經典的微分方程式

本文收錄經典的微分方程式。收錄原則是個人喜好，收錄範圍涵蓋各種領域。旨在讓大家瞭解科學家如何運用微分方程式。

內容並不完整，只是概觀介紹。畢竟本站主旨是演算法。如果想要學習完整內容，請參考各個科系的專業課程。

各種生醫理工科系（除了資工系）都會開設專業課程，講解自身領域經常使用的微分方程式。舉例來說，淺水方程組shallow water equations在大氣系、海洋系。電磁方程組Maxwell's equations在電機系。柔體方程組Navier–Cauchy equations在機械系、土木系。

目錄

[常微分方程式]
eigenproblem               特徵問題
nonhomogeneous problem     非齊次問題

[偏微分方程式]
spacetime variables        時空變數
higher-order derivatives   高階導數

[科學理論]
transport                  運輸
advection                  平流
conservation               守恆
dynamics                   動力學
hydrodynamics              流體動力學
elastodynamics             彈性動力學
geophysical hydrodynamics  地球物理流體動力學
thermodynamics             熱動力學
electrodynamics            電動力學
magnetohydrodynamics       磁流體動力學
electric circuit dynamics  電路動力學
chemical kinetics          化學動力學
statistical mechanics      統計力學
quantum mechanics          量子力學

[自然現象]
singularity                奇點
blowup                     爆開
breakdown                  斷裂
soliton                    孤波
dispersion                 頻散
perturbation               擾動
scattering                 散射
harmonics                  諧波
time-harmonic field        時間諧波場
linearization              線性化
quantization               量子化
equilibrium                平衡
chaos                      混沌
pattern formation          模式形成
hydrodynamic stability     流體動力穩定性

經典的微分方程式：eigenproblem

基礎的微分方程式。

exponential equation    ḟ = f      fₜ = f
phase rotation equation ḟ = 𝑖f     fₜ = 𝑖f
???                     f̈ = f      fₜₜ = f
oscillator equation     f̈ = -f     fₜₜ = -f

未知函數只有一個輸入變數。可以是時間，也可以是空間。

exponential equation

「指數方程式」。快速增長或衰減。

ḟ = f，微分之後還是一樣。微分不動點。

ḟ = cf，添上倍率c。c>1是增長率，c<1是衰減率。

符號解是指數函數。

f(t) = f(0)exp(ct)

phase rotation equation

「相位旋轉方程式」。複數平面繞圈圈。

ḟ = 𝑖f，添上虛數𝑖。

ḟ = 𝑖ωf，添上角速度ω。

符號解是歐拉公式。

f(t) = f(0)exp(𝑖ωt)
     = f(0)(cos(ωt) + 𝑖sin(ωt))

【尚無正式名稱】

現實世界似乎觀察不到此微分方程式。因此科學家沒有取名。

⎰ ṗ = kq
⎱ q̇ = kp

一式微分、代入二式，簡化為一道式子。

f̈ - k²f = 0

符號解是雙曲函數相加。A和B取決於初始條件。

f(t) = A exp(kt) + B exp(-kt)
     = C cosh(kt) + D sinh(kt)

A + B = f(0)                        initial position
A - B = ḟ(0)/k                      initial velocity
A = (f(0) + ḟ(0)/k) / 2
B = (f(0) - ḟ(0)/k) / 2
C = f(0)                            initial position
D = ḟ(0)/k                          initial velocity

符號解不受限，函數值奔向正負無限大。符合條件的物理量，現在位於宇宙盡頭，或者已經遍布三千世界，大家觀察不到。

oscillator equation

「振子方程式」。簡諧運動。形成辛動態系統。

⎰ ṗ = -kq
⎱ q̇ = +kp

一式微分、代入二式，簡化為一道式子。形成守恆律。

f̈ + k²f = 0

符號解是弦波相加，仍是弦波。A和B取決於初始條件。

f(t) = A exp(𝑖kt) + B exp(-𝑖kt)
     = C cos(kt) + D sin(kt)
     = M cos(kt + Φ)

C = f(0)                            initial position
D = ḟ(0)/k                          initial velocity
M = |C+D𝑖| = sqrt(C²+D²)            initial amplitude
Φ = -∠(C+D𝑖) = -tan⁻¹(D/C)          initial phase

符號解受限，並且形成週期函數。現實世界處處可見此微分方程式。僅僅相差一個負號，就有如此大的差別待遇。

經典的微分方程式：nonhomogeneous problem

引入了多變數。引入了梯散運算。全是人名，紀念古人。

Laplace's equation     ∆f = 0     fₓₓ + f₝₝ + f₞₞ = 0
Poisson's equation     ∆f = b     fₓₓ + f₝₝ + f₞₞ = b

人名後面到底要不要加apostrophe s？大家意見不一致。

Laplace's equation

「拉普拉斯方程式」。處處梯散為零。

數學意義：符號解是和諧函數。

物理意義：一坨東西的勢力均衡。

圖解請見本站文件「Laplacian matrix」與「graph Laplacian analysis」。儘管有些出入，但是至少能夠幫助想像。

一維符號解：一次函數的二次微分等於零。

f(x) = ax + b

二維符號解：兩個複數函數相加，輸入變數恰是共軛複數。

f(x,y) = φ(x+𝑖y) + ψ(x-𝑖y) = Re[g(x+𝑖y)]

https://www.ucl.ac.uk/~ucahhwi/LTCC/sectionF-complex.pdf
https://math.stackexchange.com/questions/1523215/

Poisson's equation

「泊松方程式」。處處梯散已知。

數學意義：梯散反運算。已知梯散g，求得原函數f。

物理意義：兩坨東西的勢力分布相等。其中一坨已知。

常見用法是兩邊梯散相同∆f₁ = ∆f₂。f₂已知或∆f₂已知。

符號解：格林函數疊加。

數值解：擁有特殊演算法。時域一次方程組、頻域傅立葉轉換。

經典的微分方程式：spacetime variables

引入了時間變數、空間變數。

Helmholtz's equation   f = -∆f    f   = -(fₓₓ + f₝₝ + f₞₞)
heat equation          ḟ = ∆f     fₜ  = fₓₓ + f₝₝ + f₞₞
wave equation          f̈ = ∆f     fₜₜ = fₓₓ + f₝₝ + f₞₞

注意到，數學家使用運算符號，其運算對象涵蓋所有變數。物理學家異於常人，牛頓微分符號只針對時間變數，梯度／散度／旋度／梯散符號只針對空間變數。

物理學家另行發明梯度運算spacetime gradient、梯散運算d'Alembertian，以便涵蓋所有變數。食飽換枵。

這三道微分方程式的符號解，缺乏物理意義。追加特殊限制，才能得到特殊符號解，具備物理意義。暫且擱置，容後介紹。

soliton ansatz for traveling wave   孤波擬設，得到行波。
harmonic ansatz for standing wave   諧波擬設，得到駐波。

