Iterated Function System🚧
Iterated Function System
「遞推函數系統」。
函數求值無限多回合，本回合輸出作為下回合輸入。
實務上改為N回合。
Iterated Function System可以畫成圖形
不同初始數值，不同路線，不同結果。
輸入輸出是相同集合，可以重疊。
亦得採用垂直座標系。
數學性質：Periodicity
「週期性」。數值重複出現。
輸入輸出是有限集合，最終必然循環。
輸入輸出是無限集合，最終可能循環、最終可能不循環。
循環長度稱作period。當循環長度是1，循環退化成定值。
循環稱作orbit或periodic points。
定值稱作steady state或fixed point。
不循環，最終必然抵達無限遠處。
數學性質：Continuity
「連續性」。起點附近的點也會抵達終點附近的點。
多個連續函數的複合也是連續函數。起點到終點是連續函數。起點附近的點也會抵達終點附近的點。起點們形成連續區域與連續邊界。終點們亦然。
數學性質：Asymptoticity
「漸近性」。逐步貼近一條線。
輸入輸出是離散集合（自然數、整數），最終可能抵達循環。
輸入輸出是連續集合（實數、複數），最終也可能漸近循環。
漸近循環，該循環稱作limit cycle或asymptotic period，該性質稱作asymptotic periodicity。
漸近定值，該定值稱作attractor或attractive fixed point，該性質稱作asymptotic convergence。
不循環，最終可能漸近無限遠處、可能到處亂跑。到處亂跑，有時候是繞行。繞行的大致中心稱作strange attractor。
數學性質：Stability
「穩定性」。走往steady state、或者繞行steady state。
穩定性的原始定義：位於steady state附近的起點，只會途經steady state附近的點。
穩定性還隱含了另一個意義：位於steady state附近的起點，最終必然循環。【尚待確認：半徑小於ε的二維實數是有限個。】
steady state可以利用穩定性，分成兩種類型：
stable steady state：周圍所有起點，最終都會循環。 unstable steady state：周圍某些起點，最終不會循環。
steady state還有另一套更清晰的分類方式，分成四種類型：
sink ：匯點。周圍聚合，宛如吸引。（stable）（attractor） source：源點。周圍離開，宛如排斥。（unstable） saddle：鞍點。兩者都有。 （unstable） center：中心。周圍旋繞，宛如公轉。（neutral stable）（limit cycles）
明明主角應該是orbit，但是orbit目前仍然沒人分類。原因也許是orbit可以分成非常多種類型。
數學性質：Ergodicity
「遍歷性」。無論怎麼走，分布皆相同。
令步數趨近無限大。無論初始數值為何，途經數值的出現次數，趨近相同分布。
如果循環，缺乏討論意義。步數趨近無限大，只需考慮循環數值，而循環數值顯然是固定數值。
如果不循環，才有討論意義。遍歷性是針對不循環的情況。
數學現象：Fractal
連續時，漸近循環的起點們，形成連續區域與連續邊界，邊界可能平滑、可能粗糙。邊界粗糙，該現象稱作「碎形」。
不連續時，可能不會形成區域與邊界，難以討論。
數學現象：Chaos
穩定時，一條路線，可能循環、可能不循環。
不穩定時，不循環可能漸近無限遠處、可能到處亂偏亂飄。亂偏亂飄，該現象稱作「混沌」。
