函數就像是一個「機器」，它能夠將集合A裡面的每一個元素「唯一地」對應到集合B裡的一個元素。每給定一個集合A（定義域）內的元素，就能對應到集合B（對應域）內的元素，而且只能對應到一個集合B內的元素。所以函數只有可能是一對一函數，多對一函數，而不會是一對多。 通常函數用英文字f稱之，記為f：A→B。
假設A={1,2,3,4}，B={1,2,3}，f為A對應之B的函數，對應關係如下：
1→3，記為f(1)=3 ； 2→1，記為f(2)=1 ； 3→3，記為f(3)=3 ； 4→2，記為f(4)=2
在定義域中的任一x值畫一垂直於x軸的直線，必和函數的圖形只交於一點。若相交於兩點以上則違反了函數定義中僅有的對應規則，則不會是一個函數的圖形。
動動腦：
以下哪一個是函數？
xy=1是函數圖形 (y=1/x)(反白看解答)
多項式是由變數以及數字（一般是實數或複數）經乘法及加法構法而成，屬於整式的代數式。我們都知道生活中不論物理，工程，數學，商業...等等許多領域，都是一種因為什麼而觸發什麼結果。這種因果關係，就是函數的一項重要特徵。
多項式並非描述函數的唯一方法。例如: 三角函數：y=sinx，對數：y=logx 等等.....這些函數又叫做" 非線性函數"
這些函數出現在許多電機工程、物理科學... 等等，往往描述起來過於複雜，不像多項式擁有高度的代數性質。而所有自然界的數學中，代數式 是最適合"人類手工計算的。我們可以把所有連續函數，都可以經由泰勒展開式，來把原先非線性且複雜的函數，近似成一多項式。
例如：經過泰勒展開
化簡成多項式後，又可以經過分析數學法。有時還可以把這無窮多項的多項式化簡成簡易幾項，描述起來可說是非常容易。
我們還可以注意到，再微積分中，最好積分的是單純的自然指數函數，但往往這種函數伴隨其他就會非常難積分，甚至積不出來，非得用電腦程式去跑數值分析，或用很多項的近似演算法去逼近，而這種能力是人類達不到的，甚至許多函數的積分還是電腦運算不出來的。但多項式卻沒這問題，無論是次數多大的多項式，積分完全不需用到任何特殊方法，可堪稱代數性相當大。