Helmholtz's equation（Laplace eigenproblem）

「亥姆霍玆方程式」。梯散運算∆的特徵函數與特徵值。

大家習慣添加負號。負梯散運算-∆的特徵函數與特徵值。

梯散運算∆是負定，特徵函數是雙曲函數相加，特徵值不是實數。負梯散運算-∆是正定，特徵函數是弦波相加，特徵值是實數，而且是正數。兩者分別對應尚無正式名稱方程式、振子方程式。

f = -∆f，起伏等於位勢差。

f = -(1/k)²∆f，添上波數k。

符號解：指數函數與初始位置的卷積。【尚待確認】

       ⌠
f(x) = ⎮ exp(-𝑖ksx) φ(s) ds
       ⌡

f(0) = ???   initial position

heat equation

「熱傳導方程式」。硬生生多出傳導二字。

ḟ = ∆f，起伏速度等於位勢差。位勢差產生截面，截面大小正比於運輸速度，運輸速度等同於起伏速度。

ḟ = c∆f，添上擴散速度c。

符號解：heat kernel與初始位置的卷積。追加邊界條件：無限遠處函數值是零，才能求得積分結果。

         ⌠+∞    1         ⎛  (x-s)²⎞
f(t,x) = ⎮   ————————— exp⎜- ——————⎟ φ(s) ds
         ⌡-∞ (4πct)ᵈ⸍²    ⎝   4ct  ⎠
             ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                 heat kernel

f(0,x) = φ(x)   initial position
d = 1           dimension (number of space varables)

https://web.math.ucsb.edu/~helena/teaching/math124b/heat.pdf

wave equation

「波動方程式」。硬生生多出動字。

f̈ = ∆f，起伏加速度等於位勢差。位勢差產生彈簧力，彈簧力產生加速度。

f̈ = c²∆f，添上傳播速度c，有如彈性係數。

一維空間的符號解：d'Alembert's formula。

          1                         1  ⌠x+ct
f(t,x) = ——— [φ(x-ct) + φ(x+ct)] + ——— ⎮     ψ(s) ds
          2                         2c ⌡x-ct

f(0,x) = φ(x)   initial position
ḟ(0,x) = ψ(x)   initial velocity

二維空間的符號解：Poisson's formula。

https://users.math.msu.edu/users/yanb/847ch4.pdf

三維空間的符號解：Kirchhoff's formula。

https://users.math.msu.edu/users/yanb/847ch4.pdf

三維空間的符號解（複數函數）：我不知道怎麼來的。

https://math.stackexchange.com/questions/2392462/

經典的微分方程式：higher-order derivatives

引入了合體技。

transport equation                      ḟ = ∇∙f
diffusion equation                      ḟ = ∆f
transport–diffusion equation            ḟ = ∆f + ∇∙f
reaction–diffusion equation             ḟ = R(f) + ∆f
reaction–transport–diffusion equation   ḟ = R(f) + ∇∙f + ∆f

未知函數項（反應、運輸、擴散）：特徵問題。

已知函數項（源／匯）：非齊次問題。

name        | terminology          | symbol
------------|----------------------|---------------------------
reaction    | 0th-order derivative | written in functional R(f)
transport   | 1st-order derivative | divergence ∇∙f
diffusion   | 2nd-order derivative | Laplacian ∆f
source/sink | constant function    | known function g

反應　　零次微分項　泛函數R(f)
運輸　　一次微分項　散度∇∙f
擴散　　二次微分項　梯散∆f
源／匯　常數函數項　已知函數g

經典的微分方程式：transport

引入了物理量。

diffusion equation            q̇ - ∇∙(D∇q) = 0
transport–diffusion equation  q̇ + ∇∙(qv) - ∇∙(D∇q) = S

相似詞彙。

transport  運輸／運送。主角跟著載具一起移動。例如乘客、貨物。
transfer   轉移／調動。主角透過第三方移動。例如金流、轉乘。
transmit   傳輸／傳送。兩造與介質都不會移動，只有主角移動。例如訊號、資料。
transit    變遷／過渡。逐漸移動。例如環境、身分。

diffusion equation

「擴散方程式」。

q是某種物理量。D是擴散係數（矩陣）。

q̇ - ∇∙(D∇q) = 0
    ^^^^^^^
    diffusion

當D是恆等矩陣，擴散方程式退化成熱傳導方程式。

transport–diffusion equation

「運輸－擴散方程式」。

q是某種物理量。v是速度。D是擴散係數。S是源／匯。

q̇ + ∇∙(qv) - ∇∙(D∇q) = S
    ^^^^^^   ^^^^^^^   ^^
 transport   diffusion  source/sink

 ^^^^^^^^^   ^^^^^^^^^  ^^^^^^
 1st-order   2nd-order  constant
 derivative  derivative function

當速度跟物理量無關，則形成一次微分方程式。

當速度取決於物理量，則形成非一次微分方程式。難以推導符號解。只好計算數值解。

經典的微分方程式：advection

引入微分乘積律。

continuity equation  q̇ + ∇∙(qv) = 0   ∂ₜq + ∂ₓ(qv) + ∂₝(qv) = 0
advection equation   q̇ + v∙∇q = 0     ∂ₜq + vₓ∂ₓq + v₝∂₝q = 0
incompressibility    ∇∙v = 0          ∂ₓvₓ + ∂₝v₝ = 0

注意到，數學偏微分vₓ跟物理學分量vₓ無法辨別。一種解法是更換偏微分表示法，偏微分寫成∂/∂x q或者∂ₓq。另一種解法是更換分量表示法，速度分量寫成u v w。實務上的解法是一起更換。

continuity equation

「連續方程式」。

q̇ + ∇∙q = 0，時間變化量等於空間運輸量。

q̇ + ∇∙(qv) = 0，添上每一處的運輸速度v。

連續方程式的由來是泰勒近似。泰勒級數，取零次項與一次項。二次項之後數值極小，物理學家選擇忽略不計。事實上，所有物理公式，其本質都是泰勒級數取到一次項或者取到二次項。

advection equation

「平流方程式」。

q̇ + ∇∙q = 0，當速度是常數函數，恰是連續方程式。

q̇ + v∙∇q = 0，添上每一處的運輸速度v。

連續方程式可以拆成兩項：平流與壓縮。連續＝平流＋壓縮。

微分乘積律：前微後不微、前不微後微。

q̇ + ∇∙(qv) = 0

q̇ + v∙(∇q) + q(∇∙v) = 0
    ^^^^^^   ^^^^^^^
 advection   compression

∂      ⎛ ∂          ∂        ⎞
—— q + ⎜ —— (qvₓ) + —— (qv₝) ⎟ = 0
∂t     ⎝ ∂x         ∂y       ⎠

∂      ⎛    ∂         ∂    ⎞     ⎛ ∂       ∂     ⎞
—— q + ⎜ vₓ —— q + v₝ —— q ⎟ + q ⎜ —— vₓ + —— v₝ ⎟ = 0
∂t     ⎝    ∂x        ∂y   ⎠     ⎝ ∂x      ∂y    ⎠
       ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^   ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
       advection               compression

平流方程式只有時間變化項、平流項，沒有壓縮項。

換句話說，連續方程式、不可壓縮∇∙v = 0，兩式聯立，得到平流方程式。平流＝連續＆不可壓縮。

有人簡寫成大寫D，稱作「物質導數material derivative」。

∂      ⎛    ∂         ∂    ⎞              D
—— q + ⎜ vₓ —— q + v₝ —— q ⎟ = 0   --->   —— q = 0
∂t     ⎝    ∂x        ∂y   ⎠              Dt

incompressibility

「不可壓縮」。

∇∙v = 0。出入速度，總和相等。流動順暢，不推不擠。

經典的微分方程式：conservation

引入了質量、動量、能量。引入了體積、密度。

continuity equation
 for mass conservation       ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
 for momentum conservation   ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) = 0
 for energy conservation     ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) = 0

物理學當中，上述三式同時成立。白話文：

質量守恆：密度連續方程式　　　
動量守恆：動量密度連續方程式
能量守恆：能量密度連續方程式

continuity equation for mass conservation

「連續方程式之質量守恆」。物理量是密度q := ρ。

質量m。體積V。密度ρ = m/V。

原式是質量守恆。將質量改寫成密度，成為密度守恆。

大家總是採用密度守恆。原因是微積分運算整齊劃一。密度守恆可以同時對空間變數和時間變數積分，具備物理意義。密度守恆不必對空間變數和時間變數微分，沒有物理意義。

體積是常數函數的情況下，質量改寫成密度，有兩種等價方式：

一、中學四則運算風格：質量除以體積。ρ = m/V。

二、大學微積分風格：質量對體積微分。由於體積是常數函數，不必套用微分乘積律、微分連鎖律。ρ = ∂m/∂V。

兩種方式都有人使用。甚至混用。

continuity equation for momentum conservation

「連續方程式之動量守恆」。物理量是動量密度q := ρv。

質量m。速度v。動量mv。動量密度ρv = (mv)/V。

二維動量有兩個方向，總共兩道方程式，三維動量有三個方向，總共三道方程式。利用Kronecker product ⊗簡寫成一道方程式。

continuity equation for energy conservation

「連續方程式之能量守恆」。物理量是能量密度q := ρe。

動力學當中，物理量是動能密度。熱動力學當中，物理量是動能加內能的密度。

質量m。速度v。動能½mv²。動能密度½ρv² = (½mv²)/V。

m:    mass
mv:   momentum
½mv²: kinetic energy
ρ:    density (mass per volume)
ρv:   momentum density
½ρv²: kinetic energy density

