Coloring
Coloring
Vertex Coloring
Vertex Coloring
「點著色」。一張圖每個點塗上顏色，鄰點不同色。
Minimum Vertex Coloring / Chromatic Number
「最小點著色」是顏色數目最少的點著色，可能有許多種。「最小著色數」是最小點著色的顏色數目。NP-complete。
原圖的Minimum Vertex Coloring，等於補圖的Minimum Clique Cover。
k-Vertex Coloring
「k點著色」。使用k種顏色完成點著色。NP-complete。
特殊圖可推理出最小著色數的上限（保證可著色數的下限）。
G沒有點和邊：χ(G) = 0 G沒有邊：χ(G) ≤ 1 G為二分圖（Bipartite Graph）：χ(G) ≤ 2 G為平面圖（Planar Graph）：χ(G) ≤ 4（四色定理） G為完全圖（Complete Graph）：χ(G) = V G的每個點的連接邊數相同（k-regular）：χ(G) ≤ k + 1 G的每個點的連接邊數不同（non-regular），也就是一般的圖：χ(G) ≤ Δ(G) χ(G)：一張圖G的最小著色數。 Δ(G)：一張圖G的最大degree。
UVa 10661 10004 10052
Greedy Vertex Coloring / Grundy Chromatic Number
「貪心點著色」是採用貪心法而得到的點著色，可能有許多種。「Grundy著色數」是貪心點著色的顏色數目。不控制著色數。
最小點著色、k點著色，都是NP-complete問題，沒有快速的演算法。於是有些人轉為討論貪心點著色，設計快速的演算法。
演算法：無向圖點著色（Welsh–Powell Algorithm）
貪心點著色。圖上每個點，依照邊數由大到小排序，依序塗色。針對一個點，依序嘗試各種顏色，直到不牴觸已塗色的點。
每個點的邊數是0到V-1（不考慮多重的邊、不考慮自己連向自己的邊），排序可以採用Counting Sort，時間複雜度O(V)。
時間複雜度等於一次Graph Traversal的時間。圖的資料結構為Adjacency Matrix是O(V²)，圖的資料結構為Adjacency Lists是O(V+E)。
演算法：二分圖點著色
Graph Traversal可以判斷一張圖是否為二分圖。
順便判斷二著色。順便找出其中一種最小點著色。
演算法：平面圖點著色（Four Color Theorem）
一張真實地圖，每塊區域塗上顏色，相鄰區域必須是相異顏色。地圖可以化作平面圖：區域是點，相鄰區域是邊。
平面圖一定可以四著色（四色定理），P問題，有著O(N²)演算法。平面圖不一定可以三著色，NP-complete問題。
四色定理的證明方式，是把所有的圖精簡成幾種基本款式，逐一驗證是否能四著色，以電腦窮舉所有著色可能性。1976年基本款式共一千多種。1997年基本款式降到六百多種，同時發明了O(N²)四著色演算法（不保證著色數最小）：
有些數學家認為，電腦窮舉不是一個嚴謹的、具有數學意義的證明方式。因此這個問題現今仍有人在持續研究。
延伸閱讀：Four Color Theorem
下面提供一些個人想法，睡不著時加減想的，應該有誤：
甲、零個點、一個點、兩個點、三個點、四個點的圖，每個點分別塗一種顏色也不會超過四種顏色，所以應該不太需要證明了。
乙、點著色的問題，圖上的邊越多，限制就越多。完全圖（complete graph）的邊是最多的，所以只要完全圖可以解決，那麼只要從完全圖上刪掉幾條邊，其他邊比較少的圖也都可以解決了。因此，這裡我們考慮一下四個點的完全圖。
丙、由於點的編號順序是無所謂的，不失一般性，這裡我們規定前三點是最外圍的點，而之後的點皆會落在前三點所構成的範圍裡面。四個點一共將整個範圍切成四塊區域。（有一個特例是點剛好在邊上，留待最後討論。）
丁、第五點會落在這四塊區域的其中一塊。當然依照我們的順序規定，第五點是不可能落在第四塊區域的。若是第五點落在第一塊區域，那麼就將第五點塗上在他外邊對頂的那個點的顏色。其他區域也是類似的。
戊、決定第五點後，以Divide-and-Conquer Method的觀點來看，構成了一個子問題。其他的區域也還是可以再放入點。放好所有點之後，只要刪除了其中的邊，就可以做出任意一種平面圖了。
