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[多項不等式的基礎概念]            [一次與二次不等式]            [二次函數恆正恆負的條件]

多項不等式的基礎概念

(1).n次不等式：

設y=f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…..+a₁x+a₀是實係數n次多項式，那麼不等式f(x)>0，或f(x)<0，或f(x)0，或f(x)0就叫做多項不等式或n次多項不等式(簡稱n次不等式) 

例：2x-3>0  , x²-3x+2>0 

(2)不等式的解：滿足n次不等式的值，叫做n次不等式的解

(3)不等式的基本性質：

  三一律：a>b,a=b,a<b 三式中恰有一式會成立

  遞移律：若a>b且b>c，則a>c

  加法律：若a>b，則a+c > b+c (cR)

  乘法律：若a>b，且c >0，則ac>bc  (不變號)         若a>b，且c <0，則ac<bc  (要變號)

一次與二次不等式

(1)一次不等式是形如ax+b>0(³0)或ax+b<0(£0)的不等式。

二次不等式是形如ax²+bx+c>()0或ax²+bx+c<()0，其中a,b, c為實數。

(2)解二次不等式：

設不等式ax²+bx+c(>,<,,)0，先將a調整為正

先解一元二次方程式ax²+bx+c=0的二根ｓ、ｔ

(a)設a>0，D=b²-4ac>0，ｓ,ｔ (ｓ>ｔ)為兩實數

因為ax²+bx+c=a(x-ｓ)(x-ｔ) 

分段討論ax²+bx+c的正負：

解ax²+bx+c>0 x>ｓ或x<ｔ(大於大的根或小於小的根)

解ax²+bx+c<0 ｔ<x<ｓ (介於兩實根之間)

(b)設a>0，D=b²-4ac=0，ｓ=ｔ為兩相等實數

分段討論ax²+bx+c的正負：

解ax²+bx+c>0 x¹ｓ(或ｔ) [x>ｓ或x<ｓ]

解ax²+bx+c<0 無解

(c)設a>0，D=b²-4ac<0，ｓ、ｔ均為虛數

ax²+bx+c=a(x+)²+ 因為a>0且b²-4ac<0，所以>0

故不管x代入那一個實數，ax²+bx+c恆正。

解ax²+bx+c>0 所有實數均為解。

解ax²+bx+c<0 無解。

結論：如何解二次不等式：

  (a) 先將不等式化成ax²+bx+c ()0，其中a>0
  (b) 再檢查判別式：D=b²-4ac
  (c) 若D=b²-4ac>0，ax²+bx+c>0的解解為大於大的根，小於小的根的實數

                                      ax²+bx+c<0的解解為介於兩根之間的實數

  (d) 若D=b²-4ac=0，ax²+bx+c>0的解解為除了外的所有實數

                                      ax²+bx+c<0的解沒有任何實數是解

  (e) 若D=b²-4ac<0，ax²+bx+c>0的解解為所有實數

                                      ax²+bx+c<0的解沒有任何實數是解

二次函數恆正或恆負的條件

設二次函數f(x)=ax²+bx+c，a¹0，D=b²-4ac

 (1)二次不等式解的幾何解釋：

考慮二次函數f(x)=ax²+bx+c的圖形：

f(x)=ax²+bx+c=a(x+)²+，頂點為(,)

(a)解ax²+bx+c>0 在圖形上找那些實數x使得其所對應的點(x,ax²+bx+c)在x軸的上方。

     解ax²+bx+c<0 在圖形上找那些實數x使得其所對應的點(x,ax²+bx+c)在x軸的下方。

(b)二次函數恆正與恆負的條件：

1.    對於所有的實數x，f(x)>0 (恆正)圖形上的每一點的y坐標均大於0(圖形在x軸上方)

a>0且D<0  (開口向上，與x軸無交點)

2.    對於所有的實數x，f(x)<0 (恆負) 圖形上的每一點的y坐標均小於0(圖形在x軸下方)

a<0且D<0  (開口向下，與x軸無交點)

3.    對於所有的實數x，f(x)0 (不為負) 圖形上的每一點的y坐標均大於等於0(圖形不在x軸下方)

a>0且D0  (開口向上，與x軸無交點或相切)

4.    對於所有的實數x，f(x) 0 (不為正)圖形上的每一點的y坐標均小於等於0(圖形不在x軸上方)

a<0且D0  (開口向下，與x軸無交點或相切)

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