Closure

Closure

「閉包」。導出子圖,沒有聯外邊。可能有許多個。

Minimum Closure / Maximum Closure

「最小閉包」。點數最少的閉包,即是空圖,缺乏討論意義。

「最大閉包」。點數最多的閉包,即是原圖,缺乏討論意義。

無向圖的情況下,閉包是連通分量,缺乏討論意義。

有向圖的情況下,收縮強連通分量,得到DAG,容易找閉包。

Maximum Weight Closure

「最大權閉包」。一張圖上,點有權重、邊無權重,點的權重總和最大的閉包。只有唯一一個。

無向圖演算法:權重最大的連通分量。

有向圖演算法:重新打造一張圖,求最小源匯割。我不知道為什麼這樣做,真是不好意思。

新增超級源點、超級匯點。源點連向所有正點,容量是正點權重;所有負點連向匯點,容量是負點權重變號;原圖的邊,容量是無限大。

最小源匯割不會包含容量無限大的邊。也就是說,源點側到匯點側,沒有容量無限大的邊、沒有原圖的邊。源點側沒有連外邊。源點側是閉包。源點側去掉源點即是最大權閉包。

Separator(Under Construction!)

Separator(Separating Set)(Cut-set)

「分隔」、「分隔集」。細分為點和邊兩種版本:

點集合,將連通圖分離成兩個以上連通分量。

邊集合,將連通圖分離成兩個以上連通分量。

Minimum Separator(Minimum Separating Set)

「最小分隔」。細分為點和邊兩種版本:

一張圖上點數最少的點分隔。可能有許多個。

一張圖上邊數最少的邊分隔。可能有許多個。

ICPC 4322 3811

(a,b)-Separator

「ab分隔」。細分為點和邊兩種版本:

斷開a點到b點,使之不連通的點集合。

斷開a點到b點,使之不連通的邊集合。

事先指定兩點ab。ab不相同、不相鄰才有討論意義。

Connectivity

「連通度」。細分為點和邊兩種版本:

欲讓圖不連通,至少需要拿掉的點數。

欲讓圖不連通,至少需要拿掉的邊數。

其點數、邊數,即是最小點分隔、最小邊分隔。

換句話說,一張圖上隨意拿掉「Vertex Connectivity減一」個點,一定還是連通的。

κ(G) ≤ λ(G) ≤ minv∈G δ(v)。點連通度小於等於邊連通度小於等於最小的度數。

Menger's Theorem

「ab點互斥路徑(點不重複、端點ab除外)的數量最大值」=「ab點分隔的點數最小值」。

「ab邊互斥路徑(邊不重複)的數量最大值」=「ab邊分隔的邊數最小值」。

邊連通度演算法(Max-Flow Min-Cut Theorem)

點容量為一:最大st流=最小st割=最大st互斥路徑=最小st分隔
邊容量為一:最大st流=最小st割=最大st互斥路徑=最小st分隔

窮舉所有點對,分別求最小分隔的大小,取最小值即得。

無向圖O(VE)。Stoer–Wagner Algorithm。

有向圖O(VEVlogV)。Hao–Orlin Algorithm。【尚待確認】

https://www.cse.msu.edu/~cse835/Papers/Graph_connectivity_revised.pdf
https://www.zhihu.com/question/265186138/answer/290977527
图是unweighted graph, 则可以先找k-certificate然后再用SW算法. 可以O(m)时间把边
的个数变成O(kn)个. 所以k很小的话速度还蛮快的.

邊連通度演算法(Dominating Set)

《Determining edge connectivity in O(mn)》

無向圖O(VE)或者O(λV²)。Matula's Algorithm。

《Finding the edge connectivity of directed graphs》

有向圖O(VE)或者O(λ²V²)。Mansour–Schieber Algorithm。

邊連通度演算法(Matroid Intersection)

《A matroid approach to finding edge connectivity and packing arborescences》

無向圖O(E + λ²VlogV)。有向圖O(λElogV)。Gabow's Algorithm。

邊連通度演算法(Local Search)

《Computing and testing small connectivity in near-linear time and queries via fast local cut algorithms》

《An Experimental Study of Algorithms for Computing the Edge Connectivity of a Directed Graph》

無向圖Õ(λ²E)。有向圖Õ(λ²E)。近似演算法。

Partition(Under Construction!)

Partition

Strength

強壯程度。分割之間的邊數量、分割數量(減一),兩者比值的最大值。

https://en.wikipedia.org/wiki/Strength_of_a_graph

Toughness

堅韌程度。刪除tk點無法得到k個連通分量。

https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_toughness

Maximum Cut: Kernighan–Lin Algorithm

用途

無向圖或有向圖,指定兩側點數,求出其中一個最大割。

近似演算法,讓答案盡量準確。

演算法

隨機創造一個割,逐步改成最大割。不斷對調異側兩點,盡量讓割權重變大,直到無法變大。

Maximum Cut: Goemans–Williamson Algorithm(Under Construction!)

用途

無向圖,求出其中一個最大割。

近似演算法,讓答案盡量準確。

Maximum Cut

0.878 max cut
https://zhuanlan.zhihu.com/p/69126787