Methodology of Multilevel Modeling: The Key Issues and Solutions of Hierarchical Linear Modeling

温序

正在準備寫序的時候，剛好也看了讀了一些papers，當然也包含了HLM或MLM多層次研究的文章。其中有一篇是DiPrete與Forristal兩人在1994年發表在Annual Review of Sociology的“Multilevel Models: Methods and Substance”，它是一篇回顧性的方法論文章，介紹了多層次研究，這篇文章沒有很多複雜的公式，只有幾條迴歸方程式或是HLM的迴歸模式來說明多層次研究的理論與方法，包含一些當時出版的HLM實證文獻。在這篇文章上我看到了『centering』、『EB』、『fixed and random effect』和『contextual』等許多多層次或階層線性模式所用的術語，除這些術語之外，也看到了這些專有名詞所代表的涵義，以及腦海中浮現出許許多多的數學方程式，透視了這些方程式的符號如何和文章內的文字互動與交絡。

記得1999年在政大念博士班的時候，修了金融所廖四郎老師的財務數學課程。有一次由我上台報告1997年諾貝爾經濟學獎得主Merton的選擇權定價理論，我將Merton的理論從頭到尾導了一遍，包含了隨機過程、隨機微積分、熱力學方程式，以及後來的風險中立評價法等一些數學的東西。在推導完也報告完之後，我對於他們選擇權的定價理論有了較完整與徹底的瞭解，但是不僅僅是數學而已，還包括它的經濟意涵，特別是每一個數學式子背後的意義以及所要捕捉的實務現象。

當上老師後，我在研究所的多變量分析課程中，偶爾也會在同學面前證明與推導一些統計公式，例如邏吉斯迴歸的推導，跟同學說為什麼它叫『邏吉斯』迴歸或是『機率』迴歸。在推導完之後，馬上就會對同學說一句：「您這一輩子大概只有這一次會證明，以後再也不會證明了」。目的是減輕他們對統計或是對數學的恐懼，因為他們說他們要學『實務』的東西，也就是統計軟體的操作幫助他們完成碩士論文。

什麼叫『實務』？什麼叫『理論』？大學部的同學說他們想學實務，但是在實務課程中要教他們『實務』時，又發現實務上所用到的理論他們卻都不太懂。我很矛盾，在教理論時他們不知道怎麼實作，在做實作時他們又不知道為什麼要這樣作。同樣的情況也發生在教HLM時，會出現類似這樣的問題，當然現在電腦技術這麼好，統計套裝軟體樣樣都行，可以跑出您所有想要的東西，但是您是否問過這些東西是怎麼跑出來，或是這些報表數據代表什麼意義呢? 我很納悶，這些數據是否可以只用文字而不用任何方程式來輔助解說其意義?

這本書基本上可以說是四篇文章的整合，第一篇包括第一章的部分、第二章至第十章以及部分第十四章，是2009年發表在台大管理論叢的文章; 第十一章是2009年發表在管理學報的文章。第十二章與第十三章兩篇探討多層次測量模式則是新文章，目前在國內還沒有類似的文章出現，國外的相關研究也不多。這兩章主要是探討在違反資料獨立性的多層次研究中，有關個體層次與組織層次研究構念如何進行效信度的檢驗，換言之傳統單一層次的CFA與內部一致性的效信度檢驗方法同樣是建立在資料獨立性的假設上。本書的這兩章結合了HLM與SEM的方法所發展的效信度考驗做法，可以更深入且更正確來獲得多層次研究有關巢套資料結構下個體層次與組織層次構念的檢驗。

第二章至第十一章的內容則經過了全新改版，不僅補了原先現有中文期刊有關多層次研究背後的數理統計知識的銜接，也大量增添實務操作數據的解讀與示範，希望這本書能夠可以『理論』與『實務』兼備。

這本書是定位在統計方法學上去探討『多層次模式』，從測量、統計與方法學的角度來介紹多層次模式。不像過去的多層次模式專書，多從多層次理論開始介紹，而是以務實的角度去深度討論在多層次研究中，利用HLM、SAS proc mixed或是SPSS mixed等軟體在實際操作中所碰到的重要HLM的統計量，其背後的理論基礎包含來龍去脈，與實務意涵包含如何詮釋的高度問題。換言之，一旦您具備了本書所有的數理知識、分析技術與解釋藝術，再加上您的專業領域理論基礎，配合多層次資料的蒐集，就可能從事一篇質量並重的多層次研究。除此之外，在閱讀實證papers時，更可以參透現今多層次研究文獻背後的分析系絡。它可以說是一本多層次模式的統計書，也可以說是一本多層次研究的方法論專書，在統計方法學中，要懂得方法學您必須先懂得統計，但是如果您只懂統計並未見得會懂方法學。期望這本書的問世，可以收到傳道、授業與解惑的功效，幫助更多的老師與同學能夠進入多層次研究的殿堂，解開多層次模式的奧秘。

