?
我們先考慮>
>
的情形:
作,
,然後在
邊上任取一點
,再自
點作
邊的垂線,設垂足為
。
因,所以
。
另我們自點作
的垂線,設垂足為
,再自
點作
的垂線,設垂足為
,則
。
因,故我們來看看
是否也能像
一樣可以用
與
,
的三角函數值來表示。
自點作
的垂線,設垂足為
,則因四邊形
為一矩形,所以
,又
(同角的餘角相等),
故,
因此由之得
,
,
故
?
對於任意角與
,
?
因對於任意角,恆有
,所以我們知道對於任意角
與
,
?
又因對於任意角,
,
,
所以由可得
?
由正弦、餘弦函數的和角公式,可導出正切函數的和角公式:
和角公式
由和角公式,我們知道:對於任意角與
,
。
因此,當=
時,我們就有
。由於
,
所以。同樣利用正弦、正切函數的和角公式,可進一步推得:
二倍角公式
,
知道的值,利用二倍角公式可求得
,
以及
的值。
知道的值,利用二倍角公式亦可求得
,
以及
的值。
由於=
,所以
,因此
。
另一方面,,所以
,因此
。
由,
,當
≠
(
為任意奇數時),
綜合上述討論:
半角公式
(
取法視
)
讓我們回顧一下所介紹的和角公式,根據正弦、餘弦函數的和角公式與差角公式:對於任意角與
,
1.
2.
3.
4.
由1.+2.得
,
由1.-2.得
,
由3.+4.得
,
由3.-4.得
,
故有:
積化和差公式
為了便於由兩正弦函數(或兩餘弦函數)的積求其和或差,我們在上述積化和差的公式中,令,
,
則,
。那麼前述積化和差的公式就可寫成:
和差化積公式