Fourier transform
波形分解成一群弦波，頻率為整數倍。
數學理論請見本站文件「convolution」。
解讀方式請見本站文件「wave」。
上面兩個文件需要大學數學作為背景知識，不太容易上手。這裡使用中學數學解釋傅立葉轉換。
一、數字的倍率：請問5是2的幾倍？請求得倍率。
答案5 / 2 = 2.5。
二、數列的倍率：請問(3,2,5,6,7)是(1,2,1,2,1)的幾倍？
對應數字的倍率都不一樣，該怎麼辦？那就取平均數吧。
答案(3/1 + 2/2 + 5/1 + 6/2 + 7/1) / 5 = 3.8。
三、複數：請問(3,2,5,6,7)是(𝑖,-𝑖,𝑖,-𝑖,𝑖)的幾倍？
答案(3/𝑖 + 2/(-𝑖) + 5/𝑖 + 6/(-𝑖) + 7/𝑖) / 5 = -1.4𝑖。
四、等距取樣：不是數列a[n]，而是函數f(t)，那就取幾個函數點吧。間隔保持相同，一方面看著舒心，一方面數學性質漂亮。
其中一種取樣方式：範圍[0,1)，頭⁰⁄₅，尾⅘。頭靠左、頭尾不重複。
答案(3/f(⁰⁄₅) + 2/f(⅕) + 5/f(⅖) + 6/f(⅗) + 7/f(⅘)) / 5。
五、複弦波：一個函數exp(𝑖t)，作為除數，作為基準。
傅立葉轉換的取樣方式：範圍[0,2π)，頭2π⋅⁰⁄₅，尾2π⋅⅘。頭靠左、頭尾不重複、頭尾循環。
答案(3/exp(𝑖⋅2π⋅⁰⁄₅) + 2/exp(𝑖⋅2π⋅⅕) + 5/exp(𝑖⋅2π⋅⅖) + 6/exp(𝑖⋅2π⋅⅗) + 7/exp(𝑖⋅2π⋅⅘)) / 5 ≈ -0.6236 + 1.0686𝑖。
六、傅立葉轉換：總共N種複弦波，求得N種倍率。N種複弦波是exp(𝑖nt)，n分別代入0到N-1。
七、函數圖形：複弦波的頻率都不同。改用頻率指稱複弦波。總共N種頻率，求得N種倍率。
八、N：N設定成訊號長度，為了製造出逆向轉換。N既是訊號長度、亦是複弦波數量。
九、正規化：回顧一下倍率的平均數。平均數需要除以N。
工程師，正向轉換不除以N、逆向轉換才除以N。現在不做，挪到以後才做，變成技術債。
數學家，正向轉換除以sqrt(N)、逆向轉換除以sqrt(N)。兩邊均勻分配，合起來就是除以N。
Fourier transform的數學性質
振幅與相位：N種倍率分別代表N種複弦波的振幅縮放比例、相位偏移差距。
複數乘法＝長度相乘＆角度相加。
複弦波乘以倍率＝振幅縮放＆相位偏移。
疊加原理：N種複弦波，等距取樣、乘上倍率、通通相加，得到原本數列。
線性代數。傅立葉矩陣是對稱矩陣。
輸入輸出對應：對調輸入輸出，對應依然成立。
餘弦－脈衝 cos(2πat) = δ(f-a) + δ(f+a)
矩形－正規正弦 rect(-t, +t) = sinc(f)
三角形－正規正弦平方 tri(-t, +t) = sinc²(f)
高斯 normal(μ, σ) = normal(μ, 1/σ)
絕對值平方根倒數 1/sqrt(abs(t)) = 1/sqrt(abs(f))
運算對應：對調輸入輸出，對應依然成立。
加法－加法 a + b = â + b̂
倍率－倍率 a ⋅ k = â ⋅ k
乘法－卷積 a × b = â ∗ b̂
卷積－乘法 a ∗ b = â × b̂
微分－角加速度 a′ = â ⋅ 𝑖2πf d/dt a(t) = 𝑖2πf ⋅ â(f)
角加速度－微分 a ⋅ 𝑖2πt = â′ 𝑖2πt ⋅ a(t) = d/dt â(f)
點積 ⟨a,b⟩ = ⟨â,b̂⟩ ∑ a(t)b(t) = ∑ â(f)b̂(f)
平方和 ‖a‖² = ‖â‖² ∑ |a(t)|² = ∑ |â(f)|²
傅立葉轉換採用等距取樣與倍率平均數。你也可以發明其他方式，然後挖掘各種數學性質，最後找到一個數學問題當作應用。這樣大概就可以獲得阿貝爾獎了。
spectrum
傅立葉轉換，輸出數列有N個複數，可以畫成函數。一般不畫實部與虛部，而是畫長度與角度，具有特殊意義。
