Binary Tree

「二元樹」是計算機科學最重要的概念，甚至可以說：二元樹開創了計算機科學。

像是排序資料結構Binary Search Tree、極值資料結構Heap、資料壓縮Huffman Tree、3D繪圖BSP Tree，這一大堆稀奇古怪的術語，通通都是二元樹。二元樹的應用相當廣泛，是資工系學生必學的基礎概念。

「二元樹」與「樹」，儘管名稱相近，但是概念不相近，至於用途更是天差地遠，兩者可以分別獨立學習。二元樹：資料結構課程的二元搜尋樹章節，會順便引出二元樹的概念；樹：演算法課程的圖論章節，一開始就會介紹樹的定義。

言歸正傳。「二元樹」就是分兩岔的樹，每個節點可以有左小孩和右小孩，每個節點可以有零個、一個、兩個小孩。

Binary Tree的形容詞

full binary tree：除了樹葉以外，每個節點都有兩個小孩。

complete binary tree：各層節點全滿，除了最後一層，最後一層節點全部靠左。

perfect binary tree：各層節點全滿。同時也是full binary tree和complete binary tree。

Binary Tree資料結構

第一種方式：建立節點，以指標串接節點。

第二種方式：二進位數字一一對應到二元樹的節點。

建立一個陣列，以陣列索引值得到節點：樹根的索引值是一，索引值的兩倍是左小孩，索引值的兩倍再加一是右小孩，索引值除以二是父親。

優點是程式碼簡潔、運行速度快。缺點是浪費記憶體空間，有很多閒置空格。另一個缺點是樹的高度受限制。1024 = 2¹⁰格的陣列，樹的高度只有10，不能更高了。

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Binary Tree Traversal

二元樹的遍歷順序，理論上總共四種──但是事實上只有DFS與BFS兩種，只不過更動了節點的輸出順序。

注意樹根的位置，就能輕鬆解讀這四種序。

Preorder Traversal 前序遍歷
理論上的遍歷順序是：根、左子樹、右子樹。根排在前面。
即是Depth-first Search。

Inorder Traversal 中序遍歷
理論上的遍歷順序是：左子樹、根、右子樹。根排在中間。
實際上是採用Depth-first Search，只不過更動了節點的輸出順序。

Postorder Traversal 後序遍歷
理論上的遍歷順序是：左子樹、右子樹、根。根排在後面。
實際上是採用Depth-first Search，只不過更動了節點的輸出順序。

Level-order Traversal 層序遍歷
即是Breadth-first Search。

struct Node
{
	Node* left;
	Node* right;
	int data;
};

Node* root = ...;	// 假設已經建立二元樹了

// preorder traversal
void traversal(Node* p)
{
	if (!p) return;
	cout << p->data;	// 先輸出樹根
	traversal(p->left);	// 次輸出左子樹
	traversal(p->right);// 後輸出右子樹
}

// inorder traversal
void traversal(Node* p)
{
	if (!p) return;
	traversal(p->left);
	cout << p->data;	// 挪到中間，改變輸出順序。
	traversal(p->right);
}

// postorder traversal
void traversal(Node* p)
{
	if (!p) return;
	traversal(p->left);
	traversal(p->right);
	cout << p->data;	// 挪到後面，改變輸出順序。
}

// level-order traversal
void traversal(Node* root)
{
	queue<Node*> q;
	q.push(root);
	while (!q.empty())
	{
		Node* p = q.front(); q.pop();
		cout << p->data;	// 這行往下挪，結果仍相同。
		if (p->left)  q.push(p->left);
		if (p->right) q.push(p->right);
	}
}

// preorder traversal
void traversal(Node* root)
{
	stack<Node*> s;
	s.push(root);
	while (!s.empty())
	{
		Node* p = s.front(); s.pop();
		cout << p->data;	// 這行往下挪，結果仍相同。
		if (p->right) s.push(p->right);
		if (p->left)  s.push(p->left);
		// 堆疊先進後出、顛倒順序，故先放右小孩、再放左小孩。
	}
}

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Binary Tree Reconstruction

二元樹能得到前序、中序、後序、層序。現在反過來，前序、中序、後序、層序能得到二元樹嗎？

只有一種序，無法重建二元樹，有很多可能性。