Convex Hull

Convex Hull

中譯「凸包」或「凸殼」。在高維空間中有一群散佈各處的點,「凸包」是包覆這群點的所有外殼當中,表面積暨容積最小的一個外殼,而最小的外殼一定是凸的。

p = RandomInteger[10, {50, 3}]; Show[HighlightMesh[ConvexHullMesh[p], {Style[1, Black, Thick], Style[2, Opacity[0.7]]}], Graphics3D[{PointSize[0.03], Point[p]}]]

至於「凸」的定義是:圖形內任意兩點的連線不會經過圖形外部。「凸」並不是指表面呈弧狀隆起,事實上凸包是由許多平坦表面組成的。

以下討論比較簡單的情況:替二維平面上散佈的點,找到凸包。

二維平面上的凸包是一個凸多邊形,在所有點的外圍繞一圈即得凸包。另外,最頂端、最底端、最左端、最右端的點,一定是凸包上的點。

計算凸包時需考慮一些特殊情況:一、凸包上多點重疊;二、凸包上多點共線;三、凸包呈一條線段、一個點、沒有點。通常我們會簡化資訊,以最少的點來記錄凸包,去掉重疊、共線的點。

UVa 109 132 218 361 596 675 681 811 819 10002 10065 10078 10135 10173 10256 10625 11168 11626 ICPC 4450

UVa 802 10089 ICPC 7585

任意圖形的凸包

任意圖形都能求出凸包。例如一個多邊形的凸包、大量三角形的凸包、大量線段的凸包。這些問題都可以簡化為一群點的凸包。

圓形、曲線的凸包,我們以下不討論。

Convex Hull: Jarvis' March(Gift Wrapping Algorithm)

演算法

從一個凸包上的頂點開始,順著外圍繞一圈,順時針或逆時針都可以。

每當尋找下一個要被包覆的點,則窮舉平面上所有點,找出最外圍的一點來包覆。可以利用叉積運算來判斷。

時間複雜度O(NM),N為所有點的數目,M為凸包的頂點數目。

實作時請多多運用指標、索引值,儘量避免搬動原本資料。此處的程式碼是不良示範,僅供參考。

如果想找出凸包上重疊的點與共線的點,則改為尋找離上一點最近的點,並且標記目前已包過的點。

Convex Hull: Graham's Scan

演算法

由前面章節可知:凸包上的頂點很有順序的沿著外圍繞行一圈,這個順序是時針順序。

Graham's Scan嘗試先將所有點依照時針順序排好,再來做繞行一圈的動作,繞行途中順便掃除凸包內部的點,如此就不必以窮舉所有點的方式來尋找最外圍的點。

要讓所有點依照時針順序排好,只要將中心點設定在凸包內部或者凸包上,然後讓各點依照角度排序即可。如果把中心點設定在凸包外部,結果就不見得是時針順序了。包覆時必須按照時針順序,才能確保結果正確。

一般來說,選擇凸包上的頂點當作中心點是比較好的,因為角度排序時的夾角皆小於180°,可以使用叉積運算來排序(大於180°叉積得負值、等於180°叉積等於零,導致排序錯誤)。另一個好處是,中心點也可以作為包覆的起點。

角度排序時,遇到角度相同的情況,要小心排序。通常是讓距離中心點較近的點排前面。也可以排後面,但是不能亂排。

掃除的過程當中,經常株連許多點。使用stack資料結構來儲存凸包,逐一判斷stack頂端的點,逐一彈出凹陷的點。凹陷的點必定不是凸包上的頂點。

如果想找出凸包上重疊的點、共線的點,必須特別小心處理剛開始包、快包好時那些重疊的點、共線的點。一種解決方式是:從最低最左點開始,分頭往左右兩邊包,包至最高最右點。相當麻煩。

