1.   n次方程式到底有沒有解

  一個實係數的n次方程式，不一定有實數解。例如x²+1=0就沒有實數解，
  為此我們引進了複數，在複數系中，x²+1=0有兩個複數根i及-i。但就一般
  的n次方程式，在複數系中，是不是一定有根呢？這個存在性的問題，在
  西元1799年時，德國數學家高斯(Gauss 1777-1855)在他的博士論文中證明
  了在複數系中，n次方程式一定有根，它所討論的方程式不限於實係數而是
  複數的係數，但實數亦可看作是複數，所以這個結果亦可用到實係數的n
  次方程式。我們將高斯的結果寫成下列的定理：
  代數基本定理：每一個n次方程式，只要n³1，就至少有一個複數根。
  有了代數基本定理之後，我們不用擔心是否要為了找根而要一直擴展數系，
  因為它告訴我們，一個複係數的n次方程式，在複數系中，一定有複數根。
  所以我們只要將數系擴展到複數系，就解方程式而言就足夠了。

2.   一個方程式到底有幾個解

  一次方程式恰有一個根，二次方程式如果重根算是兩個，那麼二次方程式就恰有兩個根。
  一般而言，如果計算重根的個數，(重根算二個、三重根算三個，…)那麼根據代數基本定理以及因式定理，我們

  可推得以下定理：n次方程式就恰有n個根。

3.   解的性質
實係數n次方程式虛根成對：

 定理一：若f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀為一實係數n次多項式，z為一個複數，則         。

    定理二：設f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0為一實係數n次方程式，
      若z為f(x)=0的一根，則共軛虛數 亦為f(x)=0的一根。

      一般來說

       (a)若f(x)=0為一個奇數次的實係數方程式，一定有實根。
       (b)若f(x)=0為一個偶數次的實係數方程式，一定有偶數個實根。(可能沒有實根)

4.    解根的方法

          整係數的n次方程式找有理根：
(a)一次因式檢驗定理：
  設f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀為一個整係數n次多項式，若整係數一次式
  ax-b是f(x)的因式，且a,b互質，則a|a_n且b|a₀。
(b)有理根檢驗定理：
  設f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0為一個整係數n次方程式，若      為f(x)=0之一有理根，a,b為整數且互

  質，則a|a_n且b|a₀。

5.   無理根:

利用整係數一次因式檢驗定理，可解決有理根的問題，但是就一般的方程式而言，要找出解，尤其是高次的方程式，通常不是一件容易的事情。
例如：f(x)=x⁵+3x²-7x+2=0，由於它是整係數的5次多項式，所以一定有實根，先考慮是否有理根，根據牛頓定理，x=±1，±2逐一代入多項函數f(x)中，去看f(x)值的變化：

可以看出，f(x)=0並無有理根，因為它一定有實根，所以它的實根必為無理根。通常我們無法直接求出f(x)=0無理根的形式，只能求得它的近似值。
推廣這個概念可得以下的定理：
  勘根定理：
    設f(x)=0為實係數n次多項方程式，a,b是兩個實數，
    若f(a)×f(b)<0，則在a,b之間至少有一個f(x)=0的實根。

注意：從觀察圖形可知，當f(a)×f(b)<0時，則a,b之間的根必有奇數個根。
      ‚從圖形的觀察，當f(a)×f(b)>0時，f(x)=0在a,b之間可能有根，也可能無根，但若有根一定是偶數個根。