能量E。能量密度E/V。比能（能量除以質量）e = E/m。

此處的能量是動能。

E = ½mv²
E/V = ½ρv²
e = E/m = ½v²

E: energy
e: specific energy (energy per mass)

物理學當中，specific是指定的物質。specific energy是每單位質量的能量（指定的物質）。specific翻譯成比例的比，specific energy翻譯成比能，非常奇葩。

各位可能聽過比熱容specific heat capacity，簡稱比熱specific heat。每單位質量的熱能（指定的物質），使得溫度升高一單位。

velocity advection equation

質量守恆與動量守恆兩式聯立＝質量守恆與速度平流兩式聯立。

⎰ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0      <=> ⎰ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
⎱ ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) = 0     ⎱ ρ D/Dt v = 0

⎰ conservation of mass     <=> ⎰ conservation of mass
⎱ conservation of momentum     ⎱ advection of velocity
                                 (multiplied by density)

∂/∂t (ρv) = (∂/∂t ρ)v + ρ(∂/∂t v)  1st term of
            ^^^^^^^^(a)            conservation of momentum
∇∙(ρv⊗v) = (∇∙(ρv))v + (ρv)∙∇v     2nd term of
           ^^^^^^^^(b)             conservation of momentum
(a) + (b) = 0                      conservation of mass
ρ(∂/∂t v) + (ρv)∙∇v = 0            subtraction
ρ (∂/∂t v + v∙∇v) = 0              factoring
ρ D/Dt v = 0                       material derivative

白話文：

一、物體沿著速度方向移動。
二、質量也沿著速度方向移動。
三、速度是物體的附庸品，速度也沿著速度方向移動。

因此，動量守恆的數學式子有兩種寫法：動量密度連續方程式、速度平流方程式（再乘以密度）。目前沒有一致公認的寫法，但是速度平流方程式比較常見。

注意到，連續＝平流＋壓縮，平流＝連續＆不可壓縮，其主詞是同一個物理量。至於此處的速度平流方程式，不適用上述定理，畢竟速度連續方程式不成立。

注意到，速度平流方程式，乍看不可壓縮，但是實際上動量密度可以壓縮。這是常見誤區。

經典的微分方程式：dynamics

引入了動量變化、能量變化。不討論質量變化。

Newton's law of motion  ∂/∂t (ρv) = F/V
work–energy theorem     ∂/∂t (ρe) = (F/V)∙v

Newton's law of motion

「牛頓運動定律」。一、動量是質量乘以速度。二、衝量是動量先後差異、動量運輸多寡。三、動量（或衝量）對時間微分是力。

此處只談一和三。

⎰ p = mv
⎱ ∂/∂t p = F

合併成一道式子。

∂/∂t p = ∂/∂t (mv) = F

整個式子除以體積。動量密度對時間微分得到力密度。

∂/∂t (p/V) = ∂/∂t (ρv) = F/V

work–energy theorem

「功能定理」。一、能量是質量乘以速度平方再除以二。二、功是能量先後差異、能量運輸多寡。三、能量（或功）對時間微分是功率。因此功率恰是力與速度的點積。

此處只談一和三。

⎰ E = me = m(½v²)
⎱ ∂/∂t E = F∙v

合併成一道式子。

∂/∂t E = ∂/∂t (me) = F∙v

整個式子除以體積。能量密度對時間微分得到功率密度。功率密度是力密度與速度的點積。

∂/∂t (E/V) = ∂/∂t (ρe) = (F/V)∙v

經典的微分方程式：hydrodynamics

引入了重力、壓力、應力。

continuity equations    ⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
                        ⎨ ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) = 0
                        ⎩ ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) = 0

Euler's equations       ⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
                        ⎨ ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇P = 0
                        ⎩ ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) + ρg∙v + ∇∙(Pv) = 0

Cauchy's equations      ⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
                        ⎨ ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇∙σ = 0
                        ⎩ ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) + ρg∙v + ∇∙(σ∙v) = 0

hydrodynamic equations  ⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
                        ⎨ ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇P + ∇∙σ = 0
                        ⎩ ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) + ρg∙v + ∇∙(Pv) + ∇∙(σ∙v) = 0

只看動量守恆。

continuity equations    ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) = 0
Euler's equations       ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇P = 0
Cauchy's equations      ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇∙σ = 0
hydrodynamic equations  ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) + ρg + ∇P + ∇∙σ = 0

只看能量守恆。

continuity equations    ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) = 0
Euler's equations       ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) + ρg∙v + ∇∙(Pv) = 0
Cauchy's equations      ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) + ρg∙v + ∇∙(σ∙v) = 0
hydrodynamic equations  ∂/∂t (ρe) + ∇∙(ρev) + ρg∙v + ∇∙(Pv) + ∇∙(σ∙v) = 0

∇∙(Pv) = (∇P)∙v + P(∇∙v)
∇∙(σ∙v) = (∇∙σ)∙v + σ:∇v

實際上是質量守恆、動量守恆、能量守恆，三式聯立。動量守恆額外考慮力（動量變化），能量守恆額外考慮功率（能量變化）。

四式都有兩種寫法。動量守恆有兩種寫法，此處採用動量密度連續方程式，而教科書大多採用速度平流方程式（再乘以密度）。

continuity equations

「連續方程組」。不考慮力。

Euler's equations

「歐拉方程組」。動量相聚，產生壓力。

考慮兩種力密度：重力密度ρg。壓力密度∇P。

重力加速度g。重力mg。重力密度ρg = mg/V。

力F。表面積A。壓力P = F/A。壓力密度∇P = F/V。

符號解是Arnold–Beltrami–Childress flow。

Cauchy's equations

「柯西方程組」。動量相撞、動量相擦，產生應力。

考慮兩種力密度：重力密度ρg。應力密度∇∙σ。

力F。表面積A。應力σ = F/A。應力密度∇∙σ = F/V。

https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/nseqs.html
https://www.eng.auburn.edu/~tplacek/courses/fluidsreview-1.pdf

hydrodynamic equations【尚無正式名稱】

「流體方程組」。省略動力學三字。大家一起上。

請見本站文件「fluid simulation: equation」。

質量守恆、動量守恆、能量守恆，三式聯立。並且引入重力、壓力、應力。

考慮三種力密度。

mg:  gravity (force)               vector
P:   pressure (force per area)     scalar
σ:   stress (force per area)       matrix
ρg:  force density from gravity    vector
∇P:  force density from pressure   vector
∇∙σ: force density from stress     vector

重力mg（向量）：有些文獻將重力mg改成外力F。力密度ρg。
壓力P（純量）：力除以面積，然而中文翻譯成力。力密度∇P。
應力σ（矩陣）：力除以面積，然而中文翻譯成力。力密度∇∙σ。

hydrodynamics

hydro-意義是「水」。hydrodynamics意義是「水動力學」。古人先討論水，再推廣至流體，沿用hydrodynamics這個詞彙。

fluid意義是「流體」。fluid dynamics意義是「流體動力學」。流體泛指氣體、液體、電漿、……，這些能夠運輸、得以套用連續方程式的物質。今人逐漸改用fluid dynamics這個詞彙。

針對氣體，稱作gas dynamics。針對液體，大家不講liquid dynamics，而是沿用hydrodynamics或者引用fluid dynamics，成為歷史共業。針對電漿，稱作plasma dynamics。

