy spectral density
1 t₀+½T
P = lim ——— ∫ |x(t)|² dt power
T→0 T t₀-½T
1 +∞
= lim ——— ∫ |xᴛ(t)|² dt let xᴛ(t) = x(t) w(t)
T→0 T -∞ w is rectangle window
1 +∞
= lim ——— ∫ |x̂ᴛ(f)|² df
T→0 T -∞
|x̂ᴛ(f)|²
Pₓₓ(f) = lim ———————— power spectral density
T→0 T
然而，針對隨機訊號，事情相當棘手。隨機訊號的傅立葉轉換毫無規律。幸運的是，滿足wss條件的隨機訊號，可以利用Wiener–Khinchin theorem，以自相關函數的傅立葉轉換求得能量譜密度、功率譜密度。仔細考慮自相關函數超出邊界的訊號該如何處理，衍生各種演算法。
針對一般訊號，如果雜訊部分恰是滿足wss條件的隨機訊號，就可以使用這些演算法。
專著《Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications》。
專著《Spectral Analysis of Signals》。
Wiener–Khinchin theorem
rₓₓ(k) = sum x*(n) x(n+k) autocorrelation function
Sₓₓ(f) = r̂ₓₓ(k) energy spectral density
以傅立葉轉換，求得功率譜密度。
Bartlett's method：等分K段，每段M點。每段分別求得功率譜密度，再求平均數。
1 M-1
Pₓₓ⁽ⁱ⁾(f) = ——— sum |x(n) exp(-𝑖2πfn)|²
M n=0
1 K
Pₓₓ(k) = ——— sum Pₓₓ⁽ⁱ⁾(f)
K i=1
Welch's method：一、每段互相交疊一部分。二、窗函數。
1 M-1
Pₓₓ⁽ⁱ⁾(f) = ——— sum |x(n) w(n) exp(-𝑖2πfn)|²
M U n=0
1 M-1
where U = ——— sum w(n)²
M n=0
以自相關函數的傅立葉轉換，求得功率譜密度。
periodogram：自相關函數。超出範圍不計入。左右對稱。
⎧ 1 N-m-1
rₓₓ(k) = ⎪ ——— sum x*(n) x(n+k) k = 0 ... N-1
⎨ N-m n=0
⎪
⎩ rₓₓ*(-k) k = -1 ... -(N-1)
N-1
Pₓₓ(f) = sum rₓₓ(k) exp(-𝑖2πfk)
k=-(N-1)
periodogram：自相關函數。超出範圍視作零。左右移位。
⎧ 1 N-k-1
rₓₓ(k) = ⎪ ——— sum x*(n) x(n+k) k = 0 ... N-1
⎪ N n=0
⎨
⎪ 1 N-1
⎪ ——— sum x*(n) x(n+k) k = -1 ... -(N-1)
⎩ N n=|k|
N-1
Pₓₓ(f) = sum rₓₓ(k) exp(-𝑖2πfk)
k=-(N-1)
Blackman–Turkey method：一、自相關函數。二、窗函數。
M-1
Pₓₓ(f) = sum rₓₓ(k) w(k) exp(-𝑖2πfk)
k=-(M-1)
以autoregressive model的係數，求得功率譜密度。
Yule–Walker method：前向誤差
p
Pₓₓ(f) = σ² / |1 + sum a(k) exp(-𝑖2πfk)|²
k=1
p
where σ² = rₓₓ(0) prod (1 - |a(k)|²)
k=1
Burg's method：前向誤差加上後向誤差
自相關函數做特徵分解，求得功率譜密度。
https://huipinghuang.work/MyPDFs/CaponandMUSIC.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/MUSIC_(algorithm)
https://www.mathworks.com/help/signal/ug/music-and-eigenvector-analysis-methods.html
eigenanalysis
onset detection
找到非雜訊的起點。
https://jneuroengrehab.biomedcentral.com/articles/10.1186/s12984-023-01268-8
