Taylor Series（Under Construction!）
Power Series（aₙ ⟷ aₙxⁿ）
(2 -5 1 0 4) ⟷ 2x⁰ - 5x¹ + 1x² + 0x³ + 4x⁴ (a₀ a₁ a₂ a₃ a₄) ⟷ a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴
Power Series正向延伸。Laurent Series雙向延伸。Christol's Theorem推廣成有限體。
演算法是數論轉換、傅立葉轉換。
p-Adic Number
https://books.google.com.tw/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA241
https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.81.2931&rep=rep1&type=pdf
多項式：以(x-a)當作底數，快速得知f(a)的數值。泰勒展開式。
多項式分式：同上，為了避免除以零，所以移項，(x-a)f(a)。
整數：以任意整數當作底數，可以知道整除效果。
分數：同上，分子與分母互質，分子減去多少可以整除。
https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_dynamics
Taylor Series
這是一道數學公式。將平滑函數變成多項式函數。
換句話說，以無限項的多項式函數，趨近平滑函數。
y = f(x)
h¹ h²
y₊ = f(x₊) = f(x + h) = f(x) + f'(x) ―― + f"(x) ―― + ...
1! 2!
這是另一種形式。當x略微增減，得知y如何增減。
當h介於±1之間，則次方越大、數值越小。後面的項，數值越來越小，越來越細膩，越來越不重要。只取前幾項，即是取近似值！多取幾項，即是逼近真實值！數值精確度，以項數多寡來決定。
UVa 12413
Taylor Series
一個多項式函數表示成(x-a)的Power Series。
以傅立葉轉換來做比喻，xⁿ有如波，係數有如頻譜。
公式源自泰勒展開式。當取樣間距Δx小於1、接近0，後續項次迅速縮小，微不足道，無關緊要，於是捨去後續項次。
Taylor expansion f(x+Δx) = f(x) / 0! + f′(x) Δx / 1! + f″(x) Δx² / 2! + ... f(x-Δx) = f(x) / 0! - f′(x) Δx / 1! + f″(x) Δx² / 2! - ... 1st-order central derivative f(x+Δx) - f(x-Δx) = 2 f′(x) Δx + ... ≈ 2 f′(x) Δx f′(x) ≈ [f(x+Δx) - f(x-Δx)] / 2Δx 2nd-order central derivative f(x+Δx) + f(x-Δx) = 2 f(x) + f″(x) Δx² + ... ≈ 2 f(x) + f″(x) Δx² f″(x) ≈ [f(x+Δx) + f(x-Δx) - 2 f(x)] / Δx² 1st-order central integral f′(x) ≈ [f(x+Δx) - f(x-Δx)] / 2Δx f(x) ≈ [∫f(x+Δx) - ∫f(x-Δx)] / 2Δx f(x-Δx) ≈ [∫f(x) - ∫f(x-2Δx)] / 2Δx ∫f(x) ≈ ∫f(x-2Δx) + f(x-Δx) ⋅ 2Δx ∫f(x) ≈ [... + f(x-3Δx) + f(x-Δx)] ⋅ 2Δx
1 1 2
f(x + Δx) = f(x) + ―― f'(x) Δx + —— f"(x) Δx + ...
1! 2!
1 1
f(x + Δx) = f(x) + —— F'(x)ᵀ Δx + —— Δxᵀ F"(x)ᵀ Δx + ...
1! 2!
F'(x)ᵀ = J(x), F"(x)ᵀ = F"(x) = H(x)
Δxⁿ projects onto basis, which is function gradient.
1. newton optimization: order-1 2. euler method: order-1
Condition number https://en.wikipedia.org/wiki/Condition_number
binomial coefficient / cauchy integral formula https://riteme.site/blog/2018-3-2/cut-the-stick.html
differential operator -> polynomial
https://w3.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=43208
Approximation
pade approximation https://math.stackexchange.com/questions/860293/ Parker–Sochacki method tylor solve ODE https://en.wikipedia.org/wiki/Parker%E2%80%93Sochacki_method
延伸閱讀：Linear Approximation（Linearizarion）
泰勒展開式可以詮釋牛頓法求極值。
二階泰勒展開，令前後兩步高低差距盡量大（盡量走往高處）。對步伐方向Δx微分，得到最佳移動方向。
2nd order Taylor expansion
1
F(x + Δx) - F(x) = Δxᵀ F'(x) + — Δxᵀ F"(x) Δx
2
d
——— [ F(x + Δx) - F(x) ] = F'(x) + F"(x) Δx = 0
dΔx
-F"(x) Δx = F'(x)
Δx = -F"(x)⁻¹ F'(x)
延伸閱讀：Quadratic Function特殊用途
二階泰勒展開式是二次函數，矩陣是Hessian Matrix。根據Hessian Matrix是否正定，可以初步推測該處是極小值、鞍點。
syms x y f = y*exp(x - 1) - x*log(y); taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
g1 = Plot3D[y*Exp[x-1] - x*Log[y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}, BoxRatios->{1,1,1}, ClippingStyle -> None, Mesh-> None, Axes->None, Boxed -> False, ColorFunction -> (ColorData["CherryTones"][Rescale[#3, {-2, 2}]] &)]; g2 = Plot3D[x + ((x-1)^2)/2 + ((y-1)^2)/2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}, BoxRatios->{1,1,1}, ClippingStyle -> None, Mesh-> None, Axes->None, Boxed -> False, ColorFunction -> "SolarColors"];
延伸閱讀：Quadratic Form特殊用途
二次型除以x長度平方，換句話說，向量經過線性變換再投影回去，即是「虛擬特徵值Rayleigh Quotient」。
二次型開根號（必須是半正定矩陣），換句話說，向量經過線性變換的長度，形成「歐氏長度函數Euclidean Length Function」。
延伸閱讀：約束最佳化
constraint http://www.gotoandplay.it/_articles/2005/08/advCharPhysics.php http://www.gotoandplay.it/_articles/2005/08/advCharPhysics_p02.php constraint, move toward dx, taylor expansion c(x) >= 0 c(x + dx) ~= c(x) + c'(x) dot dx >= 0