己、之前有個點在邊上的特例還沒解決。如果把點放在邊上面，可以歸類成三種情形：甲、放在最外圍的邊，乙、放在裡面的邊，但是邊的兩邊區域能容忍的顏色不相同，丙、放在裡面的邊，邊的兩邊能容忍的顏色相同。其中甲和丙都是合法操作，而乙則是不合法操作，可由別的方式來做出一樣的圖。
庚、最後再提供一種想法：被分割的區域們其實又形成了一個四色圖問題。
以上就是我想到的證明。理所當然是個偽證。謝謝收看。
Regular Graph
Regular Graph / Factor
無向圖當中，「Regular Graph」是每一點都連著一樣多的邊的圖；「Factor」是每一點都連著一樣多的邊的子圖。
簡而言之：每個點的邊數都一樣的圖、子圖。
我們可以在名稱開頭冠上數字、橫槓，明確呈現邊數。例如1-Regular Graph是每個點都連著一條邊的圖，2-Factor是每個點都連著兩條邊的子圖。
Complete Graph / Clique
無向圖當中，「完全圖Complete Graph」是所有兩點之間都有一條邊的圖；「團Clique」是所有兩點之間都有一條邊的子圖。
簡而言之：每個點的邊數都是V-1的圖、子圖。
Moore Graph
Regular Graph，指定了度數degree、直徑diameter。
度數degree：一個點的邊數。
直徑diameter：兩個點的最遠距離。
Critical Graph🚧
Symmetric Graph🚧
Symmetric Graph
Vertex-Transitive Graph / Edge-Transitive Graph
Orientation🚧
Realization🚧
Degree
無向圖，一個點的「度Degree」就是碰觸鄰邊的次數。沒有自環的情況下，「度Degree」就是鄰邊數量。
有向圖，進一步細分為「入度In-degree」與「出度Out-degree」，分別是指入邊數量、出邊數量。
「度」可以呈現一個點的聯繫強度。
Handshaking Lemma
每條邊有兩個端點，有始有終。
無向圖，整張圖的度數總和＝邊數兩倍。
有向圖，整張圖的入度總和＝出度總和＝邊數。
UVa 12035
Degree Sequence
Graph Realization
無向圖：給定各點degree求原圖。
有向圖：給定各點in-degree與out-degree求原圖。
無向圖演算法（Erdős–Gallai Theorem）
小遊戲：http://armorgames.com/play/5900/king-of-bridges
小遊戲：http://www.agame.com/game/connectors.html
求得其中一種可能性，時間複雜度O(V²)。
UVa 10720 11414
無向圖演算法（Havel–Hakimi Algorithm）
度數按照大到小排序
d₁ d₂ d₃ ... is graphical
iff d₂-1 d₃-1 ... dd₁+1-1 dd₁+2 dd₁+3 dd₁+4 ... is graphical
|-------- d₁ -------|
求得其中一種可能性，時間複雜度O(V²)。
有向圖演算法（Fulkerson–Chen–Anstee Theorem）
有向圖演算法（Kleitman–Wang Algorithm）
求得其中一種可能性，時間複雜度O(ElogV)。
Graph Polynomial🚧
Graph Polynomial
Handbook of the Tutte Polynomial and Related Topics https://www.routledge.com/p/book/9781482240627 Fengming Dong https://scholar.google.com/citations?user=COe1tYUAAAAJ
Alon-Tarsi Orientation
Combinatorial Nullstellensatz
Combinatorial Nullstellensatz: With Applications to Graph Colouring https://www.routledge.com/p/book/9780367686949 https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=46102 Tsai-Lien Wong https://math.nsysu.edu.tw/var/file/183/1183/img/44/rpttlwongwww_20210408.pdf