針對空氣，稱作aerodynamics，應用於飛機、跑車、風電、四旋翼。針對水，稱作hydrodynamics，應用於渠道、堤防、水閘、水壩。

至於此處的hydrodynamic equation是我自己瞎掰的名稱。此方程式至今沒有正式名稱。我迫不得已瞎掰一個名稱。

經典的微分方程式：elastodynamics

其實都是de Saint-Venant搞定的。

Navier–Stokes equations                    牛頓流體
Navier–Cauchy equations                    彈性固體

Navier–Stokes equations

「牛頓流體方程組」。流體方程組，針對牛頓流體。例如水。

請見本站文件「fluid simulation: equation」。

原理：流體方程組、本構方程式（牛頓流體），兩式聯立。大家習慣省略能量守恆。

⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0              conservation of mass
⎨ ρ D/Dt v + ρg + ∇P + ∇∙σ = 0     conservation of momentum
⎩ σ = -μ ∇v                        constitutive equation
                                   (Newtonian fluid)

牛頓流體當中，應力與應變率（速度梯度）成正比。作為摩擦力則帶負號。

constitutive equation (Newtonian fluid):
σ = μ ∇v

因此應力可以改寫成速度擴散。

⎰ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0  
⎱ ρ ( v̇ + (v ∙ ∇v) ) + ρg + ∇P - μ ∆v = 0

⎰ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0  
⎱ v̇ + (v ∙ ∇v) + g + (∇P / ρ) - ν ∆v = 0    (let ν = μ/ρ)
                               ^^^              ^^^
                               Greek letter nu

μ: dynamic viscosity
ν: kinematic viscosity (momentum diffusivity)

符號解是千禧年大獎難題，跟P/NP問題齊名。

Navier–Cauchy equations

姑且稱作「柔體方程組」。利用流體方程組描述固體運動。

請見本站文件「soft body simulation: linear elasticity」。

原理：流體方程組、本構方程式（線性彈性），兩式聯立。只考慮應力。大家習慣省略能量守恆。

⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0              conservation of mass
⎨ ρ D/Dt v + ∇∙σ = 0               conservation of momentum
⎪ ∂/∂t ε = (∇v + (∇v)ᵀ) / 2        strain rate
⎩ σ = -C:ε                         constitutive equation
                                   (linear elasticity)

線性彈性當中，應力與應變呈線性關係。作為摩擦力則帶負號。

constitutive equation (linear elasticity):
σ = C:ε

經典的微分方程式：geophysical hydrodynamics

引入了深度、壓力。

shallow water equations                    薄層流體
quasi-geostrophic shallow water equations  地球自轉

shallow water equations

「淺水方程組」。考慮水深。用於模擬大型水體表面運動，例如海嘯。

淺水方程組有兩種寫法。首先介紹速度平流方程式。

⎰ ∂/∂t h + ∇∙(hv) = 0          conservation of mass
⎱ D/Dt v + g₞ ∇h = 0           advection of velocity

⎧ ∂/∂t h + ∂/∂x (hvₓ) + ∂/∂y (hv₝) = 0
⎨ ∂/∂t vₓ + vₓ ∂/∂x vₓ + v₝ ∂/∂y vₓ + g₞ ∂/∂x h = 0
⎩ ∂/∂t v₝ + vₓ ∂/∂x v₝ + v₝ ∂/∂y v₝ + g₞ ∂/∂y h = 0

原理：密度連續方程式、速度平流方程式、流體靜力平衡，三式聯立。

⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0          conservation of mass
⎨ ρ D/Dt v + ∇P + ρg = 0       advection of velocity
⎩ D/Dt v₞ = 0                  hydrostatic balance

流體靜力平衡定義為Z軸方向（水深反方向）沒有速度平流。

D/Dt v₞ = 0                    hydrostatic balance

假設是均勻流體：密度ρ是常數。第一式對Z軸積分，除以密度ρ，改寫成水深h。第二式與第三式合併，除以密度ρ，改寫成水深h。最後精簡成二維空間。得到淺水方程組。

第一式對Z軸積分。水體內部密度是常數，水體外部密度是零，積分結果是密度乘上水深。

∫ { ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) } dz = 0   integral
∂/∂t (ρh) + ∇∙(ρhv) = 0        ∫ρdz = ρh
∂/∂t h + ∇∙(hv) = 0            ρ is constant

第二式與第三式可以推導出知名公式P = ρg₞h。

ρ D/Dt v₞ + ∂/∂z P + ρg₞ = 0   z-axis of advection of velocity
D/Dt v₞ = 0                    hydrostatic balance
∂/∂z P + ρg₞ = 0               subtraction
∂/∂z P = -ρg₞                  hydrostatic pressure distribution
P = -ρg₞z                      ρ and g₞ are constants
P = ρg₞h                       unit_vector(h) = - unit_vector(z)

利用P = ρg₞h改寫第二式。

ρ D/Dt vₓ + ∂/∂x P + ρgₓ = 0   x-axis of advection of velocity
ρ D/Dt vₓ + ∂/∂x P       = 0   gₓ = 0
ρ D/Dt vₓ + ∂/∂x (ρg₞h)  = 0   P = ρg₞h
ρ D/Dt vₓ + ρg₞ ∂/∂x h   = 0   ρ and g₞ are constants
  D/Dt vₓ +  g₞ ∂/∂x h   = 0   divides ρ

ρ D/Dt v₝ + ∂/∂y P + ρg₝ = 0   y-axis of advection of velocity
  D/Dt v₝ +  g₞ ∂/∂y h   = 0

z軸0 + 0 = 0沒有意義。精簡成二維空間。

ρ D/Dt v₞ + ∂/∂z P + ρg₞ = 0   z-axis of advection of velocity
    0     +        0     = 0

shallow water equations

淺水方程組有兩種寫法。接著介紹動量密度連續方程式。

⎰ ∂/∂t h + ∇∙(hv) = 0                 conservation of mass
⎱ ∂/∂t (hv) + ∇∙(hv⊗v) + hg₞ ∇h = 0   conservation of momentum

⎧ ∂/∂t h + ∂/∂x (hvₓ) + ∂/∂y (hv₝) = 0
⎨ ∂/∂t (hvₓ) + ∂/∂x (hvₓvₓ) + ∂/∂y (hvₓv₝) + ∂/∂x (½g₞h²) = 0
⎩ ∂/∂t (hv₝) + ∂/∂x (hv₝vₓ) + ∂/∂y (hv₝v₝) + ∂/∂y (½g₞h²) = 0

原理：密度連續方程式、動量密度連續方程式、流體靜力平衡，三式聯立。

⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0                 conservation of mass
⎨ ∂/∂t (ρv) + ∇∙(ρv⊗v) + ∇P + ρg = 0  conservation of momentum
⎩ D/Dt v₞ = 0                         hydrostatic balance

對Z軸積分，除以密度ρ，改寫成水深h。最後精簡成二維空間。得到淺水方程組。

最後來個波浪溯升。

專著《Computational Algorithms for Shallow Water Equations》。

quasi-geostrophic shallow water equations

專著《Essentials of Atmospheric and Oceanic Dynamics》。

「準地轉淺水方程組」。追加地轉偏向力，以便模擬地球表面流體，例如海洋和大氣。用於天氣預報。

原理：淺水方程組、旋轉參考系、球面座標系，三式聯立。

推導過程請見專著。

⎰ ∂/∂t h + ∇∙(hv) = 0          conservation of mass
⎱ D/Dt v - F×v + g₞ ∇h = 0     advection of velocity

⎧ ∂/∂t h + ∂/∂x (hvₓ) + ∂/∂y (hv₝) = 0
⎨ ∂/∂t vₓ + vₓ ∂/∂x vₓ + v₝ ∂/∂y vₓ - Fₓv₝ + g₞ ∂/∂x h = 0
⎩ ∂/∂t v₝ + vₓ ∂/∂x v₝ + v₝ ∂/∂y v₝ + F₝vₓ + g₞ ∂/∂y h = 0