至於凸包退化成線段或點的情況,則更難解決,此處不討論。

總而言之,此演算法無法漂亮的解決多點共線的情況。

時間複雜度

尋找起點O(N)。排序O(NlogN)。包覆O(N):總共前進N次,最多倒退N次,一共2N次。

總時間複雜度O(NlogN),主要取決於排序的時間。

星狀多邊形

星狀多邊形(star-shaped polygon)的定義是:多邊形內部存在一個點,可以看到整個多邊形內部。

也就是說,星狀多邊形可以直接依照連接順序包覆,不必再做角度排序。

Convex Hull: Andrew's Monotone Chain

演算法

前面章節採用時針順序,此處改為座標順序。以X座標大小排序,當X座標相同則以Y座標大小排序。

先從起點開始,按照順序掃描,找到下半凸包。再從終點開始,按照相反順序掃描,找到上半凸包。合起來就是完整的凸包。

一口氣解決了凸包有重疊的點、共線的點、退化成線段和點的情況,是相當優美的演算法。

時間複雜度

排序O(NlogN)。包覆O(N)。總時間複雜度O(NlogN)。

單調多邊形

單調多邊形(monotone polygon)的定義是:多邊形可以切開成兩條單調鏈,投影到特定直線上,位置已經排序。

也就是說,單調多邊形可以直接依照連接順序包覆,不必再做座標排序。但是需要事先知道兩條鏈的起點和終點。

Convex Hull: Incremental Method

演算法

這是online演算法,隨時維護一個凸包。每當輸入一點,如果此點在凸包內部就直接捨棄;不然就計算此點與當前凸包的兩條切線,然後更新凸包。

要找切線,窮舉切點即可。切點的左右鄰點都在切線同側,反之則否,判斷僅需O(1)時間。要小心切線與邊重疊的情況。

凸包的資料結構採用circular list,找到兩個切點後,移除其間的連續凹點僅需O(1)時間。總時間複雜度O(N²)。

改進

想要找到新凸包,直接窮舉新凸包的頂點不就好了?

以試誤法嘗試舊凸包的每個頂點。以當前輸入點為基準,若為凸面、切點,則留下;若為凹面,則捨棄。最後就得到新凸包。

如此一來就不需要特殊資料結構了。時間複雜度O(N²)。

即時排序

以當前輸入點為基準,切點的一側是凸面,另一側是凹面,切點恰為凹凸分際。故可用Binary Search找切點。

凸包的資料結構可以採用Splay Tree,找切點、移除連續頂點的均攤時間複雜度是O(logN)。總時間複雜度O(NlogN)。

Splay Tree作排序時,可以參考凸包最左下點,以角度排序。

預先排序

預先按照XY座標排序所有點(平移的掃描線),此演算法即是Andrew's Monotone Chain,時間複雜度O(NlogN)。

預先排序之後,當前輸入點必在凸包外部(點不重複時)、必有兩條切線。

預先隨機排列

隨機排列、排序,兩者概念相反。

預先隨機排列所有點,則第i回合固定新增兩點、平均掃描N/i點,平均時間複雜度O(NlogN)。推廣到三維空間仍然如此。

Convex Hull: Divide and Conquer

演算法

一開始將所有點以X座標位置排序。
Divide:將所有點分成左半部和右半部。
Conquer:左半部和右半部分別求凸包。
Combine:將兩個凸包合併成一個凸包。

合併凸包,找到兩條外公切線即可。從左凸包最右點、右凸包最左點開始,固定左端順時針轉、固定右端逆時針轉,輪流前進直到卡死,就得到下公切線,時間複雜度O(N)。

注意到,下公切線並不見得是左右兩凸包的最低點連線,所以就算一開始抓的是左右凸包的最低點,運氣不好時,仍需要O(N)時間才能找到下公切線。況且抓最低點有可能已經衝過頭了。

