上學期的代數課上我導讀了 Musical actions of dihedral groups
(2009)
這篇論文，但覺得僅止於課堂似乎有些可惜，所以決定在這裡也寫一篇沒有這麼正式的簡短文章。
arXiv:0711.1873v2 [math.GR]
這篇文章所涉及的題材並沒有很深，僅用了基礎的數學知識與基礎的樂理知識就做出了有趣的研究。
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音樂史上從很早期就有關於音律的研究，例如五度相生律、三分損益法。這些早期的音律往往在轉調上有所困難，
而西方古典音樂的音律也因為音樂需求的擴張而逐步發展出十二平均律
(12-tone equal temperament)。
所謂十二平均律，即是將一個八度（頻率相差一倍的兩個音，例如頻率 f
與 2f）在對數尺度上均分為十二等分。
另一方面，音樂史上的 20
世紀初期經歷了重大變革。由於浪漫主義音樂的和聲語法已經擴展到極限，
一些作曲家開始尋求新的表達方式。例如第二維也納樂派的荀白克
(Schoenberg) 等人使用 十二音列技法 (Zwölftontechnik)
作曲。十二音列技法的核心精神是所有音地位相等，
去除掉調性與功能和聲中，音的功能性與既有解決方向，同時也避免傳統和聲的暗示。
從十二音列開始，不同八度、相同音名的音常被視作同一個音，這就是音高集合
(pitch class) 的概念。除此之外，20
世紀也有許多與音高集合有關的理論，例如音樂集合論 (musical set
theory) 與完全序列主義 (total serialism) 等。
在十二平均律與音高集合的基礎上，我們很難不聯想到 ℤ₁₂
的結構。因此，在這篇文章中首先給出了兩種音高的操作，移位
(transposition) 與反轉 (inversion)，分別記作 Tₙ 與
Iₙ，定義如下：
Tₙ: ℤ₁₂ → ℤ₁₂ (x ↦ (x + n) mod 12)
Iₙ: ℤ₁₂ → ℤ₁₂ (x ↦ (-x + n) mod 12)
我們很容易可以觀察出 (T₁)ⁿ = Tₙ 以及 Tₙ I₀ = Iₙ。
實際上，這構成了一個階為 24 的二面體群 (dihedral group of order
24)，稱為 T/I 群。除此之外，我們給出這個群中的具體運算：
Tₘ Tₙ = Tₘ₊ₙ
Tₘ Iₙ = Iₘ₊ₙ
Iₘ Tₙ = Iₘ₋ₙ
Iₘ Iₙ = Tₘ₋ₙ
注意以上等號右手邊的足標皆為取 mod 12 後的結果。
以上只討論到單一音高的部分，所以我們接著要討論和聲。我們在此研究最簡單的大、小三和弦。
以音高集合的觀點來看，三和弦是 ℤ₁₂ 裡的三個相異元素的無序數組
(unordered triple)。
在此為了方便，我們將大、小三和弦考慮為具有特定性質的有序數組
(ordered triple)：
考慮一有序數組〈t₁, t₂, t₃〉，且在 ℤ 中有以下序關係 0 ≤ t₁ <
t₂ < t₃ < 12，那麼如果 t₂ - t₁ ≡ 4 (mod 12) 且 t₃ - t₂ ≡ 3
(mod 12)，則我們說〈t₁, t₂, t₃〉是大三和弦；如果 t₂ - t₁ ≡ 3
(mod 12) 且 t₃ - t₂ ≡ 4 (mod 12)，則我們說〈t₁, t₂,
t₃〉是小三和弦。
另一方面，我們 Tₙ、Iₙ 在三和弦上逐元素 (componentwise) 的群作用
(group action)： Tₙ〈t₁, t₂, t₃〉=〈Tₙ(t₁), Tₙ(t₂), Tₙ(t₃)〉
Iₙ〈t₁, t₂, t₃〉=〈Iₙ(t₁), Iₙ(t₂), Iₙ(t₃)〉
在更進一步地分析之前，我們來複習一些基礎群論中的定義與定理。
【群作用 (Group Action)】令 G 為一個群，S
為一個集合。如果存在一個映射 G × S → S ((g, x) ↦ gx) 滿足 (i) ex
= x, ∀x ∈ S (ii) (g₁ g₂)x = g₁(g₂ x), ∀g₁, g₂ ∈ G, ∀x ∈ S
那麼我們稱 G 作用在 S 上。 如果對於所有 x, y ∈ S 存在 g ∈ G 使得
gx = y，則 G 在 S 上的群作用是傳遞的 (transitive)。如果這個 g
是唯一的，那麽這個群作用被稱為簡單傳遞的 (simply transitive)。
【軌道 (Orbit)】令 G 為一個群作用在集合 S 上。則元素 x ∈ S
的軌道被定義為 Orb(x) = {gx | g ∈ G} = Gx。
【穩定子 (Stabilizer)】令 G 為一個群作用在集合 S 上。則元素 x ∈
S 的穩定子被定義為 Stab(x) = {g ∈ G | gx = x}。
【軌道－穩定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)】令 G
為一個群作用在有限集合 S 上，且 x ∈ S。則 |Orb(x)| = [G :
Stab(x)] = |G| / |Stab(x)|。
