Ordering

物固相累,二類相召也。《莊子》

Comparison

兩個元素互相「比較」。

比較方式:高低(元素是數字)、覆蓋(元素是區間)、包含(元素是集合)、……。

比較結果:小於≺、等於∼、大於≻。

比較結果可以精簡成兩種:小於等於≼、不小於等於⋠。

此處的數學符號是曲線!不是直線哦!

Order

元素兩兩比較,宏觀望去,就是「序」。

序在數學中擁有嚴謹定義。

這些定義是為了全面檢查元素大小,讓元素大小不產生矛盾:

1. a ≼ a                           (reflexivity)
   自反性:能夠自己跟自己比較
2. if a ≼ b and b ≼ a then a ∼ b   (antisymmetry)
   反對稱性:不大不小剛剛好
3. if a ≼ b and b ≼ c then a ≼ c   (transitivity)
   遞移性:一定要有直達捷徑

圖論的觀點,序是Transitive Graph添上Loop。

相等元素形成Clique。

Hasse Diagram

序可以畫成簡圖,稱作「哈斯圖」。

一、刪除自環:如果發現邊aa,就刪除邊aa。(reflexivity)
二、合併相等元素:如果發現邊ab、邊ba,就收縮邊ab。(antisymmetry)
三、刪除遞移:如果發現邊ab、邊bc、邊ac,就刪除邊ac。(transitivity)

圖論的觀點,哈斯圖是有向無環圖DAG。事先收縮所有Clique,尋找Minimum Transitive Reduction。

Ordering

既然可以比較,那就可以分高下、定優劣、決勝負、論成敗。所有元素由小到大排成一列,形成「序列」。

order是限制條件。ordering是符合限制條件的排列。

order是兩兩關係,是一個graph。ordering是一條龍順序,是一個permutation。一個order通常可以擷取很多種ordering。

圖論的觀點,序列是拓樸順序Topological Ordering。事先清空所有Clique的邊,實施拓樸排序。

圖論的觀點,序列也是哈斯圖的拓樸順序Topological Ordering。事先劈開所有收縮的點,實施拓樸排序。

Partial Order / Total Order

序細分為「偏序」和「全序」。

偏序即是序。

全序是序的特例,追加第四點定義。

4. either a ≼ b or b ≼ a           (comparability)
   可比性:任意兩個元素一定能夠比較
偏序        丨全序
一一一一一一一一一一十一一一一一一一一一一一一一一一一一
部分配對可以互相比較丨所有配對皆可互相比較
哈斯圖是有向無環圖 丨哈斯圖是鏈
通常有許多種序列  丨當元素皆不相等,只有唯一一種序列。

Partially Ordered Set

Partially Ordered Set(Poset)

「偏序集」。所有集合元素形成偏序。

偏序集通常有許多種序列。

範例:Divisibility

a ≼ b iff a | b

整除關係:元素是自然數。比較是整除。

從數字到數列,從數列到偏序集。數論進入了偏序集時代,重重謎團迎面而來。數字:群環體、複數運算。數列:多項式、級數運算。偏序集:我們所知甚少。

範例:Domination

(x₁,y₁) ≼ (x₂,y₂) iff x₁ ≤ x₂ and y₁ ≤ y₂

支配關係:元素是座標。比較是對應維度座標大小。

經典問題:Maximal Layer。葉數。

範例:Increasing Relation

i₁ ≼ i₂ iff i₁ ≤ i₂ and a[i₁] ≤ a[i₂]

遞增關係:元素是數列的項。比較是項次先後、數字大小。

支配關係等價於遞增關係:X座標變項次、Y座標變數字。

經典問題:Longest Increasing Subsequence。最長路徑。

範例:Coverage

[a₁,b₁] ≼ [a₂,b₂] iff a₁ ≥ a₂ and b₁ ≤ b₂

覆蓋關係:元素是區間。比較是覆蓋。

支配關係等價於覆蓋關係:X座標變號。

經典問題:Cover Points by Minimum Interval。最小分離集。

範例:Inversion

i₁ ≼ i₂ iff i₁ ≤ i₂ and a[i₁] ≰ a[i₂]

逆序對關係:元素是數列的項。比較是項次先後、數字大小。

覆蓋關係等價於逆序對關係:左界變陣列數值、右界變索引值。

經典問題:Inversion Number。邊數(扣除自環)。

支配關係

方才四個經典問題都等價於支配關係。還有許多問題也都等價於支配關係,我就不一一介紹了。支配關係可以畫成有向無環圖DAG。這些問題的本質,就是針對DAG想空想縫、舞豬舞狗。

UVa 11020

Totally Ordered Set

Totally Ordered Set

「全序集」。所有集合元素形成全序。

當全序集的元素皆不相等,則全序集只有唯一一種序列。

範例:Natural Number

自然數任意兩個數字皆可比較大小,而且數字皆不相等。

自然數、整數、有理數、代數數,乃至實數,其實都是全序集。

Totally Ordered Set的各種運算

數學家不討論全序集的細節。計算學家恰恰相反,發明大量演算法,例如排序、搜尋、選擇、……,成為計算機科學的基本知識。

排序Sorting:給定集合、序,求得序列。
索引Indexing:給定集合、(序),求得索引集。
搜尋Searching:給定索引集、(序)、元素,求得索引值。
排名Ranking:給定集合、序、(元素),求得名次。
選擇Selection:給定集合、序、名次,求得元素。

集合的每個元素予以編號,該集合稱作「索引集Indexed Set」,該編號稱作「索引值Index」。若元素相同,則索引值相同。

集合的每個元素依「序」予以編號,該編號稱作「名次Rank」。若元素相等,則名次相同。

Matroid(Under Construction!)

Matroid

「擬陣」。大量路線。設置匯點。

可以畫成有向無環圖(層數是集合大小)。

1. 子集合
2. 小集+差集元素(大集減小集)
https://zhuanlan.zhihu.com/p/53976000
https://web.stanford.edu/class/cme305/Files/l4.pdf

Antimatroid

「反擬陣」。大量路線。設置源點。

可以畫成有向無環圖(層數是集合大小),整體呈菱形結構。

1. -自身元素
2. 聯集(生產祖先)

Submodular Function

marginal effect
https://www.zhihu.com/question/34720027

area cover
https://zhuanlan.zhihu.com/p/106576120

optimization
https://people.seas.harvard.edu/~yaron/AM221-S16/schedule.html

Matroid Intersection

https://usaco.guide/adv/matroid-isect