附帶一提,內公切線也可如法炮製,改為從左凸包最左點、右凸包最右點開始。如果一個取內側、一點取外側,找公切線有可能衝過頭。

正確性證明:找外公切線的過程中絕對不會與兩凸包相交、找內公切線的過程中一定會與兩凸包相交,卡死時即是相交與不相交的分際,分際即是公切線。

時間複雜度

排序O(NlogN)。分治法O(N)。總時間複雜度O(NlogN)。

分治法當中,遞迴深度O(logN),合併凸包O(N),相乘之後得到O(NlogN)。然而凸包內部的點不必用上;找公切線途中遭遇的點,往後不必用上;每個點只用一次,總共應為O(N)。

不預先排序

一開始可以不必排序,只要把所有點分成兩等份即可。兩個凸包合併成一個凸包時,兩個凸包可能會重疊,仍然可以用O(N)時間解決,不過演算法較複雜,此處省略之。

Convex Hull: Chan's Algorithm

演算法

原理是Trial and Error與Divide and Conquer。

一、假設凸包最多有M個點。
二、使用試誤法,依序嘗試2^(2^0)、2^(2^1)、2^(2^2)、……這些數值作為M。
 甲、每M個點為一組,所有點被分作⌈N/M⌉組。
   O(N)。
 乙、每一組各自求凸包,一共得到⌈N/M⌉個凸包。《Graham's Scan》
   O(MlogM ⋅ ⌈N/M⌉) = O(NlogM)。
 丙、嘗試求出這些凸包的凸包。《Jarvis' March》
   O(3 ⋅ ⌈N/M⌉ ⋅ M) = O(N)。
  子、每個凸包各用一個指標,指著各自的最低點。
    O(N)。
  丑、找出所有凸包的最低點,從最低點開始包覆。
    O(N)。
  寅、每當尋找下一個要被包覆的點:
   回、各凸包各自找出最靠外面的一點,一共得到⌈N/M⌉個點。
     由指標處繼續往後找,指標只進不退。要預覽下一點。
     O(3 ⋅ ⌈N/M⌉),均攤。
   回、再從這⌈N/M⌉個點當中,看看哪一點最靠外面。
     O(⌈N/M⌉)。
  卯、若包了M個點還未形成凸包,則馬上停止,回到步驟二!
    如果途中形成凸包,即是正解。演算法結束。

時間複雜度

步驟二的時間複雜度是O(NlogM),M每次都不同。對M進行試誤時,謹慎的選擇M的數值,可以將所有步驟二的時間複雜度總和,強壓在O(NlogM)以內。

對M進行試誤時,
用0、1、2、……、M,整體的時間複雜度:
O(Nlog0 + Nlog1 + Nlog2 + ... + NlogM) = O(N ⋅ logM ⋅ M)

用2⁰、2¹、2²、……、M,整體的時間複雜度:
O(N⋅0 + N⋅1 + N⋅2 + ... + NlogM) = O(N ⋅ logM ⋅ logM)

用22⁰、2、2、……、M,整體的時間複雜度:
O(N⋅1 + N⋅2 + N⋅4 + ... + NlogM) = O(N ⋅ logM)

用N,直接就找到答案,不過整體的時間複雜度,不是我們所要的:
O(NlogN)

選擇M的原理,其實就是「倍增搜尋」。

總時間複雜度O(NlogM),N為所有點的數目,M為凸包的頂點數目,是當今時間複雜度最低的演算法。然而實際執行起來,比先前介紹的演算法都來得慢。

只有理論上的價值,沒有實務上的價值。

Convex Hull: Quick Hull Algorithm

演算法

一、找出最左點與最右點,連線,所有點分為上半部與下半部。
  上半部與下半部分開求解。
二、處理上半部,找出上半凸包:
 甲、找到距離底線最遠的點,形成一個三角形區域。
   (如果有許多點,就找最靠近左端點的那一點。避免凸包上多點共線。)
 乙、運用叉積運算,找出三角形外部的點,分為左、右兩份。
   至於三角形內部、三角形上的點,不會是凸包頂點,盡數剔除之。
 丙、左、右兩份分別遞迴求解,直到找出上半凸包。
   三角形的兩翼,分別做為左、右兩份的底線。
三、處理下半部,找出下半凸包。

時間複雜度

時間複雜度O(N²)。然而實際執行起來,比先前介紹的演算法都來得快。實務上最好的凸包演算法!

