Function [ℝ]🚧
Continuum / Continuous Number
離散數字（自然數、整數、有理數、代數數）、連續數字（實數、複數）分別位在兩個不同世界。離散數字構造簡單，數學家已經掌握基礎、建立體系，例如群環體。連續數字源自想像，因此有許多曖昧不明的地方。例如「實數的尺寸有多大」就已經難倒數學家了。有興趣的讀者請自行研究連續統假設、哥德爾不完備定理。
目前的數學大廈，實數的定義，其中一種方式是利用「有理數數列、尾端數字彼此相近」及其「度量」、「極限」、「完備性」。還有一種方式是利用「開閉區間、上下確界」。無論哪種都不簡潔，以後可能還有更直觀的方式。有興趣的讀者請自行研究柯西數列、戴德金分割。
Continuity / Continuous Function
目前的數學大廈，連續函數的輸入輸出預設是連續數字，不討論離散數字。難道離散數字就不能構造連續函數嗎？有興趣的讀者請自行研究discrete continuity。
目前的數學大廈，連續函數的定義，完全略過了連續數字的定義，而是直接利用「無窮小量」定義「極限」，再利用「極限」定義「連續函數」。有興趣的讀者請自行研究ε-δ definition of limit、ε-δ definition of continuity。
Function [ℂ]🚧
Complex Function
看來看去好像只有analytic => conformal和e𝑖π值得一提。
複數微積分 http://www.solitaryroad.com/c606.html
real function: differentiable != analytic != conformal != harmonic
complex function: differentiable = analytic = conformal != harmonic
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holomorphic (cauchy-riemann equation)
real function: analytic => smooth = infinite differentiable
complex function: holomorphic => smooth = infinite differentiable
定理：複數平面上，保角即和諧。【尚待確認】
複數平面的保角變換，追加兩個等價性質。
complex conformal: 1. Cauchy–Riemann equation: ‖fx‖ = ‖fy‖ and fx ⟂ fy 2. complex linear: df(z⋅X) = z⋅df(X) 3. complex differentiable
複數平面的和諧變換，沒有追加任何性質。
complex harmonic: 1. Laplace equation: fxx + fyy = 0 2. mean-value property
複可微，即是保角。和諧必須複可微，於是保角。
Liouville Theorem
函數值有界、處處無限複可微，必是常數函數。換句話說，當函數值沒有正負無限大，複平滑函數一定是常數函數。
原因是Cauchy–Riemann Equation限制了虛實兩軸的導數值多寡。實軸上下起伏，虛軸就會突破天際。
順帶一提，實數系統的sin(x)是有界，但是複數系統的sin(x)是無界：虛部趨近無限大。
Cauchy's Integral Theorem / Cauchy Integral Formula
處處無限複可微，環積分是零。
如果圈到一個洞（正負無限大），環積分是2π𝑖。
Polynomial [ℂ]🚧
Complex Polynomial
複數加法＝向量相加。複數乘法＝長度相乘角度相加。複數次方＝周旋繞行。複數多項式＝多個螺旋線疊加。
Gauss–Lucas Theorem
導數的根，必在原式的根的凸包內。
Residue [ℂ]🚧
holomorphic function: 處處複可微 全純 meromorphic function: has pole 亞純 automorphic function: preserving 輸入套用函數，輸出仍一樣 自守 mobius transform: (az+b)/(cz+d) 複保角保圓(位移>反演>鏡射>旋轉>位移) unimodular transformation: 約分使得ad-bc=1 么模 modular function: 輸入套用么模，輸出仍一樣 模 modular form: 套用么模等同於乘上分母次方(cz+d)^k 模形式
doubly periodic function: 複數雙週期 elliptic function: 兩週期相等 (=餘數系統的二元三次多項式?) 橢圓 Klein's modular function: 極座標表示法? 次方轉圈循環與加法直線循環? modularity theorem: elliptic function 與 modular form 一一對應
Elliptic Curve [ℂ]🚧
Fixed Point🚧
Fixed Point
recursive convolution可以製造函數版本的巴斯卡三角形。只取區間內部稱作B-spline。
矩陣轉置視作對偶變換，那麼對偶運算是加權總和對大量內積。
f(x)(b-x)/(b-a) + g(x)(x-a)/(b-a)(f∗g)(n) = sum { f(-(n+i))g(n+j) | i+j=n } = sum { f(n+i)g(-(n+j)) | i+j=n }
兩個乘性函數的dirichlet捲積還是乘性函數 自己跟自己捲積得到自己 有這種東西嗎... :I dirichlet捲積不動點不知道是啥玩意 dirichlet的捲積不動點可以是積性函數嗎
Delphi Method: fixed point iteration
Brouwer Fixed Point Theorem 自映射連續函數，一定有不動點 一維：函數曲線必定穿過y=x 高維圓球也一樣成立 Banach fixed-point theorem https://www.zhihu.com/topic/19757913/hot https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed-point_theorem 收縮函數(任兩點變換後距離總是變近)，不動點遞推法會收斂到不動點
Sperner's Lemma https://en.wikipedia.org/wiki/Sperner's_lemma http://images.slideplayer.com/26/8387334/slides/slide_23.jpg 01字串 開頭0結尾1 翻轉次數是奇數 三角形三頂點畫123 三邊插入一些點，各自只畫兩頂點的顏色 內部插入一些點，顏色隨便 三角剖分必有奇數個123三角形 證明 對偶圖 考慮邊12的對偶邊 外面連到裡面 總共有奇數條邊 奇數個點 (怪怪的) 面的度數只有0123 不可能是3 因此至少有一個面是度數1 此即123三角形