Coriolis force / geostrophic equations
https://www.youtube.com/watch?v=5y47Z8RPr30
https://www.youtube.com/watch?v=thiN9tix1Zc
http://nwafiles.nwas.org/digest/papers/1996/Vol21No1/Pg21-Billingsley.pdf
https://gfd.whoi.edu/wp-content/uploads/sites/18/2018/03/lecture8-harvey_136564.pdf

經典的微分方程式：thermodynamics

注意到前四項都不是微分方程式。作為先備知識，不得不講。

conservation of mechanical energy        能量守恆（粒子）
Bernoulli's equation                     能量守恆（流體）
ideal gas equation of state              能量關係式
heat transfer formula                    功關係式
fundamental equations of heat transfer   三種功定律
fundamental equations of thermodynamics  四種能量定律

conservation of mechanical energy

「機械能守恆」。粒子運動能量守恆。無論哪個時刻，動能、位能，兩者總和為定值。機械能＝動能＋位能。

conservation of mechanical energy:
½mv² + mgh = constant
½ρv² + ρgh = constant

質量m。速度v。動能½mv²。動能密度½ρv²。

m:    mass
mv:   momentum
½mv²: kinetic energy
ρ:    density (mass per volume)
ρv:   momentum density
½ρv²: kinetic energy density

質量m。重力mg。位能mgh。位能密度ρgh。

m:    mass
mg:   gravity
mgh:  potential energy
ρ:    density (mass per volume)
ρg:   gravity density
ρgh:  potential energy density

Bernoulli's equation

「白努利方程式」。流體運動能量守恆。無論哪個時刻，動能、位能、壓力能，三者總和為定值。機械能＝動能＋位能＋壓力能。

流體版本的機械能守恆。源自Euler's equation。

conservation of energy in fluid flow (Bernoulli's equation):
½mv² + mgh + PV = constant
½ρv² + ρgh + P = constant

½mv²: kinetic energy
mgh:  potential energy
PV:   pressure energy
½ρv²: kinetic energy density
ρgh:  potential energy density
P:    pressure

ideal gas equation of state（ideal gas law）

「理想氣體狀態方程式」。狀態方程式是多種物理量的關係式。此處討論理想氣體。物理量總共四種：壓力P、體積V、莫耳n、溫度T。另外還有一個物理常數：氣體常數R。

PV = nRT

P: pressure
V: volume
n: number of moles
R: ideal gas constant
T: temperature

方便起見，將莫耳改寫成質量。

PV = mrT

nRT = (m/M)RT = m(R/M)T = mrT

n: number of moles
M: molar mass (mass per mole)
m: mass
r: specific gas constant

方便起見，將質量改寫成密度。前提是體積是常數。如此一來，不必套用微分乘積律、微分連鎖律。然而熱動力學當中，體積通常不是常數。

P = ρrT   when V = constant

P = mrT/V = (m/V)rT = ρrT

ρ: density

理想氣體狀態方程式可以追加限制條件，例如等壓過程、等容過程、等溫過程、等熵過程、絕熱過程、……。

(1) isobaric process:   P = constant
(2) isochoric process:  V = constant
(3) isothermal process: T = constant => Pρ = constant
(4) isentropic process: S = constant => adiabatic and reversible
(5) adiabatic process:  Q = 0        => Pρ⁻ᵞ = constant

多變過程是這些過程的通用公式：等壓過程n=0，等容過程n=∞，等溫過程n=1，等熵過程n=γ。

polytropic process: PVⁿ = constant

heat transfer formula

順便介紹一些物理量。

專著《Thermodynamics: An Engineering Approach》。

總能＝內能＋機械能　　　　　　total energy       E = U + M
內能＝顯熱＋潛熱＋鍵能＋核能　internal energy    U = ......
機械能＝動能＋位能＋壓力能　　mechanical energy  M = ½mv² + mgh + PV

內能　　　　　　　　　　　　　internal energy    U
外功　　　　　　　　　　　　　external work      W
焓＝熱能總和＝內能＋壓力能　　enthalpy           H = U + PV
熱＝熱能差異＝內能差異＋外功　heat               Q = ΔU + W
機械能觀點：能量＝壓力Ｘ體積　P-V diagram        energy = PV
熱能觀點：能量＝溫度Ｘ熵　　　T-S diagram        energy = TS

熱動力學沒有定義「熱能thermal energy」這個詞彙，但是這個詞彙私底下相當好用。熱能是受溫度影響的能量。內能、壓力能，它們都是一種熱能。熱動力學的焓，模仿了動力學的位能加動能，方便大家累計受溫度影響的能量總和，按理會守恆。熱動力學的熱，模仿了動力學的功，方便大家觀察先後能量差異、計算能量消耗。

順便介紹一些關係式。

專著《Applied Thermodynamics for Marine Engineers》。

heat transfer formula：熱與溫差的關係式。熱正比於溫差、正比於質量、取決於物質特性。熱能從高溫流向低溫。

Q = cmΔT

熱　　　　　　　heat                    Q
溫度　　　　　　temperature             T
質量　　　　　　mass                    m
熱容　　　　　　heat capacity           C = Q/ΔT
比熱容（比熱）　specific heat capacity  c = C/m

Mayer's relation：熱容與氣體常數的關係式，當ΔU相同。

⎰ Qᵥ = cᵥmΔT = ΔU + 0       heat transfer at constant volume
⎱ Qₚ = cₚmΔT = ΔU + PΔV     heat transfer at constant pressure

=> cₚmΔT = cᵥmΔT + PΔV
=> cₚmΔT = cᵥmΔT + mrΔT
=> cₚ = cᵥ + r
=> r = cₚ - cᵥ

heat capacity ratio：等壓過程的比熱容、等容過程的比熱容，兩者比值。用來代替其他物理常數，以便精簡物理常數數量。

⎰ r = cₚ - cᵥ     Mayer's relation
⎱ γ = cₚ / cᵥ     heat capacity ratio

=> ⎰ cₚ = rγ/(γ-1)
   ⎱ cᵥ = r/(γ-1)

r: specific gas constant
γ: heat capacity ratio
cₚ: specific heat capacity at constant pressure
cᵥ: specific heat capacity at constant volume

formulas of ideal gas：等容過程的一些關係式。用於Euler's equation，將壓力P改寫成密度ρ與比內能eᵢ，減少未知函數。

⎰ PV = mrT       ideal gas law
⎱ Qᵥ = cᵥmΔT     heat transfer at constant volume

=> ΔU = Qᵥ = cᵥmΔT = (r/(γ-1))mΔT = ΔPV/(γ-1)
=> Δeᵢ = ΔU/m = ΔP/ρ(γ-1)
=> eᵢ = P/ρ(γ-1)
=> ρeᵢ = P/(γ-1)
=> P = (γ-1)ρeᵢ

eᵢ: specific internal energy

fundamental equations of heat transfer

熱轉移有三種方式。

conduction 傳導（內部交換、相同材質）
convection 對流（內外交換、不同材質）
radiation  輻射（波）

分別對應三種微分方程式。

Fourier's law of heat conduction
Newton's law of cooling
Stefan–Boltzmann law of thermal radiation

熱傳導定律：熱轉移速度正比於溫差、正比於截面積、反比於距離。

Fourier's law of heat conduction:
∂/∂t Q = -k (A/l) ΔT

Fourier's law of heat conduction (per volume):
∂/∂t q = -k ∂/∂x T

Q: heat
q: heat density
k: thermal conductivity
A: area of cross section
l: distance
T: temperature
ΔT: difference of temperature

冷卻定律：熱轉移速度正比於環境溫差、正比於表面積。

Newton's law of cooling:
∂/∂t Q = hA(T - Tₑₙᵥ)

h: heat transfer coefficient 
A: area of surface
T: temperature
Tₑₙᵥ: environment temperature

