Spiral

Spiral

「螺線」。繞圈的曲線。

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral.htm

Radial Function
X and F(X) ⇨ Angle and Radius

繪製函數圖形,除了水平延展,還可以迴旋延展。

「徑向函數」。函數輸入視作從X軸出發的角度,函數輸出視作從原點出發的長度。

利用三角函數sin()和cos()找到繪製地點。

當函數輸出是負值,則無法畫出函數圖形。三種解法:一、乾脆不畫。二、負值變正值、換顏色。三、穿越原點,跑到對面,角度相差180度。

角度可以改成x的倍率,修改轉速。

運用迴旋,得以製作許多特殊圖形。

Periodicity ⇨ Closed

有個值得一提的案例是週期函數:固定間距、不斷重複的函數。

角度改成x的適當倍率,使得一個間距(或者其倍數)剛好轉一圈,函數圖形頭尾銜接,得到封閉曲線。

Angle and Radius ⇨ X and F(X)【查無專有名詞】

任意的封閉曲線,想要從迴旋延展變成水平延展,就必須滿足函數的規定:找到內部一點作為原點,任意放射線與曲線的交點只有一點。之後即可視作一般函數進行處理。

不是函數的封閉曲線,想要滿足函數的規定,我只知道一種解法是平滑化:每一個點,取其鄰點,求平均數。實施足夠次數,似乎就會變成函數。實施無限次,最後就會變成圓形,其概念類似於流形與圓的映射。我不清楚這部分是否有人研究。

Sphere Coordinates、函數輸入是兩個變數

函數輸入是兩個變數(或者一個複數),視作旋轉角度和俯仰角度,得到三維空間的表面。

f[u_,v_] := Sin[u]Sin[v]+2; ParametricPlot3D[{f[u,v]Cos[v/5]Cos[u/5], f[u,v]Cos[v/5]Sin[u/5], f[u,v]Sin[v/5]}, {u, 0, 40}, {v, 0, 40}, Boxed -> False, Axes -> False, Mesh -> None, PlotPoints -> 70, ColorFunction -> (ColorData["CherryTones"][Rescale[#3, {-2, 2}]] &) ]

Cylinder Coordinates、函數輸出是兩個變數

函數輸出是兩個變數(或者一個複數),視作水平距離和垂直距離,得到三維空間的線。

ParametricPlot3D[{Sin[x] Cos[x*10], Sin[x] Sin[x*10], x}, {x, 0, 9}, Boxed -> False, Axes -> False, PlotStyle -> {RGBColor[192,0,0], Thick}]

Roulette(Under Construction!)

Roulette

「旋輪線」。滾圈的曲線。

繪製旋輪線,除了水平延展,還可以迴旋延展。

https://www.zhihu.com/question/413178224/answer/1402560436

http://mathworld.wolfram.com/Roulette.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Roulette_(curve)
https://en.wikipedia.org/wiki/Hypotrochoid
https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve
https://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve
https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid
https://en.wikipedia.org/wiki/Whewell_equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Cesàro_equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary
https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix
https://en.wikipedia.org/wiki/Evolute

Brachistochrone Curve

「最速降線」。力與軌跡。

curvature = laplacian = stress

Orthogonal Polynomials(Under Construction!)

Bernstein Polynomial

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Chebyshev Polynomial / Zernike Polynomial

Chebyshev polynomial: sine wave wrapped around a cylinder

Taylor Series

Δxⁿ projects onto basis, which is function gradient.

            f(x) (Δx)⁰   f′(x) (Δx)¹  f″(x) (Δx)²
f(x + Δx) = ―――――――――― + ―――――――――― + ――――――――――― + ...
                0!            1!           2!