2011年1月

這個學期，我在台師大基礎管理學程開了我在新東家的第一門統計課。第一天上課時，台下坐滿了一群長相各不相同的年輕臉龐，有學美術的，有學文學的，有來自人發的，也有體育專長的。因為人很多，所以一直安靜不太下來，於是我在黑板上寫下y=bx+a，回頭跟學生說，如果沒有意外，你們要與他相處一個學期。一時之間，學生個個竊竊私語。我接著說，「但是，這是數學，不是統計….只要再加一個符號，數學就變成了統計。」

學生好奇的望著我，開始安靜下來，好像在看我變魔術，期待奇蹟出現。我在方程式最後加上一個e，說道，「加上一個e，數學就成了統計。氣象局預報天氣不靈被轟，股市名嘴報明牌不準被罵，都是這個e惹的禍，但這不能怪他們數學不好，而是統計失靈。這個e叫做誤差，如果誤差太大了，預測公式一點都幫不上忙。反過來說，如果e接近0，那麼一切就像數學方程式那樣完美，代入X得到Y，鐵口直斷，絕不失手。」，此時，台下一片靜默，聽者眼神專注，但是似懂非懂，一時回不了神。

數學是超然理性的，邏輯清晰而優美。統計是入世務實的，黑貓白貓只要能抓到老鼠，管他數學模型千百種，能降低誤差準確估計就是好貓。一旦我們掌握了毫無誤差的統計，那就如同優美理性的數學，可以恣意忘情地進行代值求解，進行解釋、預測與控制，達到提升人類生活品質的科學最高境界！我們也可以這樣說，統計是連接理想與現實的橋樑，是科學通往真實人生的通道。

學過統計的人都知道，y=bx+a+e是簡單迴歸方程式，他真的很簡單，但確有大道理。在遇到多層次模式之前，我從來沒有那麼深刻的體會到，一道中學時代所學習的線性方程式居然那麼神奇，那麼有力。可以縱橫四海，可以連貫古今，可以把統計大大提起，把數學輕輕放下。原來只差一個e。我真的是因為這個關於e的小故事，而對我自己的學術領域有了一個全新的體驗，這都歸功於多層次模式，與這本書有關。

數年前的某一天，為了投稿文章的修改，我面對一連串的多層次模式的數學符號，心裡埋怨著為什麼公式這麼多，那麼難打。恰好一位同事經過，丟下一句，多層次模式不是在管XYZ，而是在這個最後的一個小老鼠e，還有那些看起來像m的u，多層次模式的起源就是因為迴歸搞不定這些小老鼠咬破布袋漏了氣。我突然頓悟的說，可能不是只有多層次模式在意誤差吧！應該幾乎所有的統計問題，都是為了誤差而來。因為我在大一上統計課時，老師就說白了，統計問題就是機率問題，機率就是掌握世事變化與人類不確定性的或然率，沒有變化與不確定，就沒有機率，也就用不著統計。

打從那天開始，我就毫無困難的可以深入多層次模式的核心，甚至無限延伸到其他統計模型，像是更混沌的混合模式，也沒有什麼好怕的了。不相信的話，你可以看看這本書的內容，把重點放在誤差項，你就可以體會多層次模式的神奇了。那種心情，就像那種要看很久才看得出端倪的立體圖片，突然一瞬間，就讓你看到了美麗的繽紛世界。

我講這些話，絕對不是在說服各位看官這本書有多簡單，反而是，辛苦叮嚀各位，要進入多層次模式的立體世界，一定要戴上特殊的眼鏡，調好角度，坐好坐姿，安慰自己，從e開始，就可以登堂入室。否則，它絕對令您眼花撩亂。但如果您因為3D電影（或多層次模式）的聲光效果會擾亂脾胃而心懷不滿一走了之，我只能為您感到惋惜，因為它真的很神奇。

這本書的定位是一本高度專業的實用教材，它的材料主要來自學術研究的成果與課堂示範的講義，因此靜態的知識傳遞遠不如真實的講授互動討論可以達成學習的目的。因此，我跟協助這本書出版的新亞測評執行長商量，以後，可能會借用他們的課室辦一些小型研習活動，來落實這本書的理想初衷，也就是讓真正想學想用多層次模式的朋友能夠達成願望，而且沒有什麼閃失。

一如往常的，我完成重大工作，就想抬頭看看有沒有人要一起吃大餐。多層次模式方法論這本書，是我與温老師近幾年重要的著作之一，確實重大，所以要吃比較多。但落筆時比較晚了，只剩下實驗室迴廊裡的寂寞的光。改天吧，找一個咖啡沙龍，讓咖啡的香醇，趕走冬的蕭瑟，讓知識的饗宴，真正豐富我們的心靈世界，那才是一種真正的永恆，Forever！