熱輻射定律：熱轉移速度正比於溫度四次方、正比於表面積。

Stefan–Boltzmann law of thermal radiation:
∂/∂t Q = σeAT⁴

σ: Stefan–Boltzmann constant
e: emissivity
A: area of surface
T: temperature

fundamental equations of thermodynamics

熱能有四種物理量：壓力p、體積V、溫度T、熵S。

因而衍生四種微分方程式。本文不會用到。請見維基百科。

經典的微分方程式：electrodynamics

動力學討論粒子運動。電動力學討論帶電粒子運動。

粒子附帶電荷，英文charged particle，中文帶電粒子。

electric force:
  Coulomb's force
  Lorentz's force
  Abraham–Lorentz force

electrostatics:
  Gauss's law
  Coulomb's law

magnetostatics:
  Ampère's law
  Biot–Savart law
  Ampère's force law

electromagnetic induction:
  Ampère–Maxwell law
  Faraday's law

electric energy:
  Faraday's law

electrical resistivity and conductivity:
  Ohm's law

electric force

電動力學當中，大家不討論動量，只討論力（動量變化）。

電力就是力。電力分為三類：庫侖力（電場力）、勞侖茲力（磁場力）、亞伯拉罕－勞侖茲力（輻射反應力）。

一、帶電粒子集體沒有運動，產生定值電場（靜電場）。
　　電場進一步形成庫侖力（電場力）。
二、帶電粒子集體等速運動，產生定值磁場（靜磁場），繞著速度方向逆時針旋轉。
　　磁場進一步形成勞侖茲力（磁場力）。
三、帶電粒子集體變速運動，產生電磁輻射（電磁波），朝著四面八方傳播。
　　電磁波進一步形成亞伯拉罕－勞侖茲力（輻射反應力）。

一個帶電粒子運動，同時受到三種力。

F = Fele + Fmag + Frad

一、庫侖力（電場力）：電場產生電力。電力正比於電荷。

Coulomb's force (force from electric field):
Fele

方便起見，引入電荷，將電力改寫成電場。

Coulomb's force (force from electric field):
Fele = qEele             define E = F/q

F: electric force    電力＝力
q: electric charge   電荷
E: electric field    電場＝電力／電荷

二、勞侖茲力（磁場力）：磁場產生電力。電力正比於電荷。

安培右手開掌定則：電力切線分量／磁場／電力法線分量，其方向是右手拇指／四指／手掌。適合叉積。

Lorentz force (force from magnetic field):
Fmag = q(v × B)

方便起見，引入電荷，將電力改寫成電場。

Lorentz force (force from magnetic field):
Emag = v × B

F = q(v × B)
F/q = v × B
E = v × B            define E = F/q

F: electric force    電力＝力　　　　　N
q: electric charge   電荷　　　　　　　C
E: electric field    電場＝電力／電荷　N/C
B: magnetic field    磁場＝電場／速度　(N/C)/(m/s)
v: velocity          速度　　　　　　　m/s

方便起見，將電荷和速度送作堆。

Lorentz force (force from magnetic field):
Fmag = qv × B

方便起見，引入體積，將電荷改寫成電荷密度。

Lorentz force (force from magnetic field):
f = ρv × B

 F  = q(v × B)
F/V = (q/V)(v × B)
 f  = ρ(v × B)       define f = F/V and ρ = q/V
 f  = ρv × B

方便起見，將電荷密度乘以速度改寫成電流密度。

Lorentz force (force from magnetic field):
f = j × B

f = ρv × B
f = j × B            define j = ρv

V: volume            體積　　　　　　　m³
f: force density     力密度　　　　　　N/m³
ρ: charge density    電荷密度　　　　　C/m³
j: current density   電流密度　　　　　(C/m³)(m/s) = A/m²

補充說明。物理學家沒有替qv取名，也沒有替qB取名。

電流不是qv。電流不是電流密度乘以體積。電流是電流密度乘以面積。意義是電荷變化（每單位時間的電荷差異）。此詞彙源自Ampère。取名為流，卻沒移動。成為歷史共業。

磁力不是qB。磁力不是磁場乘以電荷。磁力是磁極產生的力，這不屬於電動力學的範疇。

electric current:
I   = jA = d/dt q
I/A = j  = ρv

j: current density   電流密度　　　　　(C/m³)(m/s) = A/m²
A: area              面積　　　　　　　m²
I: electric current  電流　　　　　　　C/s = A

三、亞伯拉罕－勞侖茲力（輻射反應力）：電磁波產生電力。

一個帶電粒子突然改變速度，導致隔壁帶電粒子隨之改變速度。一傳十、十傳百，產生波。

變速運動產生電磁波，朝著四面八方傳播，傳播速度接近光速。注意到，電磁波傳播速度不是帶電粒子速度，前者通常比閃電還快，後者通常比匍匐前進還慢。

以車潮做比方。帶電粒子速度：人人車速都很慢，彼此距離都很近。電磁波傳播速度：一旦有人急踩煞車，一瞬間所有後車依序跟著急踩煞車。電磁波傳播方向：車潮是縱波，電磁波是橫波。

Abraham–Lorentz force (radiation reaction force):
Frad = (1/4πε₀) (2/3) (q²/c³) (d³/dt³ x)

x⃛: jerk              加加速度　　　　　m/s³
c: speed of light    光速　　　　　　　m/s

輻射反應力仍有疑點。輻射反應力與等效原理併用將產生矛盾。

https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham–Lorentz_force
https://en.wikipedia.org/wiki/Paradox_of_radiation_of_charged_particles_in_a_gravitational_field

補充說明。日常生活口語當中，電線裡面的電流速度，在電動力學當中，對應到電磁波傳播速度。不是qV也不是I，跟電流無關。

electrostatics

帶電粒子集體沒有運動，產生常數電場（靜電場）。

高斯定律（靜電場定律）：電力正比於截面的電荷濃度。電荷越濃，電力越多。

ε₀是物理常數，稱作真空電容率。ε₀ = 8.854 × 10⁻¹²。

Gauss's law:
F = (1/ε₀)(q/l)²

方便起見，引入面積，將電力改寫成電力通量。

電力乘以面積，得到電力通量。電力通量取決於一單位電荷產生的電力通量（物理常數1/ε₀）與電荷平方（變數q²）。

Gauss's law:
FA = (1/ε₀)q²

方便起見，物理量改為向量。面積向量朝向法線方向。

電力與面積的點積，得到電力通量。

Gauss's law:
F∙A = (1/ε₀)q²

方便起見，等式兩側同除以電荷，將電力改寫成電場。

Gauss's law:
E∙A = (1/ε₀)q     define E = F/q

方便起見，等式兩側同對體積微分，將電荷改寫成電荷密度。

Gauss's law:
∇∙E = ρ/ε₀        define ρ = q/V = ∂q/∂V (V is constant)

l    length          長度　　　　　　　m
A    area            面積　　　　　　　m²
V    volume          體積　　　　　　　m³
q    charge          電荷　　　　　　　C
ρ    charge density  電荷密度　　　　　C/m³
F    electric force  電力＝力　　　　　N
E    electric field  電場＝電力／電荷　N/C
F∙A                  電力通量　　　　　Nm²
E∙A  electric flux   電通量　　　　　　Nm²/C
∇∙E                  電場散度　　　　　N/Cm²
ε₀   permittivity    真空電容率　　　　Nm²/C²
     of free space

靜電位勢條件：∇×E = 0的情況下，E存在純量位勢。我不知道∇×E = 0的物理意義，也許是動量守恆。

electrostatics:
∇×E = 0

靜電場公式：∇×E = 0的情況下，E存在純量位勢。得以套用散度反運算。

Helmholtz decomposition theorem:
E(x) = (1/4πε₀) ∭ (ρ ∙ (x-x')/‖x-x'‖³) dV'
where dV' = dxₓ' dx₝' dx₞'

方便起見，將位置差距改寫成移位，將積分單元挪到左邊。

Helmholtz decomposition theorem:
E(x) = (1/4πε₀) ∭ {ρ dV' ∙ r'/‖r'‖³}
where r' = x - x' and dV' = dxₓ' dx₝' dx₞'

