Voronoi Diagram

Voronoi Diagram

平面上散布許多點。平面上每一處,各自歸類於最近的點;自然而然的,形成了分界線,是中垂線。Voronoi Diagram是分界線組成的集合。Voronoi是發明者的姓氏。

簡單來說,鄰近的點的中垂線,形成Voronoi Diagram。

Voronoi Diagram隱含著鄰近的資訊,所以「最靠近」、「距離最短」之類的問題,多半可以透過Voronoi Diagram解決。

Voronoi Diagram是大自然的圖案,諸如長頸鹿的斑紋、蜻蜓的翅膀、葉片的細胞壁。應用相當廣泛。

UVa 12109

Perpendicular Bisector

「中垂線」,中學數學,不再贅述。

三角形的三中垂線,交於一點,是外接圓圓心,稱作外心。中垂線有等距、平分的感覺,圓有等距、歸心的感覺,兩者關係匪淺。

由此可知,Voronoi Diagram一個點至少連著三條邊。

Voronoi Diagram點和邊的數量

延伸至無限遠的邊,通通接往一個點,Voronoi Diagram就變成平面圖。

運用平面圖歐拉公式v-e+f=2,輔以「一個點至少連著三條邊」的限制,可以推理出Voronoi Diagram最多有2N-5個點、3N-6條邊,都是O(N)。

演算法(Half-plane Intersection)

枚舉每一點,求得該點的區域:與其他點形成的N-1條中垂線,求半平面交集。時間複雜度O(N ⋅ NlogN) = O(N²logN)。

演算法(Incremental Method)

online演算法,一次加一點。找到當前輸入點相距最近的點,然後以中垂線繞行一圈求得當前輸入點的區域。時間複雜度O(N²)。

演算法(Divide and Conquer)

http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf

所有點分成左右兩側,分別求出Voronoi Diagram,然後合而為一。

從左右Convex Hull的外公切線的中垂線開始行進,一旦撞到左右Voronoi Diagram,就改變行進方向。途中清除多餘的Voronoi Diagram。

時間複雜度O(NlogN)。然而步驟繁雜,運行極慢,不實用。讀者只需知道Voronoi Diagram存在這麼一個解題策略就行了,不需浪費時間鑽研細節。

演算法(Fortune's Algorithm)

http://www.cs.hmc.edu/~mbrubeck/voronoi.html

平移的掃描線。時間複雜度O(NlogN)。

實務上最快的演算法。

Delaunay Triangulation

Delaunay Triangulation

Delaunay Triangulation源自Voronoi Diagram。

Voronoi Diagram變Delaunay Triangulation:以直線連結相鄰的點。簡單來說就是平面對偶、邊拉直。時間複雜度O(N)。

Delaunay Triangulation變Voronoi Diagram:以直線連結相鄰的三角形的外接圓圓心,並且補上凸包每一條邊的中垂線。時間複雜度O(N)。

Delaunay Triangulation的數量

只有三點以下共圓,Voronoi Diagram與Delaunay Triangulation只有唯一一種,互相對應。

出現四點以上共圓,Voronoi Diagram仍然只有唯一一種,Delaunay Triangulation則有許多種。

性質:Empty Circumcircle Property

三角形外接圓,內部不含任何點。證明省略。

性質:Maxmin Angle Triangulation

最小角盡量大。證明省略。

Voronoi Diagram是中垂線與距離,Delaunay Triangulation是圓與角度。

演算法(Lawson's Flip Algorithm)

隨意求出一個三角剖分。不斷翻轉不符空圓性質的邊,使最小角逐漸增大(或者最小角不變、次小角增大,以此類推)。每一條邊頂多翻轉一次。時間複雜度O(N²)。

演算法(Bowyer-Watson Algorithm)

online演算法,一次加一點。不符空圓性質的三角形,形成一個多邊形,清除內部所有邊,重新連接當前點與多邊形頂點,就得到Delaunay Triangulation。時間複雜度O(N²)。

演算法(Divide and Conquer)

http://www.geom.uiuc.edu/~samuelp/del_project.html

http://sunmoon-template.blogspot.com/2019/01/DelaunayTriangulation.html

所有點分成左右兩側,分別求出Delaunay Triangulation,然後合而為一。

時間複雜度O(NlogN)。然而步驟繁雜,運行極慢,不實用。讀者只需知道Delaunay Triangulation存在這麼一個解題策略就行了,不需浪費時間鑽研細節。

演算法(Sweep Circle Algorithm)

https://github.com/mapbox/delaunator

旋轉的掃描線。時間複雜度O(NlogN)。

實務上最快的演算法。

Voronoi Diagram各式變種

延伸閱讀:勢力消長

每個點設定不同的強度,兩點之間依照強度比例劃定界線。理論上可以生成所有平面圖?