此演算法的好處:預先剔除凸包內部大部分的點,而且不必預先排序所有點。

排序的時間複雜度O(NlogN),空間複雜度O(N)。當點的數量很大,例如一千萬,時間約是一千萬的23倍。若記憶體不足,必須採用外部排序,就需要更多時間。

此演算法一開始掃描三遍所有點,找到最左點與最右點、距離底線最遠的點、三角形外部的點,時間約是一千萬的3倍。如果三角形外部的點很少,例如一百萬點,那麼接下來的步驟得以節省許多時間。因此,總時間通常遠低於一千萬的23倍。

遞迴呼叫函數很花時間。當遞迴一兩次後,點數變少,此時可以直接套用其他凸包演算法,節省時間,例如Andrew's Monotone Chain。

Convex Hull of Simple Polygon: Melkman's Algorithm

演算法

求出一簡單多邊形的凸包。

http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs601/Melkman.html

時間複雜度O(N)。是相當優美的演算法。

Convex Layers

Convex Layers(Onion)

由外往內,一層一層的凸包,每一層都是一個Convex Layer。全部的Convex Layer合稱為一個「洋蔥」。

最內部的Convex Layer可能退化成一個點或是一條線段。

演算法

使用Jarvis' March一直繞圈,時間複雜度O(N²)。

排序所有點之後,不斷找出剩餘諸點的凸包,最多找O(N)次凸包。可以採用Graham's Scan或者Andrew's Monotone Chain。總時間複雜度O(NlogN) + O(N²) = O(N²)。

ICPC 3655

Erdős-Szekeres Conjecture

Erdős-Szekeres Conjecture(Happy Ending Problem)

http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=op/erdos_szekeres_conjecture

平面上任意2ᴺ + 1個頂點(不會多點共線),是否能描出一個有N+2個頂點的凸多邊形。例如任意三個點可以描出凸三角形,任意五個點可以描出凸四邊形,任意九個點可以描出凸五邊形,以此類推。

Szekeres發表了這個猜想之後,有一位女數學家證明了N更大的情形,兩人因而相知相遇、結為連理,有了幸福快樂的結局。因此Erdős暱稱此猜想為Happy Ending Problem。

註:Erdős-Szekeres Theorem是另外一件事情,與Erdős-Szekeres Conjecture不同。

2ᴺ個數字,任何一種排列,
必能形成長度為N+1的「先遞增、再遞減子序列」。

這個命題曾經用來證明此猜想,不過結果是失敗的。

目前來說,凹與凸是無法量化的,凹與凸無法全體一起比較、全體一起排序。即便是凸包演算法,也只能局部逐一判斷凹凸。

用長度來衡量凹凸乍看是個不錯的點子,不過困難重重,可能不是一個好方向。

最後附上此命題的證明。

2^(N-2)個數字,任何一種排列,
必能形成長度為N-1的「先遞增、再遞減子序列」。

數學歸納法。

當N=2時,一個數字的任何一種排列,
都可以形成一個長度為1的「先遞增、再遞減子序列」。

當N=3時,兩個數字的任何一種排列,
都可以形成一個長度為2的「先遞增、再遞減子序列」。
例如12,剛好都是遞增。
例如21,剛好都是遞減。
例如11,說是遞增或是遞減都可以。

假設N=k時成立。
則N=k+1時,
我們將2^(k-1)個數字的隨便一個排列,中間切一刀,等分為左半和右半。
左半、右半各自都可以形成長度為k-1的「先遞增、再遞減子序列」。

左半「先遞增、再遞減子序列」的最後一個數字,叫做p,
右半「先遞增、再遞減子序列」的第一個數字,叫做q,
如果p > q,則左半與q可形成長度為k的「先遞增、再遞減子序列」。
如果p < q,則p與右半可形成長度為k的「先遞增、再遞減子序列」。
如果p = q,則上述兩種情形任意一種皆可。
得證。