標準差─樣本標準差

1.定義：

 

EX：給予下列9個數值資料10，36，8，15，6，20，4，9，18求

 （1）算術平均數=         。   （2）中位數=         。

 （3）四分位差=         。     （4）標準差=         。

　

A：（1）算術平均數= =14

      （2）將九個數值資料依小到大順序排列如下：

                4，6，8，9，10，15，18，20，36

                所以Me=10

 

      （3）Q1= (6+8)=7
                Q3= (18+20)=19
                Q.D.=19-7=12

   

 

     （4）S=
                 =
                 = 9.86

　

 

EX：將 等n個數的算術平均數記為an，其標準差記為bn，則 =         ， =         。

　

A：an=
      所以

，所以標準差S=
                                                                                             =
                                                                                             =
       所以 = = =

 

2.已分組資料：

已知分組資料分成k組，設各組內之次數密集於組中點或均勻散佈在組距內，則此n個資料之標準差：

說明：同母體的證法

 

EX：右圖是某班50位同學第二次月考數學成績的已下累積分配曲線圖（不含上限）

   試做：（1）次數分配表（ 作圖）

並求：（2）算術平均數

       （3）中位數Me

       （4）四分位差Q.D.

       （5）標準差S

A：（1）

組別

以下累積次數

次數fi

組中點xi

xi-65

di=

fidi

di2

fidi2

30~40

4

4

35

-30

-3

-12

9

36

40~50

10

6

45

-20

-2

-12

4

24

50~60

18

8

55

-10

-1

-8

1

8

60~70

32

14

65

0

0

0

0

0

70~80

42

10

75

10

1

10

1

10

80~90

48

6

85

20

2

12

4

24

90~100

50

2

95

30

3

6

9

18

總計

 

50

 

 

 

-4

28

120

（2）=64.2

（3）Me=60+=65

（4）Q1=50+=50+3.125=53.125

     Q3=70+=70+=75.5

     所以Q.D.=(75.5-53.125)=22.375

（5）S=10

 

EX：下表是50人的國文成績次數分配表

組別

20~30

30~40

40~50

50~60

60~70

70~80

80~90

人數

3

6

10

16

10

3

2

試求（1）中位數=        。          （2）四分位差=        。

        （3）算術平均數=        。  （4）標準差=         。

A：（1）

組別

人數fi

以下累積次數

20~30

3

3

30~40

6

9

40~50

10

19

50~60

16

35

60~70

10

45

70~80

3

48

80~90

2

50

                     19<

                     所以Me=50+==53.75

（2）9<12.5<19

               所以Q1=40+=43.5，35<=37.5<45

               所以Q3=60+=62.5，所以Q.D.=（Q3-Q1）=（62.5-43.5）=19

（3）取A=55，n=50，h=10，d1=

         55+=53.2

（4）1014.24

 

EX：

 

平均成績

標準差

人數

甲班

70

10

20

乙班

65

8

30

求（1）全部50人的平均成績為         。

    （2）全部50人的標準差為         。

A：（1）

      （2）S=

               所以S2=

              

               所以

               所以甲班同學每個人的成績的平方和=19(102)+20×702=99900

               所以乙班同學每個人的成績的平方和=29(82)+30×652=128606

               故全部50人的標準差=

                                  =

 

3.樣本的混合標準差：

兩組資料：

推廣至k組：

說明：同母體的證法

 

EX：以50分計算時，全班平均36分，標準差2分，今決定每人先加三分，再將分數加倍，若全班新的平均分數為a分，新的標準差為b分，求數對（a，b）為何。

A：a=(36+3)(2)=78，b=(2)(2)=4

      所以(a，b)=(78，4)

 

EX：十個數據資料1991，1992，1993，…，1999，2000的標準差為S，則

S2=       。

A：將10個資料皆減去1995得-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5

        平方和=85，平均數=0.5

        所以S=，所以S2=9.1

 

4.標準差特性與平均數比較：

平均數受加減(平移)、倍數影響

標準差僅受倍數影響，不受加減(平移)影響

 

5.常態分配：

 

在上圖的常態分配曲線中，則

區間內，約有68%的資料

區間內，約有95%的資料

區間內，約有99.7%的資料

 

EX：某班50位同學，數學月考成績，算術平均數=70，標準差S=5分，若成績為常態分配，則

   （1）成績在65~75間約有      人。

   （2）成績在70~80間約有      人。

A：（1）70+5=75；70-5=65，所以50×0.68=34（人）…在65~75間

（2）70+5+5=80，所以50×0.95×=23.7524（人）…在70~80間