當電荷密度只存在於一點，可以把積分結果推導出來。

Helmholtz decomposition theorem for a point charge:
E = (1/4πε₀) q (r/‖r‖³)
  = (1/4πε₀) q (r̂/‖r‖²)

r̂: unit vector of r             單位向量
‖r‖: length of r                向量長度

庫侖定律：兩個帶電粒子相引，引力正比於電荷相乘、反比於距離平方。宛如牛頓萬有引力，但是物理量不是質量、而是電荷。

Coulomb's law (force between two point charges):
F = kq₁q₂r̂/‖r‖²   where k = 1/(4πε₀)

F: electric force               電力＝力
q: electric charge              電荷
x: position                     位置
r: displacement                 移位
π: 3.14159...                   圓周率
ε₀: permittivity of free space  真空電容率

或者簡單來說：球面的電力通量，在球心設置一個假想電荷。

FA = (1/ε₀)q²                   Gauss's law
∮FdA = F(4πr²) = (1/ε₀)q²       surface integral over sphere 
F = (1/ε₀)q²/(4πr²) = kq²/r²    define k = 1/(4πε₀)
F = kq²r̂/‖r‖²                   scalar r → vector r
F = kq₁q₂r̂/‖r‖²                 test charge at sphere center

magnetostatics

帶電粒子集體等速運動，產生常數磁場（靜磁場），繞著運動方向逆時針旋轉。

安培定律（靜磁場定律）：qB正比於截面的電荷濃度乘以速度。電荷越濃，速度越快，qB越多。qB可以想成是磁力線。

μ₀是物理常數，稱作真空磁導率。μ₀ = 4π × 10⁻⁷。

Ampère's law:
qB = μ₀(q/l)²v

方便起見，引入面積。

Ampère's law:
A(qB) = μ₀q²v

方便起見，物理量改為向量。面積向量朝向法線方向。

Ampère's law:
A×(qB) = μ₀q²v

方便起見，先前流程重跑一遍。

Ampère's law:
A×B = μ₀qv
(A/V)×B = μ₀(q/V)v
∇×B = μ₀ρv

方便起見，引入電流密度。

Ampère's law:
∇×B = μ₀j

l    length          長度　　　　　　　m
A    area            面積　　　　　　　m²
V    volume          體積　　　　　　　m³
q    charge          電荷　　　　　　　C
ρ    charge density  電荷密度　　　　　C/m³
j    current density 電流密度　　　　　(C/m³)(m/s)
qB                   ／人◕ ‿‿ ◕人＼ 　N/(m/s)
B    magnetic field  磁場　　　　　　　(N/C)/(m/s)
A×B                  面積與磁場的叉積　(Nm²/C)/(m/s)
∇×B                  磁場旋度　　　　　(N/Cm²)/(m/s)
μ₀   permeability    真空磁導率　　　　Ns²/C²
     of free space

靜磁位勢條件：∇∙B = 0的情況下，B存在向量位勢。我不知道∇∙B = 0的物理意義，也許是電荷守恆。

magnetostatics:
∇∙B = 0

必歐－沙伐定律（靜磁場公式）：∇∙B = 0的情況下，B存在向量位勢。得以套用旋度反運算。

Biot–Savart law:
B(x) = (μ₀/4π) ∭ (j × (x-x')/‖x-x'‖³) dV'
where dV' = dxₓ' dx₝' dx₞'

方便起見，將位置差距改寫成移位，將積分單元挪到左邊。

Biot–Savart law:
B(x) = (μ₀/4π) ∭ {j dV' × r'/‖r'‖³}
where r' = x - x' and dV' = dxₓ' dx₝' dx₞'

當電流密度只存在於一條電線，可以把體積積分改寫成線積分。

補充說明。電流不是電流密度乘以體積，電流是電流密度乘以面積。電流不是線積分結果，電流是線積分對象。電流不是向量，電流是純量。電流沒有方向、不會流動。成為歷史共業。

Biot–Savart law for constant electric current:
B(x) = (μ₀/4π) ∫ {I dl × r'/‖r'‖³}
where dl is the direction vector at x'

當電線是無限長直線，可以把積分結果推導出來。

Biot–Savart law for infinite straight constant electric current:
B = μ₀I/2πd

B(x) = (μ₀/4π) ∫ {I dl × r'/‖r'‖³}
     = (μ₀/4π) ∫ {I dl -w/‖r'‖³}        r' = -(l+w) and l⟂w
     = (μ₀/4π) ∫ {I dl -w/sqrt(l²+w²)³}
     = (μ₀/4π) (I/sqrt(l²+w²))
     = μ₀I/2π‖r'‖

安培力定律：兩條平行電線的勞侖茲力。

Ampère's force law (force between two parallel currents):
F/L = μ₀I₁I₂/2πd

ρ: charge density               電荷密度
j: current density              電流密度
x: position                     位置
r: displacement                 移位＝位置－位置
I: electric current             電流＝電流密度Ｘ面積
π: 3.14159...                   圓周率
μ₀: permeability of free space  真空磁導率

安培力定律討論特殊情況：空間僅兩條直線有電力；空間處處有磁力，大致繞著直線旋轉。勞侖茲力討論一般情況：空間處處有電力、磁力。因此大家習慣直接討論勞侖茲力。

http://spmphysics.onlinetuition.com.my/2008/06/force-between-2-current-carrying.html
https://www.schoolphysics.co.uk/age16-19/Electricity%20and%20magnetism/Electromagnetism/text/Forces_between_currents/index.html
https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_II_-_Thermodynamics_Electricity_and_Magnetism_(OpenStax)/12%3A_Sources_of_Magnetic_Fields/12.04%3A__Magnetic_Force_between_Two_Parallel_Currents

electromagnetic induction

方才討論靜電場和靜磁場。此處討論動電場和動磁場。

電場變化（動電場）產生磁場，磁場變化（動磁場）產生電場，合稱電磁感應。

安培－馬克士威定律（動電場定律）：電生磁。電場變化等同磁場旋度。

Ampère–Maxwell law:
∇×B = μ₀j + ε₀μ₀ ∂/∂t E

ρ: charge density               電荷密度
j: current density              電流密度
ε₀: permittivity of free space  真空電容率
μ₀: permeability of free space  真空磁導率

法拉第定律（動磁場定律）：磁生電。磁場變化等同電場旋度。

Faraday's law:
∇×E = -k ∂/∂t B

k是物理常數，沒有特別取名，恰是1。源自電磁波方程式。

一、動電場定律、動磁場定律，兩式聯立，取旋度，得到電磁波方程式。其係數包含ε₀、μ₀、k。二、進行物理實驗，測量ε₀、μ₀。三、假定電磁波傳播速度是光速c。四、反向推導得到k=1。

electromagnetic wave equation:
∂²/∂t² B = (1/ε₀μ₀k) ∂²/∂x² B     where 1/(ε₀μ₀k) = c²

c: speed of light               光速

https://www.pas.rochester.edu/~stte/phy415F21/units/unit_1-3.pdf
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_18.html

electric energy

電動力學當中，大家只討論能量，不討論功率（能量變化）。

法拉第定律（動磁場定律）：磁場變化產生電能。

方便起見，引入積分，改寫成環路的電動勢、環面的磁通量。

Faraday's law:
∮E∙dl = - ∂/∂t ∫B∙dA

電動勢定義為電場與線段的點積。

electromotive force:
ℰ = ∫E∙dl

磁通量定義為磁場與面積的點積。

magnetic field flux:
𝛷 = ∫B∙dA

energy              能量　　　　　　　J = Nm
work                功＝能量差異　　　J = Nm
power               功率＝功／時間　　W = J/s
action              作用量＝功Ｘ時間　Js

electric field      電場　　　　　　　N/C
electromotive force 電動勢　　　　　　V = J/C
megnetic field      磁場　　　　　　　T = (J/C)s/m²
magnetic flux       磁通量　　　　　　Wb = (J/C)s

