)。◎→餘式定理與因式定理←◎
除法原理：f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0
餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。
證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x-a)×q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a-a)×q(a)+r = r。
推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f()。
f(a)的雙重意義：
多項函數f(x)在x=a的函數值。
多項式f(x)除以x-a的餘式。
(1)因式定理：設f(x)為一多項式，則 x-a 為f(x) 的因式 Û f(a)=0 。
推廣：ax-b為f(x)的因式 Û
f( 
)=0
(2)一次因式檢驗定理：
設f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)×g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x×5x2來的，21是3×7來的，因此觀察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，這個結果對於一般整係數的多項式也是成立，我們將它寫成下面的定理：
定理：設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為一個整係數n次多項式，若整係數一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互質，則a|an且b|a0。
注意：1. 一次因式檢驗定理的逆敘述不成立。
例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(
)¹0。
2. 由此定理，可知若一次式cx-d中c不為an的因數或d不為a0的因數的話，則cx-d必不為f(x)的因式。故只有滿足a|an且b|a0的一次式ax-b才有可能成為f(x)的因式，因此我們只要從滿足a|an且b|a0這些ax-b去找一次因式就可以了。
例如：求整係數f(x)=3x3+5x2+4x-2的整係數一次因式。
根據一次因式檢驗定理，假設ax-b為f(x)的一次因式，則a|3且b|2。我們將所有可能的ax-b組合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2，再利用綜合除法檢驗看看那一個是f(x)的因式Þ3x-1是f(x)的因式。
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