這N個複數的長度畫成函數，稱為「振幅頻譜」。
這N個複數的角度畫成函數，稱為「相位頻譜」。
兩者合稱為「頻譜」。
頻譜的左側到右側，是低頻到高頻。
附帶一提，當輸入數列皆是實數，則輸出數列將共軛對稱：長度相等、角度變號。教科書為了讓圖片美觀，經常循環移位令中央為低頻、畫成折線圖、振幅取log10。讀者要注意！
我們可以運用正向傅立葉轉換分解一個波，運用逆向傅立葉轉換合成一個波，運用頻譜解讀一個波。
我們甚至可以改造一個波。一個波實施正向傅立葉轉換，調整頻譜的振幅和相位，再實施逆向傅立葉轉換。
凡是學習科學的人，都有必要瞭解頻譜！各種物質的振動或振盪，皆可求得頻譜。例如震譜是震波的頻譜，光譜是光波的頻譜，聲譜是聲波的頻譜。世間萬物皆有譜，應用無限廣泛。
解讀頻譜
範例：一串實數數列，16個數字，實施傅立葉轉換。
起點是1，平穩振動1次，振幅為1，形成cos波：對應傅立葉轉換的一倍頻率波，頻譜第一點的振幅是8、相位是0，其餘的振幅和相位是0。
起點調成0，也就是相位調成-π/2：依然對應傅立葉轉換的一倍頻率波，振幅依舊，相位是-π/2。
平穩振動調成2次：對應傅立葉轉換的兩倍頻率波，頻譜第二點的振幅是8、相位是-π/2，其餘的振幅和相位是0。
振幅調成2：振幅變兩倍。
振動基準從0調成1：對應傅立葉轉換的零倍頻率波，其功效是數列總和，頻譜第零點的振幅變16。
頻譜的缺點（一）
問題來了。平穩振動1.5次，頻譜如何？
你可能馬上聯想到「加權平均」的概念，第一點和第二點有振幅，振幅各半。
但是事實並非如此。1.5倍，頻譜呈現「人」型，所有頻率皆有振幅，漏得到處都是。這個現象稱作「spectral leakage」。
這個現象有兩種解讀：
一、1倍和2倍頻率波，疊加之後，結果是1倍，不是1.5倍。更明確來說是最大公因數。
傅立葉轉換的0倍頻率波到N-1倍頻率波，皆無法組合出1.5倍。只好湊合各種頻率，盡量趨近1.5倍。
二、離散版本的傅立葉轉換，輸入輸出是循環數列。1.5倍，循環之後，其實不是平穩的振動，因而產生許多高頻波。
當振動次數不是整數次、頻率不是整數倍，那麼傅立葉轉換無法精準量測！這是重大缺點！
window function
然而數學家尚未發明更好的方式。當今主流仍是傅立葉轉換。
為了克服spectral leakage這個重大缺點，數學家想出了「窗函數」。
原本數列，乘上一個窗函數：中央高、兩端趨近零的數列。如此令原本數列左右兩端連續，抑制頻譜多餘振幅。
窗函數非常多種，功效略有差異。請讀者自行研究。
window function的快速演算法
傅立葉轉換，有時候輸入稱作「時域time domain」、輸出稱作「頻域frequency domain」，呼應傅立葉轉換的功能：把波（時間軸）表示成頻譜（頻率軸）。
時域乘法等於頻域循環卷積。數列與窗函數相乘，等於數列與窗函數在頻域的循環卷積。
窗函數，多由cos波組成；窗函數在頻域，只有少數幾點有值。例如Hann窗，從時域轉頻域，只有三點有值。
因此，與其在時域套用窗函數，不如在頻域套用窗函數。過程非常簡單：每個值減去兩側的值（相位差不多是π），附帶權重。這揭露了窗函數的真正功效──頻譜之中，平者更平，尖者更尖。
最後額外補充一下。連續版本的傅立葉轉換，窗函數頻譜，外觀是一個尖峰。取abs和log，外觀是一個大圓丘（main lobe），附帶連綿小矮丘（side lobe）。很多資工系老師上課只教連續版本，但是我們根本不會用到連續版本！
F = FourierTransform[HannWindow[x], x, w]
Plot[F, {w, 0, +70}, PlotRange->{-0.05,+0.2}, Axes->None]
F = FourierTransform[HannWindow[x], x, w]
Plot[F, {w, 0, +70}, PlotRange->{-0.001,+0.001}, Axes->None]
