三角形面積

任意畫一三角形，並自其中一頂點作對邊的垂線，設垂足為點。（注意：當時，點與點重合，=。）如下圖所示：

為方便起見，我們仍以，和分別表示，和的對邊長，則。

因為的面積=，所以就有的面積=，同理可得，

把這些結果綜合起來，就有三角形面積公式：

由三角形面積公式，我們可以推得正弦定理：

由正弦定理知=，這個比值到底是多少呢？  

                     

我們先做出的外接圓。由於圓內等弧所對的圓周角恆相等，我們讓三個頂點之一，

例如點，在圓周上移動，當點移動到點，通過圓心時，=圓的直徑，弧長恰為半圓，故=，

因此就有，但在中，，而，

因此就有。

固正弦定理可進一步寫成：

 餘弦定理

餘弦定理中的可以用下面方法導得：

          

（1）當為銳角時，自A點作的垂線，設垂足為點，則，    ，   

          故，在直角三角形中，我們有，

         所以= 

（2）當為鈍角時，同樣自點作的垂線，設垂足為點，

         則，，故，

        在直角三角形中，我們有，所=

（3）當為直角，由畢氏定理知，但因，所以      也成立。

         同理可證得：，