在稍早提到的 T/I 群中，|G| = |D₂₄| = 24 且 |Orb(x)| = 24，因此
|Stab(x)| = 1，也就是說 Stab(x) = {e}。因此，如果 g'x = gx，那麼
g⁻¹ g'x = x，則 g⁻¹ g' = e，於是 g' = g。
另一方面，我們定義三個關於三和弦的操作，分別為
P（平行，parallel）、L（導音變換，leading tone
exchange）、R（關係，relative），定義為：
P〈t₁, t₂, t₃〉= Iₜ₁₊ₜ₃〈t₁, t₂, t₃〉
L〈t₁, t₂, t₃〉= Iₜ₂₊ₜ₃〈t₁, t₂, t₃〉
R〈t₁, t₂, t₃〉= Iₜ₁₊ₜ₂〈t₁, t₂, t₃〉
這裡有兩件值得注意的是。其一為 R 與 L 是對合
(involutions)，也就是說 R⁻¹ = R、L⁻¹ = L。其二為反轉 (inversion)
的軸 (axis) 並不獨立於初始給定的三和弦。P、L、R
會形成群的結構，稱為 PLR 群，或是新里曼群 (Neo-Riemannian
group)。
我們首先聲稱 PT₁ = T₁ P、LT₁ = T₁ L、RT₁ = T₁
R。事實上，這可以根據定義直接計算得出：
PT₁〈t₁, t₂, t₃〉= P〈t₁+1, t₂+1, t₃+1〉= Iₜ₁₊₁₊ₜ₃₊₁〈t₁+1,
t₂+1, t₃+1〉= 〈t₃+1, t₁+t₃-t₂+1, t₁+1〉，
T₁ P〈t₁, t₂, t₃〉= T₁ Iₜ₁₊ₜ₃〈t₁, t₂, t₃〉= T₁〈t₃, t₁+t₃-t₂,
t₁〉=〈t₃+1, t₁+t₃-t₂+1, t₁+1〉。
LT₁〈t₁, t₂, t₃〉= L〈t₁+1, t₂+1, t₃+1〉= Iₜ₂₊₁₊ₜ₃₊₁〈t₁+1,
t₂+1, t₃+1〉= 〈t₂+t₃-t₁+1, t₃+1, t₂+1〉，
T₁ L〈t₁, t₂, t₃〉= T₁ Iₜ₂₊ₜ₃〈t₁, t₂, t₃〉= T₁〈t₂+t₃-t₁, t₃,
t₂〉=〈t₂+t₃-t₁+1, t₃+1, t₂+1〉。
RT₁〈t₁, t₂, t₃〉= R〈t₁+1, t₂+1, t₃+1〉= Iₜ₁₊₁₊ₜ₂₊₁〈t₁+1,
t₂+1, t₃+1〉= 〈t₂+1, t₁+1, t₁+t₂-t₃+1〉，
T₁ R〈t₁, t₂, t₃〉= T₁ Iₜ₁₊ₜ₂〈t₁, t₂, t₃〉= T₁〈t₂, t₁,
t₁+t₂-t₃〉=〈t₂+1, t₁+1, t₁+t₂-t₃+1〉。
我們由 C 大三和弦〈0, 4, 7〉開始交替 R 與 L 的操作：
C --R-> a --L-> F --R-> d --L-> ⋯ --L-> G --R-> e --L-> C
發現這樣恰好遍歷所有大、小三和弦，因此得出 L 與 R 可以生成出整個
PLR 群。 因為 R 與 L 是對合 (involutions)，我們有 R⁻¹ = R、L⁻¹ =
L，因此 PLR 群中的元素能夠表示為：R、LR、RLR、⋯、(LR)¹² =
1。因此 PLR 群有 24 個元素。
令 s = LR，t = L。那麼 s¹² = 1 且 t² = 1，並且 tst = L(LR)L =
(LL)RL = RL = R⁻¹ L⁻¹ = (LR)⁻¹ = s⁻¹。我們得到以下結論：
＊PLR 群由 L 與 R 生成，並且其是階為 24 的二面體群 (dihedral
group of order 24)。
我們很容易地可以有以下推論：
＊PLR 群在大、小三和弦構成的集合上的群作用是簡單傳遞的。（考慮 C
大三和弦的軌道，階為 24，根據軌道－穩定子定理可以得出）
這篇論文還給出了更進一步的結論，說明了以上兩種群的關聯：
＊PLR 群與 T/I 群是對偶的；也就是說，他們在 S
上的群作用是簡單傳遞的，並且他們是對方在對稱群 Sym(S)
中的中心化子 (centralizer)。
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你可能會疑惑「這樣的東西有什麼用呢？」大部分這類文章中會嘗試給出許多音樂分析的例子，不過我並不怎麼認同。
我認為新的觀點要用以產出新的作品，也就是嘗試將新的音樂理論（或不同角度的詮釋）用於當代音樂的創作之中。這是非常容易達成，且非常有效的方法。用於解釋過去貝多芬
(Beethoven) 等人的經典作品似乎邏輯上不太通順。
不過，單就這篇文章的內容而言，因為十二平均律的技法已經被作曲家開發得非常透徹，新的理論不一定能達到很顯著的創新。不過這樣基於數學的音樂理論有一個好處——我們可以很輕鬆地在其它平均律系統中做出類似的理論。
例如，我們考慮七平均律——一種在豎琴上很容易實現的調律，因為其物理構造與發聲原理——我們是否也能用類似的架構在七平均律上做出一套理論。事實上，由於
ℤₚ 的良好性質，不只有群的結構，我們甚至能夠使用 ℤₚ 是體 (field)
的特性達成很多有趣的事。至於實際上要如何應用，還需要眾作曲家反覆的嘗試與探索後，以美學的觀點——不僅是聽覺上的美學，理論上的美學亦是——逐步地篩選出合適的作法。