Function運算（主角是函數）
■ logic
operation (noun) operation (verb) result (noun)
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( ) evaluation 求值 evaluate 求值 value 值
= substitution 代入 substitute 代入 expression 式
∘ composition 複合 compose 複合 composite function 複合函數
⁻¹ inversion 反演 inverse 反演 inverse function 反函數
■ arithmetic
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+ addition 加法 add 加 sum 和
- subtraction 減法 subtract 減 difference 差
⋅ multiplication 乘法 multiply 乘 product 積
/ division 除法 divide 除 quotient 商
■ calculus
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d/dx differentiation 微分 differentiate 微 derivative 導數
∫ dx integration 積分 integrate 積 integral 積分
■ analysis
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⟪ , ⟫ dot product 點積
∗ convolution 卷積
‖ ‖ norm 範數
■ comparison
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= equal than 等於 true/false 真/假
> greater than 大於 true/false 真/假
< less than 小於 true/false 真/假
■ optimization
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max maximization 最大化 maximize 最大化 maximum 最大值
min minimization 最小化 minimize 最小化 minimum 最小值
sup supremum 最小上界
inf infimum 最大下界
求值
求值：給定輸入數值，計算輸出數值。
sin x cos y
f(x, y) = ————— + —————
y x
|
| x = 1
| y = 0.5
↓
sin 1 cos 0.5
f(1, 0.5) = ————— + ——————— = 2.56
0.5 1
代入
代入：輸入變數替換為其他變數，得到新函數。
sin x cos y
f(x, y) = ————— + —————
y x
|
| x = s+2
| y = t/2
↓
sin(s+2) cos(t/2)
g(s, t) = ———————— + ————————
t/2 s+2
複合
複合：如果經常接連求值，那麼可以預先把函數複合在一起，得到複合函數，節省計算時間！
兩個函數
f(x) = x² + x + 1
g(x) = -x + 2
輸入數值是1的時候，計算先通過g函數、再通過f函數的輸出數值
g(1) = -1 + 2 = 1
f(g(1)) = f(1) = 1² + 1 + 1 = 3
輸入數值是2的時候，計算先通過g函數、再通過f函數的輸出數值
g(2) = -2 + 2 = 0
f(g(2)) = f(0) = 0² + 0 + 1 = 1
如果預先讓函數複合
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
= (-x + 2)² + (-x + 2) + 1
= x² - 5x + 7
那麼就可以節省計算時間
(f ∘ g)(1) = 1² - 5 + 7 = 3
(f ∘ g)(2) = 2² - 10 + 7 = 1
反演
反演：如果經常求解，那麼可以預先把函數反演，得到反函數，節省計算時間！
一個函數
f(x) = log₂(x - 2)
輸出數值是1的時候，嘗試求得輸入x
f(x) = log₂(x - 2) = 1
x - 2 = pow₂(1)
x - 2 = 2¹
x - 2 = 2
x = 2 + 2
x = 4
如果預先讓函數反演
f⁻¹(x) = 2ˣ + 2
那麼就可以節省計算時間
f⁻¹(1) = 2¹ + 2 = 4
加減乘除
加減乘除：如果經常要把兩個函數的輸出加在一起，那麼可以預先把兩個函數加在一起，得到新函數，節省計算時間！
加減乘除概念相仿，其餘運算就不多提了。
兩個函數
f(x) = x² + x + 1
g(x) = -x + 2
輸入數值是1的時候，計算所有函數輸出數值的總和
f(1) = 1² + 1 + 1 = 3
g(1) = -1 + 2 = 1
f(1) + g(1) = 3 + 1 = 4
輸入數值是2的時候，計算所有函數輸出數值的總和
f(2) = 2² + 2 + 1 = 7
g(2) = -2 + 2 = 0
f(2) + g(2) = 7 + 0 = 7
如果預先讓函數相加
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (x² + x + 1) + (-x + 2)
= x² + 3
那麼就可以節省計算時間
(f + g)(1) = 1² + 3 = 4
(f + g)(2) = 2² + 3 = 7
微分、積分
微分：輸出差距除以輸入差距。曲線的斜率。
積分：輸出加總乘以輸入差距。曲線下的面積。
點積、卷積
【不知道怎麼畫成圖片】
點積：兩個函數相乘、積分（負無限大到正無限大）。
卷積：很多次點積，其中一個函數左右翻面、一直位移。
範數
範數：輸出的大小。如果輸出變數有很多個，那麼範數有多種設定方式，例如向量長度（平方和開根號）（自點積開根號）。
等於、大於、小於
等於：兩個曲線，處處一樣高。
大於：第一個曲線，處處都較高。
小於：第一個曲線，處處都較低。
如果輸出變數有很多個，那麼可以用範數比大小。
最大值、最小值
最大值：一個曲線的最高處。最大的輸出。
最小值：一個曲線的最低處。最小的輸出。
最小上界、最大下界
最小上界：多個曲線的最大值。
最大下界：多個曲線的最小值。
延伸閱讀：最小值min與最大下界inf
數學家給了嚴格定義。兩者都是「一群東西的最小者」，東西可以是整數、實數、函數、……，東西數量可以是有限、無限，東西範圍可以是有界、無界。兩者差別在於min
不含趨近，inf包含趨近。
範例：實數範圍大於零小於十(0,10)，min不存在（永遠可以找到一個更接近0的實數），inf則是0。
範例：實數範圍從大於等於零小於等於十[0,10]，min是0，inf也是0。
範例：https://math.stackexchange.com/questions/1106225/
計算學家有著另類用法。min是一群數值的最小數值，inf是一群函數的最大下界函數。min輸出數值，inf輸出函數。
範例：x* = minₓ f(x)是指一堆數字f(0)、f(1)、f(2)、……的最小數值。
範例：g(y) = infₓ f(x,y)是一堆一維函數f(0,y)、f(1,y)、f(2,y)、……的最大下界函數。
計算學只討論確切數字，於是這兩個範例的min和inf其實都是相等的。既然兩者互通，於是將min用在數值、inf用在函數，以增加資訊含量。