F = Abs[FourierTransform[HannWindow[x], x, w]]
LogPlot[F, {w, 0, +70}, Axes->None]
頻譜的缺點（二）
當波形不是完美的sin波，那麼傅立葉轉換無法精準量測！這是重大缺點！
目前無解。自己保重。
頻譜的缺點（三）
聲音波形經常疊加。舉例來說，兩個頻率不同的音叉，同時敲擊，耳膜感受到的振動，差不多就是兩個sin波相加。更明確來說是兩個sin波的加權總和。
傅立葉轉換是線性函數。換句話說，輸入數列們的加權總和，經過傅立葉轉換，等於輸出數列們的加權總和；但是不等於頻譜們的加權總和！
輸出數列是複數。複數加法是向量相加，複數倍率是向量伸縮。向量相加不等於長度相加、角度相加。（唯一例外：所有波都是整數次的平穩振動。因為頻譜幾乎都是零。）
多個波形疊加，不會正確反映於頻譜！這是重大缺點！
然而大家仍用頻譜分解頻率，無法可管。自己保重。
ListPlot[Table[Sin[x*2*Pi/16], {x, 0, 15}]]
ListPlot[Abs[Fourier[Table[Sin[x*2*Pi/16], {x, 0, 15}]]], PlotRange->{0, 2}, Filling->Axis]
ListPlot[Arg[Fourier[Table[Sin[x*2*1.5*Pi/16], {x, 0, 15}]]], PlotRange->{-4, +4}, Filling->Axis]
ListPlot[Abs[Fourier[Table[HannWindow[(x-16)/32], {x, 0, 31}]]], PlotRange->{0, 2}, Filling->Axis]
ListPlot[Arg[Fourier[Table[HannWindow[(x-16)/32], {x, 0, 31}]]], PlotRange->{-4, 4}, Filling->Axis]
ListPlot[Table[HannWindow[(x-16)/32], {x, 0, 31}], PlotRange->{0, 1}, Filling->Axis, FillingStyle->Red, PlotStyle->Red, Axes->None]
ListPlot[Table[Cos[x*2*Pi/32] * HannWindow[(x-16)/32], {x, 0, 31}]]
ListLinePlot[Table[Cos[x*2*Pi/64], {x, 0, 63}]]
ListLinePlot[Abs[Fourier[Table[Cos[x*2*Pi/60], {x, 0, 63}]]], PlotRange->{0, 8}]
ListLinePlot[Abs[Fourier[Table[Cos[x*2*Pi/60] * HannWindow[(x-32)/64], {x, 0, 63}]]], PlotRange->{0, 8}]
spectrogram
窗函數恰好也能讓頻譜們能夠平滑連續。
順帶一提，短時間頻譜分析可以推廣為連續版本：框的大小無限，框的位置連續。
順帶一提，Gabor發明短時間頻譜分析。Gabor認為最基礎的窗函數是高斯函數。大家稱作Gabor transform。
Gabor transform:
x̂(k,ω) = ∫ x(t) exp(2π(t-k)²) exp(-𝑖ωk) dt
這個數學式子是連續版本，不是離散版本。
大家提到Gabor transform，心照不宣是指連續版本。
畢竟當時沒有電腦。畢竟古人只討論連續函數。
注意到，今人不使用連續版本，只使用離散版本。
即便是離散版本，也不使用高斯函數，只使用其他窗函數。
注意到，連續版本的數學性質不適用於離散版本。
當框的長度不再無限、框的位置不再連續，
許多數學性質都不再具有討論意義。
