一元二次方程式

二次函數定義

我們經常討論到許多平面圖形的面積，其中最簡單的就是正方形的面積。若假設正方形的邊長為x，正方形的面積為y，則正方形面積和邊長的關係是y＝x²。像y＝x²這樣的關係式，我們只要知道x的值，就能知道y的值。

例如：若x＝10則y＝10²＝100；若x＝－10，則y＝（－10）²＝100。由於y＝x² 等號右邊是一個二次多項式，像這樣的函數稱為二次函數。y ＝ x²－ 1 ，y＝2x²－x＋1，y＝－x²＋7x－3等都是二次函數的例子。一般來講，y是x的二次函數可表示成

y＝ax²＋bx＋c

其中a、b、c都是常數，而且a不等於0。

二次函數圖形

二次函數的圖形怎麼畫呢？讓我們複習一下第二冊中畫y＝x²圖形的步驟。首先我們先作一個表，如表1

表1

將數對（－3, 9）、（－2, 4）、（－1, 1）、...、（3, 9）標示在坐標平面上，並將這些點依序用直線（紅色）連起來，得到圖1的折線圖。

圖1

當然圖1並不是y＝x²真正的圖形，而只是一個近似的圖形。如果要更精確的把圖描出，可以在圖1裡加入更多的數對，例如代入等，可以得到比圖1更接近y＝x²的圖形，如圖2。

圖2

雖然圖2仍然是y ＝ x²的近似圖，但是已經非常接近y ＝ x²的真正圖形（圖3）。

圖3

要很準確的畫出函數圖形並不容易，常常要藉助電腦軟體的輔助。在課堂裏，我們通常只需要畫出近似圖形，幫助我們理解函數就可以。但就算只畫近似圖，前述代值描圖的步驟還是很繁瑣。因此，我們需要多學習一些函數的性質，讓我們只要代入少數的點，就能畫出夠好的函數近似圖形。

二次函數性質

首先，由圖3，我們注意到，圖形在y 軸右側的點，如（3, 9）、（2,4）、（1, 1），它們對y軸的對稱點（－3, 9）、（－2, 4）、（－1, 1）都落在圖形上。

這個觀察暗示y＝x²的圖形是對稱於y軸的線對稱圖形。事實上，對任意的正數k，

當x＝k時，y＝k²

當x＝－k時，y＝（－k）²＝（－k）．（－k）＝k²

所以對任何正數k，（k, k²）與它對y軸的對稱點（－k, k²）都在y＝x²的圖形上。也就是說，y＝x²的圖形的確對y軸對稱。

例1：

例2：

由這些圖形可以觀察到，它們不但都有對稱軸（y軸），而且圖形的開口都朝上。另外，這些圖形都有一個最低點，而且最低點是函數圖形與對稱軸的交點。

例3：

例4：

我們注意到，例3 與例4的圖形和前面的圖形不同，它們的開口朝下，圖形有最高點，而最高點是圖形與對稱軸的交點。兩者主要的差別在於y ＝ ax²中，a是正數還是負數。

例5：

由例5可知，y＝－ x²＋4的圖形仍是一個對稱於y軸，向下開口的圖形，但其最高點是（0, 4），最高點仍然是圖形本身和對稱軸的交點。對於二次函數y＝ax²＋c，a≠0，我們總結其圖形的性質如下：
1 無論a是正是負，其圖形都是線對稱圖形，對稱軸為y軸。
2 若a＞0，其圖形開口向上，最低點為（0, c）。
3 若a＜0，其圖形開口向下，最高點為（0, c）。
4 無論是最高點或最低點，都是對稱軸與圖形本身的交點。

拋物線

當我們打籃球投籃時，籃球投出後的行進路徑（或稱軌跡）不是一條直線，而是如圖4的曲線。圖4是將原圖縮小後，繪在有方格紙背景的坐標平面上。

圖4

圖4的曲線看起來有些眼熟，事實上，若將例5的圖形移到圖4 作比較會發現這兩個圖形完全一樣。因此我們可以用y ＝－x²＋ 4 來描述圖4中籃球投出後的軌跡。基於這個理由，二次函數的圖形（不論開口向上或向下）通常稱為拋物線。

簡介

一般的拋物線並不一定是用y＝ax²＋c來表示，例如我們可以將圖4的方格紙看作籃球圖片的背景，想像打籃球的畫面固定不動，而把作為背景的方格紙向左移動2單位，如圖6。

圖6

這麼一來，雖然行進的路徑還是拋物線，但其最高點位置變成（2, 4），對稱軸也變成鉛直線x＝2。雖然圖6拋物線的最高點不在y軸上，對稱軸也不是y軸。但是它仍然有對稱軸，並且通過其最高點。

事實上，拋物線可用一般二次函數y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的圖形來表示，所以拋物線的特殊性質如對稱軸、最高點或最低點，也是二次函數圖形的特殊性質。底下將利用這些性質，來描繪一般二次函數的圖形。

對稱軸

底下將先討論y＝a（x－h）² ＋k的圖形，首先我們要討論這個圖形的對稱軸，但在這此之前，我們要先理解如何計算對稱於鉛直線的對稱點坐標。

例1：

例2：

由例2的公式，我們可以很快的算出對稱於x＝2的對稱點坐標，例如求A（6, 3）對x＝2的對稱點時，可先將6寫成2＋4，由此得到其對稱點A'的坐標為（2－4, 3）即（－2, 3）。

例3：

由上面的例題可以知道，x＝h是二次函數y＝a（x－h）²＋k圖形的對稱軸。有了對稱軸，就可以輕鬆描繪二次函數的圖形了。

例4：

例5：

拿y ＝－（x － 2）2 ＋ 4 的圖形和圖6 比較，會發現這兩個圖形是同一個圖形。

因此圖6的拋物線可以用y＝－（x －2）²＋4來描述。

同學們或許會覺得很奇怪，明明是同一條拋物線，為什麼有兩個不同的函數在描述它，在圖4時，函數是y＝－ x²＋4；而在圖6時，函數是y＝－（x－2））2＋4。經過上面的解說，同學們應該已經發現這是因為圖4和圖6背景的坐標平面不同，圖6的坐標平面是圖4的坐標平面向左移動2個單位得到的，這和x² 與（x － 2））2 的不同有關。這種坐標平面的移動，將留到高中課程中再討論。

最大值和最小值