Fourier Series

球諧函數」:傅立葉轉換的基底(各種頻率的複數波),放到球座標系統進行迴旋,得到球諧函數。

柱諧函數」。

Laplace Equation

Legendre polynomial: Laplace's Equation solution of sphere coordinate
Bessel Functions: Laplace's Equation solution of cylinder coordinate
http://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquationSphericalCoordinates.html
http://www.cs.jhu.edu/~misha/Spring19/

Hankel transform of Zernike polynomials are essentially Bessel Functions

Poisson Equation

[surface]
https://plot.ly/javascript/3d-surface-plots/
http://bl.ocks.org/supereggbert/aff58196188816576af0
Green's Function
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(i%7Cx-y%7C)+%2F+%7Cx-y%7C

e^(iκ|x-y|) / |x-y|

ΔG(x, y) + κ^2 G(x, y) = 0

Fourier Transform(Under Construction!)

Fourier Curve

http://fourierart.com/
http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html
http://mathworld.wolfram.com/WattsCurve.html
波粒二象性是脈衝函數做Laplace Transform?

Fourier Transform

fourier transform
https://i.imgur.com/LEzlfhQ.png

Radial Function與Fourier Transform

e的純虛數次方會不斷繞圈。採用單位根的次方e𝑖⋅2π/N

複數 垂直座標  轉換機制  頻率座標  轉換名稱  時間複雜度
一一 一一一一一 一一一一一 一一一一一 一一一一一 一一一一一
數字 實部、虛部 長度、角度 幅長、幅角 極轉換   O(1)
函數 實部、虛部 複數波   強度、相位 傅立葉轉換 O(NlogN)
一個數值,得到極座標表示法
一個數列,得到傅立葉轉換
一個矩陣,得到特徵分解
e^x               輸入相加=輸出相乘
fourier transform 輸入點積=輸出卷積

傅立葉轉換也許可以視作座標系轉換。有些問題在垂直座標很難算,在頻率座標卻很好算。複數乘法變長度相乘、角度相加。數列卷積變數列乘法。

傅立葉轉換是積分變換,可以視作向量空間的座標系。

Eigenvalue與Fourier Transform

循環矩陣,特徵向量是傅立葉矩陣,特徵值是第一個橫條的傅立葉轉換。

http://math.stackexchange.com/questions/25126/

1. 兩個循環矩陣相乘  = 總是可以用fourier matrix作對角化 = 對角線矩陣相乘
  (還是循環矩陣)        (C = F D F⁻¹) (F⁻¹ = Fᵀ)       (對應的eigenvalue相乘)

2. 兩串數列的循環卷積     = fft                         = 對應項相乘

3. 兩個多項式的循環乘法   = 多項式求值,以e^-itn取樣  = 對應的點座標相乘

4. 兩串函數值的循環乘法   = 這是甚麼東西?

5. 兩串分解式的循環乘法   = 這是甚麼東西?
   (2n個根融合成n個根)
tridiagonal and Toeplitz matrix's eigenvalues:
a + 2 sqrt(bc) cos(k pi / (n+1))   for k = 1~n
eigenvectors of fourier matrix is gaussian function
eigenvalues of fourier matrix is +1 -1 +i -i
F^4 = I
傅立葉矩陣的特徵向量是高斯,特徵值是 {-1, +1, -i, +i}
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors

循環矩陣的特徵向量是傅立葉,特徵值是傅立葉轉換結果
https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix#Properties

共伴矩陣的特徵向量是 [1 x^1 x^2 ...] ,特徵值是遞迴方程式的根x。
det = 0 是原本的遞迴方程式。
https://en.wikipedia.org/wiki/Companion_matrix

Chirp Z-transform

fast inverse CZT algorithm
Generalizing the inverse FFT off the unit circle
https://www.news.iastate.edu/news/2019/10/10/signalprocessing
https://en.wikipedia.org/wiki/Rader's_FFT_algorithm

Radon Transform(Under Construction!)

函數輸入是兩個變數

Radon Transform / Hough Transform

https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform
https://en.wikipedia.org/wiki/File:R_theta_line.GIF
y = mx + b <---> (r,θ)

這跟計算幾何的點線對偶不一樣。