Natural Logarithmic Function
自然指數函數的反函數
自然指數函數是嚴格遞增函數，擁有反函數。
自然指數函數的反函數，擁有多種寫法。畢竟可以進位和借位。
自然指數函數的反函數，經典的寫法是「Mercator Series」。
(x-1)¹ (x-1)² (x-1)³
exp⁻¹(x) = —————— - —————— + —————— - ...... (0 < x ≤ 2)
1 2 3
1 /x-1\¹ 1 /x-1\² 1 /x-1\³
exp⁻¹(x) = — ⎸———⎹ + — ⎸———⎹ + — ⎸———⎹ + ...... (x > 1/2)
1 \ x / 2 \ x / 3 \ x /
兩種計算方式：
一、二項式反演（拉格朗日展開的特例）。
二、函數複合、一次微分。
「自然指數函數的反函數」屬於「對數函數」
「指數函數的反函數」稱作「對數函數」。
對數函數：a的幾次方是x。a是任意數。
f(x) = loga(x)
對數函數的等價定義：輸入相乘等同輸出相加。
f(xy) = f(x) + f(y)
Natural Logarithmic Function
「自然指數函數的反函數」重新稱作「自然對數函數」。
(x-1)¹ (x-1)² (x-1)³
ln(x) = logₑ(x) = —————— - —————— + —————— - ...... (0 < x ≤ 2)
1 2 3
並且重新設計數學符號：
ln(x)稱作「自然對數函數」。
e稱作「歐拉數」。
Natural Logarithmic Function上界
近似公式，但是不等於。證明請見維基百科。
(x-1)¹ (x-1)² (x-1)³ (x-1)ⁿ 1 1 1 1
ln(x,n) = —————— - —————— + —————— - ... + —————— < —— + —— + —— + ... + ——
1 2 3 n 1 2 3 n
(x-1)¹ (x-1)² (x-1)³ 1 1 1
ln(x) = —————— - —————— + —————— - ...... < —— + —— + —— + ......
1 2 3 1 2 3
「自然指數函數的反函數」恰是x⁻¹的積分
反函數即是函數圖形沿著45°斜線翻面。
斜率是高度除以寬度。反函數翻轉高度和寬度，讓斜率變成倒數。以此推導出exp⁻¹(x)的斜率是x⁻¹。
斜率就是微分結果。以此推導出exp⁻¹(x)是x⁻¹的積分。
exp⁻¹(x) = y
d/dx exp⁻¹(x) = 1 / (d/dy exp(y)) 反函數的斜率變成倒數
d/dx exp⁻¹(x) = 1 / exp(y) 微分不動點
d/dx exp⁻¹(x) = 1 / x exp(y) = x
exp⁻¹(x) = ∫ (1 / x) dx
「自然指數函數的反函數」完成了整數次方的微積分
微分讓次方值減一，唯一例外是0次方。0次方微分之後，不是-1次方，而是回歸虛無。
積分讓次方值加一，唯一例外是-1次方。-1次方積分之後，不是0次方，而是涵蓋萬物。「自然指數函數的反函數」涵蓋所有非負次方。
