series

continuouity: generating function / series
infinity: convergence / boundary
operation: calculus / product / recurrence (iteration) / continuous fraction

continuouity

離散數列與連續函數彼此轉換。結果稱之為「生成函數」。

(2 -5 1 0 4)  ←—→  2x⁰ - 5x¹ + 1x² + 0x³ + 4x⁴
    a(x)                     p(x)

得以援引函數運算：加減乘除、微分、積分。

得以援引分析方法：求值、求解、求根、求極值、迴歸、內插。

數論與分析兩大領域打通了！

infinity

設計奇葩的多項式，製造奇葩的數列。

分數多項式、長除法，可以製造無限長數列。

1/(1-x) = x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...  ←—→  (1 1 1 1 ...)

https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series

連乘化倒數
P = (1+x)(1+x^2)(1+x^3)...
Q = (1-x)(1-x^2)(1-x^3)...
PQ = (1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)...       　只有偶數
1/Q = P/PQ = (1-x)(1-x^3)(1-x^5)....　只有奇數
Q = 1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)...

convergence

the radius of convergence
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy–Hadamard_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression
https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence

1/e^(x^2) sqrt(π)
1/x       ln(x) 發散
1/(x^2)   pi^2 / 6  (離散版本)
1/x!      e         (離散版本)

operation

微積分，可以製造什麼東西呢？

1/(1-x)² = 0x⁰ + 1x¹ + 2x² + 3x³ + ...  ←—→  (0 1 2 3 ...)

數列累積和、相鄰差。函數微分、積分。

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Maclaurin_formula

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_identity
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product

recurrence

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Recamán's_sequence
https://en.wikipedia.org/wiki/Holonomic_function

微分、積分

微分總是從宇宙洪荒之中取得更高項。

平滑函數：無限可微。

解析函數：無限可微且收斂。

Taylor series

一個多項式函數表示成(x-a)的power series。

以傅立葉轉換來做比喻，xⁿ有如波，係數有如頻譜。

p-adic number

多項式：以(x-a)當作底數，快速得知f(a)的數值。泰勒展開。

多項式分式：同上，為了避免除以零，所以移項，(x-a)f(a)。

整數：以任意整數當作底數，可以知道整除效果。

分數：同上，分子與分母互質，分子減去多少可以整除。

Fourier series

泰勒級數：多個螺旋線疊加。
傅立葉級數：多個圓形疊加。
不動函數：形狀不變。
特徵函數：簡諧運動？特徵值：圓形膨脹收縮。

Weierstrass function。處處連續處處不可微分。
Fabius function。處處平滑處處不可解析。
橫批：無窮遞迴。

實數域、不可解析、平滑函數
https://math.stackexchange.com/questions/2081341/

arithmetic cosine transform
arithmetic Fourier transform

首項不除以 sqrt(2)
idct(dct([0,1,2,3,4])) = [2,3,4,5,6]
idct(dct([1,2,3,4,5])) = [4,5,6,7,8]
idct(dct([2,3,4,5,6])) = [6,7,8,9,10]

fixed point of fourier transform: gauss, sqrt(1/|x|)
sqrt(1/|x|) + sqrt(1/|x+5|) ---> flat at [0,5]

Lamber W function

無限次方變成轉圈。

gamma function

階乘推廣到複數。

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

harmonic series

Euler product

質數是根。

basel problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#cite_note-5
https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Euler's_approach
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_Riemann_zeta_function

(=>)
質因數分解/算術基本定理的倒數版本
每一個質數的各種次方，利用多項式相乘，拼出所有數

  2的次方             3的次方              5的次方
  (1+1/2+1/4+1/8+...)*(1+1/3+1/9+1/27+...)*(1+1/5+1/25+1/125+...)*...
= 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+....
  全部的數

(<=)
篩法! wiki有證明，無窮級數運算
  1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+....
= (1+1/2+1/4+1/8+...)*(1+1/3+1/9+1/27+...)*(1+1/5+1/25+1/125+...)*...

(推廣)
次方值一齊乘上相同倍率!

