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生活中的拋物線

線上講義

做做看

1.取一長度為2a的線段，將此線段的兩端點同時用釘子固定在平面上之點O，然後用一隻筆將線段拉直，再將筆尖在平面上旋轉一圈，則筆尖所畫出的軌跡為何？

2.若改為將線段兩端點都固定在平面上相異兩點F₁與F₂（），然後用一支筆將線段拉直，再將筆尖在平面上順勢旋轉一圈，則筆尖畫出的軌跡為何？

答案： 1.圓 2.橢圓

定義

平面上兩相異定點F₁與F₂，另有動點P，滿足PF₁＋PF₂為定值，（此值要大於）則所有點P所形成的圖形稱為橢圓。

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名詞解釋

名詞解釋
1.兩定點F₁、F₂稱為橢圓的焦點
2.

稱為橢圓的焦距
3.橢圓上異點兩點連接線段稱為弦
4.通過橢圓兩焦點的弦稱為長軸（），垂直平分長軸的弦稱為短軸（）
5.長軸與短軸的交點稱為中心，長軸與短軸的四個端點稱為頂點
6.通過焦點的弦稱為焦弦（），與長軸垂直的弦稱為正焦弦（）
7.橢圓上任一點P到焦點的距離稱為焦半徑
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橢圓的標準式

a > 0，b > 0，c > 0且

方程式	圖形	中心	焦距	焦點
		O(h, k)	2c	( h±c , k )
		O(h, k)	2c	( h , k±c )

方程式	長軸方程式	長軸長	長軸頂點
	y＝k	2a	( h±a , k )
	x＝h	2a	( h , k±a )

方程式	短軸方程式	短軸長	短軸頂點
	x＝h	2b	( h , k±b )
	y＝k	2b	( h±b , k )

方程式	正焦弦長	焦半徑【已知】	參數式

橢圓的性質

◆ 橢圓上任一點P到二焦點之距離為＝長軸長

◆ 參數表示法：橢圓上之動點可設為

◆ 共焦點：與共焦點之橢圓可設：

◆  焦半徑之長：
    (a)，F₁(c, 0)，F₂(-c, 0)，為上之點，則，
    (b)，F₁(0, c)，F₂(0, -c)，為上之點，則，

◆ 橢圓面積：之面積為

◆ 內接矩形：之內接矩形之最大面積為，內接矩形之最大周長為，之內接正方形面積為

◆ 外切矩形：之外切矩形之最大面積為，最小面積為

橢圓的切線

(1)是橢圓上一點，則過P之切線方程式為：

(2)已知切線斜率為 m，則橢圓之切線方程式：

小活動

1.在圓內取異於圓心的一點 F，並在圓上任取一動點 P。將 P 點對 F 點對摺，產生一條摺線；移動圓上動點 P 並反覆地作摺線，並觀察軌跡。
2.

A.取一張白紙，在紙上取S、T兩點，使S與T相聚10單位

B.以S為圓心，分別畫出半徑為1單位，2單位，3單位…等同心圓，這些同心圓分別依半徑的大小，分別稱為S₁ 圓，S₂ 圓，S₃ 圓，…等。

C.再以T為圓心，分別畫出半徑為1單位，2單位，3單位…等同心圓，這些同心圓分別依半徑的大小，分別稱為T₁ 圓，T₂ 圓，T₃ 圓，…等。

D.在紙上找到S₁圓與T₁₁ 圓的交點，並標出此點B，其次標出S₂圓與T₁₀ 圓的交點A₁ 與B₁，依序標出S₃圓與T₉ 圓的交點A₂ 與B₂,…,S₁₀圓與T₂ 圓的交點A₉ 與B₉，S₁₁圓與T₁ 圓的交點A。

E.以平滑曲線，依序連接上述所標出的交點，觀察為何種圖形，並解釋之。

雙曲線的定義

平面上動點P到兩定點F₁、F₂之距離差的絕對值為一[定值]。

(2a<

)
此種P點的軌跡稱為雙曲線。
兩定點F₁、F₂稱為雙曲線的焦點。

的中點稱為雙曲線的中心。

雙曲線的名詞介紹

雙曲線的名詞介紹
(1)焦點(focus)：F₁、F₂。
(2)中心(center)：兩焦點連線之中點，如O 點。
(3)頂點(vertex)：過兩焦點連線與雙曲線之交點，A₁、A₂ 二點。
(4)焦半徑(focal radius)：

與

。
(5)貫軸(transverse axis)：過兩頂點的連線。
(6)貫軸長：兩頂點間距離

。
(7)共軛軸(conjugate axis)：過中心與貫軸垂直之直線。
(8)共軛軸長：

。
(9)弦(chord)：雙曲線上任兩點之連線段。
(10)正焦弦(latus rectum)：過焦點且垂直於貫軸的弦。

雙曲線的基本性質

(1)雙曲線

，其中

，c＞a＞b＞0。
(2)雙曲線上距離中心最近的點為頂點A₁、A₂ 二點。
(3)設p(x,y)是雙曲線上任一點，則x >= a 或x <= -a。
(4)貫軸長＝2a；共軛軸長＝2b。
(5)貫軸與共軛軸互相垂直平分於中心。
(6)正焦弦長＝

(7)雙曲線對貫軸對稱，也對共軛軸對稱。
註：如果貫軸長＝共軛軸長，意即 a＝b，則雙曲線稱為「等軸雙曲線」。

雙曲線的標準式

設 c＞a＞0，兩焦點在F₁(c，0)，F₂(-c，0)，貫軸長為 2a，共軛軸長為 2b，且

,a＞b＞0。
則稱

為雙曲線的標準式。
說明：
設平面上一雙曲線，以原點為中心，貫軸長為2a，貫軸所在直線為 x 軸，兩焦點在F₁(c，0)，F₂(-c，0)，c＞a＞0，P(x,y)為雙曲線上任一點，則

，其中

＝

，

＝

，考慮

－

＝± 2a，得之。
註：中心平移向量(h，k)後，仍為雙曲線，其方程式為

雙曲線的一般式

設 a、b 為正實數，不論是

(水平貫軸)，或

(鉛直貫軸) 等都可化簡為

，其中A＞0，C＜0；
反之，

可利用配方法判斷其圖形是否為雙曲線。

漸進線與共軛雙曲線

1.漸進線
方程式

，可以分解為

其圖形為兩相交直線 L1：

，L2：

，則稱此兩條直線為雙曲線的兩條漸近線。
註：漸近線的性質：
(1)雙曲線的任一漸近線必不與雙曲線相交。
(2)雙曲線的兩漸近線交點為中心。
(3)雙曲線的兩漸近線的分角線必互相垂直，其中一條為貫軸，另一條為共軛軸。
(4)等軸雙曲線的兩漸近線必互相垂直；反之，兩漸近線必互相垂直的雙曲線為等軸雙曲線。
(5)任一焦點與漸近線之距離為

。
(6)雙曲線的任意點到兩漸近線的距離乘積恆為定值

2.共軛雙曲線
具有共同「中心」之兩雙曲線，若其中一者之貫軸及共軛軸分別為另一者的共軛軸及貫軸，則此二雙曲線互稱為「共軛雙曲線(conjugate hyperbola)」。

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