指數的由來

        指數本質上是一種符號，是為了簡化表示很大和很小的數而來，而對數是一種計算方法，它們發展的歷史有很大的差異。古代乘方運算起源很早，但指數概念的形成卻很晚，希臘數學家阿基米德( Archimedes，287 ~ 212B.C. )曾估計填滿宇宙需要的沙粒不超過10 63粒，而希臘數學家阿波羅尼斯( Appollonius of Perga，262 ~ 190B.C. )也引進大數的表示法，我們可以說，在此時已有指數記號的形式和概念了。西元三世紀左右，狄番多( Diophantus of Alexandria )也發展出指數的倒數概念。

        到了十四世紀，歐洲的數學家奧雷姆( Nicole Oresme，1323 ~ 1382 )在指數方面的研究已有有理指數和實數指數的概念，他並引用指數律中的加法律和乘法律來處理幾何和物理的問題。十五、十六世紀之際，德國數學家史迪飛( Michael Stiefel，1487 ~ 1567 )與法國數學家柴凱特( Nicolas Chuquet，1445 ~ 1500 )引進負整數指數的概念。此外，英國數學家哈立爾特( Thomas Harriot，1560 ~ 1620 )也將一個數的正整數乘冪表達出來了，如：5個x自乘表成x · x · x · x · x。而荷蘭數學家史提芬( Simon Stevin，1548 ~ 1620 )與吉拉爾( Albert Girard，1592 ~ 1632 )更進一步研究了分數指數，且對整數指數律做了相當系統性的討論。至於現代數學中，指數符號是由法國數學家笛卡兒( René Descartes，1596 ~ 1650 )在1637年的著作《幾何學》中創立了x 3 , x 4等，但他以xx表示x的二次方。

        1655年，英國的沃利斯( John Wallis，1616 ~ 1703 )提出負指數的概念和符號，牛頓再將正整數指數推廣到有理數指數。19世紀末，無理數概念逐漸明確後，實數的理論才完全建立，無理數指數再透過有理數數列無限逼近來定義，就這樣把指數的概念推廣到實數。

        1748年，瑞士數學家尤拉( L. Euler，1707 ~ 1783 )給出了尤拉公式：e ix = cos x + isin x，對於任意的複數z = x + yi ( x , y為實數)，定義

                                                 e z = e x + yi = e x ( cos y + isin y )

而對正實數a，透過等式a = e ln a ( ln表示以e為底數的對數)再定義a z = e zln a，這樣就把指數冪再推廣到複數。指數概念完全成熟比對數還晚，18世紀人們才理解對數函數與指數函數的“反函數”關係。