(不是倒數的版本)
次方值s代入-1
(1+2+4+8+...)*(1+3+9+27+...)*(1+5+25+125+...)*... = 1+2+3+4+5+6+... = -1/12

telescoping series

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_of_the_sum_of_the_reciprocals_of_the_primes
https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach–Euler_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Natural_logarithm_base_e
https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Remond_de_Montmort

Grandi's series

解析延拓analytic continuation

Cesàro summation assigns Grandi's divergent series

http://mathworld.wolfram.com/Zeta-RegularizedProduct.html
https://www.quora.com/Why-is-the-regularized-product-of-all-prime-numbers-equal-to-4-pi-2

Dirichlet series（aₙ ←—→ aₙnˣ）

(2 -5 1 0 4)  ←—→  2⋅0ˣ - 5⋅1ˣ + 1⋅2ˣ + 0⋅3ˣ + 4⋅4ˣ
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  ←—→  a₀0ˣ + a₁1ˣ + a₂2ˣ + a₃3ˣ + a₄4ˣ

狄利克雷級數與狄利克雷乘積（乘性卷積）仍有許多謎團，例如千禧年大獎難題的黎曼猜想，就是狄利克雷級數求根。

Riemann ζ function

常數函數𝟏的生成函數：狄利克雷級數。

arithmetic function

算術函數，引入生成函數：狄利克雷級數。

方便起見，次方值設定為x = -s，以便省略負號。數學家應該很想巴我頭。

ε(n)  ←—→  εᴳ(x) = sum ε(n) nˣ     impulse function
                  n=1⋯∞
𝟏(n)  ←—→  𝟏ᴳ(x) = sum nˣ          constant function
                  n=1⋯∞
ι(n)  ←—→  ιᴳ(x) = sum n nˣ        identity function
                  n=1⋯∞
μ(n)  ←—→  μᴳ(x) = sum μ(n) nˣ     Möbius function
                  n=1⋯∞
φ(n)  ←—→  φᴳ(x) = sum φ(n) nˣ     coprime counting function
                  n=1⋯∞

藉由乘性積分的數學公式，推導生成函數的數學公式。

εᴳ(x) = 1
𝟏ᴳ(x) = ζ(x)
ιᴳ(x) = ζ(x+1)
μᴳ(x) = 1 / ζ(x)          μ ∗ 𝟏 = ε  ←—→  μᴳ × 𝟏ᴳ = εᴳ
φᴳ(x) = ζ(x+1) / ζ(x)     φ ∗ 𝟏 = ι  ←—→  φᴳ × 𝟏ᴳ = ιᴳ

冪數列相鄰差變成了X軸移位！互質數計數變成了除法！之後數學家利用餘數應付移位，利用複數應付除法，這是後話了。

倍增數列相鄰差、Fibonacci數列相鄰差自帶X軸移位效果，不需要透過生成函數。

其他算術函數的生成函數：

completely multiplicative function

完全乘性函數。f(ab) = f(a)f(b)。

乘性卷積、乘性卷積反元素，化作乘法（對應項相乘）。

f ∗ f = σ₀ × f
f⁻¹   = μ × f

完全乘性函數，引入生成函數：狄利克雷級數。

f(n)               ←—→ fᴳ(x)
f⁻¹(n) = (μ×f)(n)  ←—→ 1/fᴳ(x)

Euler product。

 sum f(n) nˣ =  prod  { 1 + f(p¹) p¹ˣ + f(p²) p²ˣ + ... }
n=1⋯∞         p=prime

 sum f(n) nˣ =  prod  { 1 / (1 - f(p) pˣ) }   geometric series
n=1⋯∞         p=prime

Dirichlet character

三個願望一次達成：完全乘性函數、互質數判定、週期函數。

χ(n)               ←—→ L(x,χ)
χ⁻¹(n) = (μ×χ)(n)  ←—→ 1/L(x,χ)   三種ㄨ乂一次達成

Dirichlet L-function

狄利克雷特徵函數χ的生成函數。

power series（aₙ ←—→ aₙxⁿ）

(2 -5 1 0 4)  ←—→  2x⁰ - 5x¹ + 1x² + 0x³ + 4x⁴
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  ←—→  a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴

power series正向延伸。Laurent series雙向延伸。Christol's theorem推廣成有限體。

Lambert series

乘性積分的生成函數：冪級數。

原數列每一項除以(1+xⁱ)後z轉換，等於積分後z轉換。左式叫做Lambert series。

Bell series

生成函數，只取質數次方項。

用途大概是以生成函數來搞篩法。

Gauss sum

質數次單位根冪和函數。

也可以當作生成函數來使用。

【尚無正式名稱】

乘性卷積，取因數項改成取互質數項。