(甲)多項不等式的基礎概念

(1).n次不等式：

設y=f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…..+a₁x+a₀是實係數n次多項式，那麼不等式f(x)>0，或f(x)<0，或f(x)≦0，或f(x)≧0就叫做多項不等式或n次多項不等式(簡稱n次不等式)  
例：2x-3>0  , x²-3x+2>0 
(2)不等式的解：滿足n次不等式的值，叫做n次不等式的解
(3)不等式的基本性質：
  三一律：a>b,a=b,a<b 三式中恰有一式會成立
  遞移律：若a>b且b>c，則a>c
  加法律：若a>b，則a+c > b+c (c屬於實數)
  乘法律：若a>b，且c >0，則ac>bc  (不變號)
         若a>b，且c <0，則ac<bc  (要變號)

(乙)一次與二次不等式

(1)一次不等式是形如ax+b>0(≧0)或ax+b<0(≦0)的不等式。

    其中a,b,c為實數。

2)解二次不等式：
  設不等式ax²+bx+c(>,<,≦,≧)0，先將a調整為正
  先解一元二次方程式ax²+bx+c=0的二根a、b

  (a)設a>0，D=b²-4ac>0，a ,b (a>b)為兩實數
      因為ax²+bx+c=a(x-a)(x-b) 

     分段討論ax²+bx+c的正負：

     解ax²+bx+c>0 Ûx>a或x<b(大於大的根或小於小的根)

     解ax²+bx+c<0 Ûb<x<a (介於兩實根之間)

 (b)設a>0，D=b²-4ac=0， a=b為兩相等實數

     因為ax²+bx+c=a(x-a)²

    分段討論ax²+bx+c的正負：

    解ax²+bx+c>0 Ûx¹a(或b) [x>a或x<a]

    解ax²+bx+c<0 Û無解
 

  (c)設a>0，D=b²-4ac<0，a、b均為虛數
   

     ax²+bx+c=
   

     因為a>0且b²-4ac<0，所以
   

    故不管x代入那一個實數，ax²+bx+c恆正。

    解ax²+bx+c>0 Û 所有實數均為解。
    解ax²+bx+c<0 Û 無解。

結論：如何解二次不等式：
  (a) 先將不等式化成ax²+bx+c >,<,£,³ 0，其中a>0
  (b) 再檢查判別式：D=b²-4ac
  (c) 若D=b²-4ac>0，ax²+bx+c>0的解Û解為大於大的根，小於小的根的實數
                   ax²+bx+c<0的解Û解為介於兩根之間的實數
  (d) 若D=b²-4ac=0，ax²+bx+c>0的解Û解為除了外的所有實數
                   ax²+bx+c<0的解Û沒有任何實數是解
  (e) 若D=b²-4ac<0，ax²+bx+c>0的解Û解為所有實數

                   ax²+bx+c<0的解Û沒有任何實數是解