延伸閱讀:歸類於第k近的點

平面上每一處,各自歸類於第k近的點,就形成了Order k Voronoi Diagram。至於這有什麼用途,我也不知道。

為了辨識每塊區域歸類於哪一點,我們將每個點標上不同顏色,讓區域的顏色對應點的顏色。

上方圖片以HTML5 Canvas繪製而成,演算法是窮舉法。有興趣的讀者請自行檢視網頁原始碼。

延伸閱讀:歸類於最遠的點

既有最近,亦有最遠。平面上每一處,各自歸類於最遠的點,就形成了Farthest Point Voronoi Diagram。

換個角度看。相離最遠的點,自然而然都在凸包上,證明請參考「Farthest Pair」。相離最遠的點的中垂線,形成Farthest Point Voronoi Diagram。

延伸閱讀:點改成其他東西

我們可以把一個點改成一個圓、一條線段、一群點、一個多邊形等等圖形,得到各式各樣的Voronoi Diagram。

這些都是進階課題,有興趣的讀者請自行尋找資料。

延伸閱讀:點改成球

https://www.kiv.zcu.cz/site/documents/verejne/vyzkum/publikace/technicke-zpravy/2009/tr-2009-03.pdf

Power Diagram與Regular Triangulation。

Voronoi Diagram特殊性質(Under Construction!)

延伸閱讀:拋物面

點座標(x, y)改成(x, y, x²+y²),呈現拋物面。

割面與拋物面的交集,投影至XY平面,恰是圓。

點座標(x, y)改成(x, y, x²+y²),求得三維凸包。

下凸包,投影至XY平面(自下方無限遠處仰視),恰是Nearest Point Voronoi Diagram的對偶圖,也就是Delaunay Triangulation。

上凸包,投影至XY平面(自上方無限遠處俯視),恰是Farthest Point Voronoi Diagram的對偶圖。

點座標(x, y)改成(x, y, x²+y²),呈現拋物面。

兩切點、兩切面的交集,投影至XY平面,恰是中垂線。

點座標(x, y)改成(x, y, x²+y²),求得切面們的三維包絡面。

下包絡面,投影至XY平面,恰是Delaunay Triangulation。

上包絡面,投影至XY平面,恰是Voronoi Diagram。

Nearest Neighbor Graph

Nearest Neighbor Graph

https://en.wikipedia.org/wiki/Nearest_neighbor_graph
http://en.wikipedia.org/wiki/Relative_neighborhood_graph
http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel_graph
α-Shape    http://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_shape
β-Skeleton http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_skeleton
Θ-Graph    http://en.wikipedia.org/wiki/Theta_graph
Yao Graph  http://en.wikipedia.org/wiki/Yao_graph

ICPC 3270

Euclidean Graph

邊的權重,等於二維平面的直線距離。

儘管Euclidean Graph是二維平面上的圖,但是它跟Planar Graph沒有任何關係。

Nearest Neighbor Search

L₂-Norm Nearest Neighbor Search

已知一群點(固定),給定一個點(變動),從中找到最近點。

同義詞:L₂-Norm = Euclidean。Nearest = Closest。Search = Query。

Locality-sensitive Hashing。O(N)。

http://blog.csdn.net/icvpr/article/details/12342159

L₂-Norm All Nearest Neighbors

已知一群點,求每個點的最近點。顯然涵蓋了「最近點對」。

https://algnotes.wordpress.com/2015/03/12/

L₂-Norm Farthest Neighbor Search

已知一群點(固定),給定一個點(變動),從中找到最遠點。

我沒有研究。

L₂-Norm All Farthest Neighbors

已知一群點,求每個點的最遠點。顯然涵蓋了「最遠點對」。

窮舉法。O(N²)。

Farthest Voronoi Diagram。O(NlogN)。

動態問題,更新、查詢的平均時間複雜度是O(log²N)。

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/pubs/Epp-CGTA-96.pdf

L₂-Norm All Farthest Neighbors on Convex Hull

無法使用旋轉卡尺。例如一個橢圓。

Randomized Incremental Method。O(NlogN)。

Monge Matrix + SMAWK Algorithm。O(N)。

UVa 12311

L₂-Norm Mininum Spanning Tree

Kruskal's Algorithm。O(ElogV) = O(N²logN)。

Prim's Algorithm。O(N²)。

Voronoi Diagram。O(NlogN)。

L₁-Norm All Nearest Pairs

ICPC 5848

L₁-Norm Farthest Pair

距離公式|x1 - x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|。去掉絕對值,共8種情況。以(x1 - x2) - (y1 - y2) + (z1 - z2)為例,重新整理得到(x1 - y1 + z1) - (x2 - y2 + z2)。若前項盡量大、後項盡量小,則距離越大。

窮舉8種正負號配置情況(因為對稱,其實只需4種)。對於一種情況,窮舉每個點,記錄最大值、最小值。最大值減最小值,即為所求。時間複雜度O(N)。

UVa 11012 Sphere DISTANCE

L₁-Norm Mininum Spanning Tree

http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/8890003

邊數降為4N,可套用Kruskal's Algorithm。O(NlogN)。

ICPC 3662