Function (ℝ)(Under Construction!)

Continuum / Continuous Number

離散數字(自然數、整數、有理數、代數數)、連續數字(實數、複數)分別位在兩個不同世界。離散數字構造簡單,數學家已經掌握基礎、建立體系,例如群環體。連續數字源自想像,因此有許多曖昧不明的地方。例如「實數的尺寸有多大」就已經難倒數學家了。有興趣的讀者請自行研究連續統假設哥德爾不完備定理

目前的數學大廈,實數的定義,其中一種方式是利用「有理數數列、尾端數字彼此相近」及其「度量」、「極限」、「完備性」。還有一種方式是利用「開閉區間、上下確界」。無論哪種都不簡潔,以後可能還有更直觀的方式。有興趣的讀者請自行研究柯西數列、戴德金分割。

Continuity / Continuous Function

目前的數學大廈,連續函數的輸入輸出預設是連續數字,不討論離散數字。難道離散數字就不能構造連續函數嗎?有興趣的讀者請自行研究discrete continuity。

目前的數學大廈,連續函數的定義,完全略過了連續數字的定義,而是直接利用「無窮小量」定義「極限」,再利用「極限」定義「連續函數」。有興趣的讀者請自行研究ε-δ definition of limit、ε-δ definition of continuity。

Function (ℂ)(Under Construction!)

Complex Function

看來看去好像只有analytic => conformal和e𝑖π值得一提。

複數微積分
http://www.solitaryroad.com/c606.html
real function: differentiable != analytic != conformal != harmonic
complex function: differentiable = analytic = conformal != harmonic
                  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                              holomorphic (cauchy-riemann equation)

real function: analytic => smooth = infinite differentiable
complex function: holomorphic => smooth = infinite differentiable

定理:複數平面上,保角即和諧。【尚待確認】

複數平面的保角變換,追加兩個等價性質。

complex conformal:
1. Cauchy–Riemann equation: ‖fx‖ = ‖fy‖ and fx ⟂ fy
2. complex linear: df(z⋅X) = z⋅df(X)
3. complex differentiable

複數平面的和諧變換,沒有追加任何性質。

complex harmonic:
1. Laplace equation: fxx + fyy = 0
2. mean-value property

複可微,即是保角。和諧必須複可微,於是保角。

Liouville Theorem

函數值有界、處處無限複可微,必是常數函數。換句話說,當函數值沒有正負無限大,複平滑函數一定是常數函數。

原因是Cauchy–Riemann Equation限制了虛實兩軸的導數值多寡。實軸上下起伏,虛軸就會突破天際。

順帶一提,實數系統的sin(x)是有界,但是複數系統的sin(x)是無界:虛部趨近無限大。

Cauchy's Integral Theorem / Cauchy Integral Formula

處處無限複可微,環積分是零。

如果圈到一個洞(正負無限大),環積分是2π𝑖。

Polynomial (ℂ)(Under Construction!)

Complex Polynomial

複數加法=向量相加。複數乘法=長度相乘角度相加。複數次方=周旋繞行。複數多項式=多個螺旋線疊加。

Gauss–Lucas Theorem

導數的根,必在原式的根的凸包內。

Residue (ℂ)(Under Construction!)

holomorphic function: 處處複可微  全純

meromorphic function: has pole    亞純

automorphic function: preserving  輸入套用函數,輸出仍一樣  自守

mobius transform: (az+b)/(cz+d)   複保角保圓(位移>反演>鏡射>旋轉>位移)

unimodular transformation: 約分使得ad-bc=1         么模

modular function: 輸入套用么模,輸出仍一樣         模

modular form: 套用么模等同於乘上分母次方(cz+d)^k   模形式
doubly periodic function: 複數雙週期

elliptic function: 兩週期相等 (=餘數系統的二元三次多項式?)  橢圓

Klein's modular function: 極座標表示法? 次方轉圈循環與加法直線循環?

modularity theorem: elliptic function 與 modular form 一一對應

Elliptic Curve (ℂ)(Under Construction!)

Elliptic Curve

「橢圓曲線」。形如y² = x³ + ax + b的二元方程式。

此處討論複數版本:係數和變數都是複數。

複數橢圓曲線,主要用來證明費馬大定理:xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ when n > 2,所有變數均是正整數。

這不屬於演算法的範疇。有興趣的讀者請自行研究。

Fixed Point(Under Construction!)

Fixed Point

recursive convolution可以製造函數版本的巴斯卡三角形。只取區間內部稱作B-spline。

矩陣轉置視作對偶變換,那麼對偶運算是加權總和對大量內積。

f(x)(b-x)/(b-a) + g(x)(x-a)/(b-a)(f∗g)(n) = sum { f(-(n+i))g(n+j) | i+j=n } = sum { f(n+i)g(-(n+j)) | i+j=n }
兩個乘性函數的dirichlet捲積還是乘性函數
自己跟自己捲積得到自己 有這種東西嗎... :I
dirichlet捲積不動點不知道是啥玩意
dirichlet的捲積不動點可以是積性函數嗎
Delphi Method: fixed point iteration
Brouwer Fixed Point Theorem
自映射連續函數,一定有不動點
一維:函數曲線必定穿過y=x
高維圓球也一樣成立

Banach fixed-point theorem
https://www.zhihu.com/topic/19757913/hot
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed-point_theorem
收縮函數(任兩點變換後距離總是變近),不動點遞推法會收斂到不動點
Sperner's Lemma
https://en.wikipedia.org/wiki/Sperner's_lemma
http://images.slideplayer.com/26/8387334/slides/slide_23.jpg

01字串  開頭0結尾1  翻轉次數是奇數
三角形三頂點畫123
三邊插入一些點,各自只畫兩頂點的顏色
內部插入一些點,顏色隨便
三角剖分必有奇數個123三角形

證明
對偶圖  考慮邊12的對偶邊
外面連到裡面  總共有奇數條邊  奇數個點  (怪怪的)
面的度數只有0123  不可能是3  因此至少有一個面是度數1  此即123三角形