Group
「群」是兩種東西合體：多個元素（一個集合）、一個運算。必須滿足四個規定。
1. Closure 閉包：無論取誰運算，結果仍是那些元素。
a∙b = c
a∈S, b∈S ⇒ c∈S
2. Associativitiy 結合律：無論誰先運算，結果一致。
(a∙b)∙c = a∙(b∙c)
3. Identity 單位元素1：實施運算，結果不變。
a∙1 = 1∙a = a
4. Inverse 反元素a̅：實施運算，結果相消，得到單位元素。
a∙a̅ = a̅∙a = 1
所有元素必須符合所有規定。
a b c：任意元素。
1 a̅：符合規定的某個元素（某些元素）。必須找到。
順便介紹一下其他數學符號的意義。
S：這個群的元素們（集合）。
∙：這個群的運算。
=：等於。詳情請自行學習集合論。
∈：屬於。詳情請自行學習集合論。
,：與。詳情請自行學習集合論。
範例：整數加法群
集合：整數ℤ ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
運算：整數加法+
1. 2+3 = 5 a = 2, b = 3, c = 5
2∈ℤ, 3∈ℤ ⇒ 5∈ℤ
2. (2+3)+4 = 2+(3+4) a = 2, b = 3, c = 4
3. 2+0 = 0+2 = 2 a = 2, 1 = 0
4. 2+(-2) = (-2)+2 = 0 a = 2, a̅ = -2, 1 = 0
範例：整數乘法群
集合：整數ℤ ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
運算：整數加法×
1. 2×3 = 6 a = 2, b = 3, c = 6
2∈ℤ, 3∈ℤ ⇒ 6∈ℤ
2. (2×3)×4 = 2×(3×4) a = 2, b = 3, c = 4
3. 2×1 = 1×2 = 2 a = 2, 1 = 1
4. 2×½ = ½×2 = 1 a = 2, a̅ = ½, 1 = 1
範例：餘數加法群
集合：餘數ℤₙ ℤ₅ = {0, 1, 2, 3, 4}
運算：餘數加法+
1. 2+3 ≡ 0 (mod 5) a = 2, b = 3, c = 0
2∈ℤ₅, 3∈ℤ₅ ⇒ 0∈ℤ₅
2. (2+3)+4 ≡ 2+(3+4) (mod 5) a = 2, b = 3, c = 4
3. 2+0 ≡ 0+2 ≡ 2 (mod 5) a = 2, 1 = 0
4. 2+3 ≡ 3+2 ≡ 0 (mod 5) a = 2, a̅ = 3, 1 = 0
範例：餘數乘法群
集合：與模數互質的數字ℤₙˣ ℤ₈ˣ = {1, 3, 5, 7}
運算：餘數乘法×
1. 3×5 ≡ 7 (mod 8) a = 3, b = 5, c = 7
3∈ℤ₈ˣ, 5∈ℤ₈ˣ ⇒ 7∈ℤ₈ˣ
2. (3×5)×7 ≡ 3×(5×7) (mod 8) a = 3, b = 5, c = 7
3. 5×1 ≡ 1×5 ≡ 5 (mod 8) a = 5, 1 = 1
4. 5×5 ≡ 5×5 ≡ 1 (mod 8) a = 5, a̅ = 5, 1 = 1
反例：向量叉積
集合：實數向量ℝₙ
運算：向量叉積×
2. (a×b)×c ≠ a×(b×c)
結合律不存在。
想要體現非群，我認為向量叉積是經典反例。
Commutative Group（Abelian Group）
「交換群」。追加第五點規則。
5. Commutativity 交換律：輸入交換順序，輸出仍然相同。
a∙b = b∙a
追加規則聽起來很煩。其實可以把事情想得簡單一點：群分成兩種，要嘛符合交換律，要嘛不符合交換律。
方才的範例都是交換群。下面補充兩個不是交換群的範例。
反例：矩陣乘法群
集合：可逆矩陣
運算：矩陣乘法
1. ⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤ = ⎡ 8 10 ⎤
⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 18 22 ⎦
⎡ 1 2 ⎤ ∈ ℝ₂ₓ₂ ⎡ 2 2 ⎤ ∈ ℝ₂ₓ₂ ⇒ ⎡ 8 10 ⎤ ∈ ℝ₂ₓ₂
⎣ 3 4 ⎦ , ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 18 22 ⎦
a = ⎡ 1 2 ⎤ b = ⎡ 2 2 ⎤ c = ⎡ 8 10 ⎤
⎣ 3 4 ⎦ , ⎣ 3 4 ⎦ , ⎣ 18 22 ⎦
2. ⎛ ⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤ ⎞ ⎡ 3 2 ⎤ = ⎡ 1 2 ⎤ ⎛ ⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 3 2 ⎤ ⎞
⎝ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎠ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎝ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎠
a = ⎡ 1 2 ⎤ , b = ⎡ 2 2 ⎤ , c = ⎡ 3 2 ⎤
⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦
3. ⎡ 4 3 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ = ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 4 3 ⎤ = ⎡ 4 3 ⎤
⎣ 3 2 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 3 2 ⎦ ⎣ 3 2 ⎦
a = ⎡ 4 3 ⎤ , 1 = ⎡ 1 0 ⎤
⎣ 3 2 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦
4. ⎡ 4 3 ⎤ ⎡ -2 3 ⎤ = ⎡ -2 3 ⎤ ⎡ 4 3 ⎤ = ⎡ 1 0 ⎤
⎣ 3 2 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 2 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦
a = ⎡ 4 3 ⎤ , a̅ = ⎡ -2 3 ⎤ , 1 = ⎡ 1 0 ⎤
⎣ 3 2 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦
5. ⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤ ≠ ⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 1 2 ⎤
⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦
a = ⎡ 1 2 ⎤ , b = ⎡ 2 2 ⎤
⎣ 3 4 ⎦ ⎣ 3 4 ⎦
反例：三維旋轉群SO(3)
集合：三維旋轉矩陣（正規正交矩陣，determinant是1）
運算：矩陣乘法
先轉後轉，結果不同。
想要體現非交換群，我認為三維旋轉群是經典反例。
Order
「秩」。群的大小。元素數量。集合大小。
Generating Set
「生成集合」。取出一些元素。以這些元素及其反元素，實施一長串運算，例如a∙b∙a̅∙b∙b∙b，可以得到每一種元素。
白話：萬能材料。
Subgroup
「子群」。取出一些元素。以這些元素及其反元素，實施一長串運算，還是只能得到這些元素。
白話：關住了、出不去了。
註：教科書採用遞推版本「運算結果及其反元素，反覆實施運算」。兩種版本等價。反元素唯一、反反元素是自身a̿ = a、反元素公式a ∙ b = b ∙ a，證明這三者，接著就能證明兩種版本等價。
數學定理
Lagrange's Theorem：子群的大小，整除群的大小。
Cauchy's Theorem：當質數p整除群的大小（例如排列群），那麼此群存在一個元素g（例如一個排列），使得 g^p = 1（此排列套用p次，每個軌道剛好走零步）。
Cayley's Theorem：隨便一個群，一定可以等價地變成某個對稱群的子群（例如排列群）。
延伸閱讀
