The four fundamental operations of aritchmetic

四則運算　（多項式）

多項式的四則運算，基本上就是將同類項合併

  1. 多項式的加法與減法：

    2. 假設ｆ(ｘ) = an x^n + ... + a1x +a0

    　　ｇ(ｘ) = bm x^m + ... + b1x +b0 ，n > m or n = m

    則：

    (1) ｆ(ｘ) + ｇ(ｘ) = ( an + bn ) x^n + ... + ( a1 + b1 ) x +( a0 + b0 )

    (2) ｆ(ｘ) + ｇ(ｘ) = ( an - bn ) x^n + ... + ( a1 - b1 ) x +( a0 - b0 )

    例：

    (1) ( 3x + 8 ) + ( 7x - 5 ) = 10x + 3

    (2) ( 3x + 2y - 4 ) + ( x - 5y + 2 ) = 4x - 3y - 2

    (3) ( 3x + 8 ) - ( 7x - 5 ) = -4x + 13

    (4) ( 3x + 2y - 4 ) - ( x - 5y + 2 ) = 2x - 8y - 6


  2. 多項式的乘法：

    3. 假設ｆ(ｘ) = an x^n + ... + a1x +a0

    　　ｇ(ｘ) = bm x^m + ... + b1x +b0 ，n > m or n = m

    則：

    (1) ｆ(ｘ) x ｇ(ｘ) = ( an bm ) x^(n+m) + ... + ( a1 b0 + a0 b1 ) x +( a0 b0 )

    例：

    (1) ( 3x + 8 )( 7x - 5 ) = 21x^2 + 41x - 40

    (2) ( 3x + 2y - 4 )( x - 5y + 2 ) = 3x^2 -13xy -10y^2 +2x +24y -8


  3. 多項式的除法：

    4. 假設ｆ(ｘ) = an x^n + ... + a1x +a0

    　　ｇ(ｘ) = bm x^m + ... + b1x +b0 ，n > m or n = m

    則：

    (1) ｆ(ｘ) / ｇ(ｘ) = ( an / bm ) x^(n-m) + ...

    例：

    (1) ( 2x^3 - 3x^2 + 7x +5 ) / ( x^2 - x - 1 ) = 2x -1 ... ... 8x + 4

    其中，2x -1 為商式，8x + 4 為餘式

    (2) ( 7x^2 + 8x -11 ) / ( x - 1 ) = 7x + 15 ... ... 4

    其中，7x + 15 為商式，4 為餘式



Property

假設ｆ(ｘ) = an x^n + ... + a1x +a0

  1. 求各項係數和：

    2. ｆ( 1 ) = an + ... + a1+ a0


  2. 求常數項：

    3. ｆ( 0 ) = a0


  3. 求偶次項係數和：

    4. ( ｆ( 1 ) +ｆ( -1 ) ) / 2 = a0 + a2 + a4 + ...


  4. 求奇次項係數和：

    5. ( ｆ( 1 ) -ｆ( -1 ) ) / 2 = a1 + a3 + a5 + ...




《Aritchmetic of 多項式》判斷練習