electric potential  電位＝位能／電荷　V = J/C
voltage             電壓＝電位差異　　V = J/C

補充說明。英文electromotive force，中文電動勢。定義是位能差異除以電荷（電位差異）。意義是每單位電荷的功。此詞彙源自Volta，被Maxwell引用。取名為力，其實是功。成為歷史共業。

electrical resistivity and conductivity

電動力學當中，介質稱作導體。

歐姆定律：帶電粒子運動，受到介質阻礙，速度下降一定比例。宛如庫侖摩擦定律，但是沒有區分動靜摩擦力，機制不同。

Ohm's law (electric current through conductor)
E = (1/σ) j

方便起見，將電阻率(1/σ)改寫電導率σ。

Ohm's law (electric current through conductor)
j = σ E

E: electric field            電場
j: current density           電流密度
1/σ: electrical resistivity  電阻率
σ: electrical conductivity   電導率

https://en.wikipedia.org/wiki/Drude_model

討論導體的情況下，帶電粒子設定為自由電子。自由電子的速度，稱作漂移速度。漂移速度通常很慢，一小時走一公尺。

方便起見，將電導率σ改寫電子遷移率μ，將電流密度j改寫成漂移速度v。

Ohm's law:
v = μ E

j = σE
j = ρv = qnv = qnμE
σ = qnμ
μ = σ/qn

μ: electron mobility         電子遷移率
v: drift velocity            漂移速度＝速度
j: current density           電流密度＝每單位體積的電荷速度
ρ: charge density            電荷密度＝每單位體積的電荷
n: charge carrier density    載子密度＝每單位體積的載子
q: charge per carrier        每單位載子的電荷（不是之前的q）

經典的微分方程式：magnetohydrodynamics

集大成。

Maxwell's equations                     電磁場
electromagnetic wave equation           電磁波
equation of motion of charged particle  電磁砲
induction equation                      電磁牆
magnetohydrodynamic equations           電磁流

Maxwell's equations

專著《A Student's Guide to Maxwell's Equations》。

「電磁方程組」。科學家們先後發現各式各樣的電磁關係式，由Maxwell集結成一套完整理論，由Heaviside精煉成散度與旋度。

大致來說：靜電場、靜磁場、動電場、動磁場、動量守恆、電荷守恆，隨便抓了幾個湊在一起。

⎧ ∇∙E = ρ/ε₀                Gauss's law
⎨ ∇∙B = 0
⎪ ∇×E = - ∂/∂t B            Faraday's law
⎩ ∇×B = μ₀j + ε₀μ₀ ∂/∂t E   Ampère–Maxwell law

這些定律都有兩種寫法：積分方程式、微分方程式。利用散度定理或旋度定理彼此轉換。

裡面摻了靜磁位勢條件∇∙B = 0，我不知道原因。我讀過的文獻都沒有提到原因。各位有空可以觀落陰問一下Maxwell。很多文獻稱之為高斯磁定律，但是這個名稱應該是後人瞎掰的。

Griffiths的電動力學教科書，利用必歐－沙伐定律、常數電流，強行推導∇∙B = 0。然而靜磁場才有常數電流，動磁場不見得有。

electromagnetic wave equation

「電磁波方程式」。電場振盪產生波。磁場隨之振盪產生波。

電／磁／波，其方向是右手四指／手掌／拇指。形成橫波。

電磁方程組取旋度，形成波動方程式，分為電場版本和磁場版本。電磁感應成立的情況下，兩個版本等價，實際上只有一道方程式。c是光速。

∂²/∂t² E = c² ∂²/∂x² E     where c² = 1/(ε₀μ₀)
∂²/∂t² B = c² ∂²/∂x² B

equation of motion of charged particle

「帶電粒子運動方程式」。運動方程式是力與各種物理量的方程式，此處討論帶電粒子。物理量是電荷、電場、速度、磁場。

F = q (E + v × B)

帶電粒子的力＝電場力＋磁場力。也有人整包稱作勞侖茲力。

方便起見，捨棄輻射反應力。其數值相對較小，無傷大雅。

F = Fele + Fmag
F = qEele + qEmag     define E = F/q
F = qE + q(v × B)     Lorentz's law: Emag = v × B
F = q (E + v × B)
f = ρ (E + v × B)     define f = F/V and ρ = q/V
f = ρE + (j × B)      define j = ρv

知名應用：磁軌砲、線圈砲、魔貫光殺砲。通稱電磁砲。

磁軌砲railgun:
https://science.howstuffworks.com/rail-gun.htm
https://sputnikglobe.com/20101216/161806525.html
https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:JGSDF_Railgun_01.png

線圈砲coilgun:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Coilgun_animation.gif
https://www.researchgate.net/figure/Structure-of-a-three-stage-coilgun_fig1_293112575

魔貫光殺砲special beam cannon:

（ﾟДﾟ）σ　弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌弌⊃

induction equation

「感應方程式」。重點在於將電阻改寫成磁擴散。

∂/∂t B - ∇×(v×B) - η∆B = 0     where η = 1/μ₀σ

∆B: magnetic diffusion       磁擴散
η:  magnetic diffusivity     磁擴散率

原理：帶電粒子運動方程式、歐姆定律、安培定律、法拉第定律，四式聯立。

方便起見，捨棄安培－馬克士威定律，採用安培定律。省略的那一項，數值相對較小，無傷大雅。

⎧ F = q (E + v × B)     equation of motion of charged particle
⎨ j = σ E               Ohm's law
⎪ ∇×B = μ₀j             Ampère's law
⎩ ∇×E = - ∂/∂t B        Faraday's law

F = q (E + v × B)                      equation of motion of charged particle
Eeff = E + v × B                       effective electric field
j = σ (E + v × B)                      apply Ohm's law
∇×B = μ₀σ (E + v × B)                  apply Ampère's law
E = (1/μ₀σ) ∇×B - v × B
∇×((1/μ₀σ) ∇×B - v × B) = - ∂/∂t B     apply Faraday's law
∂/∂t B + (1/μ₀σ) ∇×∇×B - ∇×(v×B) = 0
∂/∂t B - (1/μ₀σ) ∆B - ∇×(v×B) = 0      since ∇×∇×B = -∆B

magnetohydrodynamic equations（MHD equations）

專著《Introduction to Modern Magnetohydrodynamics》。

「磁流體方程組」。省略動力學三字。帶電粒子流動，產生電磁場。用於模擬電漿運動，例如晶圓蝕刻、太陽風與磁暴。

⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0            conservation of charge
⎪ ∂/∂t ρv + ∇∙(ρv⊗v)             conservation of current
⎪  - ρE - j×B + ρg + ∇P + ∇∙σ = 0
⎨ ∂/∂t ρe + ∇∙(ρev)              conservation of energy
⎪  - ρE∙v - j×B∙v + ρg∙v + ∇∙(Pv) + ∇∙(σ∙v) = 0
⎪ ∂/∂t (Pρ⁻ᵞ) = 0                adiabatic process (γ = 5/3)
⎪ ∂/∂t B - ∇×(v×B) - η∆B = 0     induction equation (η = 1/μ₀σ)
⎩ ∇∙B = 0

原理：電荷密度連續方程式（電荷守恆）、電流密度連續方程式（電流守恆）、電能密度連續方程式（電能守恆）、電磁方程組（電磁感應）、帶電粒子運動方程式（電力）、理想氣體狀態方程式之絕熱過程（壓力）、歐姆定律（應力），通通聯立。

電力包含電場力（庫侖力）、磁場力（勞侖茲力）。電流守恆考慮電場力密度ρE、磁場力密度j×B。作為恢復力則帶負號。

另外，當重力不再是常數函數，將重力改寫成重力位勢。

g = ∇φ

游離氣體，英文「plasma」，日文「電離気体」，繁中「電漿」，簡中「等离子体」。

講義《Astrophysical and Space Plasma Simulations》。

物質狀態分為固體、液體、氣體、電漿。柔體方程組描述固體運動，流體方程組描述氣體運動和液體運動，磁流體方程組描述電漿運動。這下全都講一遍了。

專著《Introduction to Computational Astrophysical Hydrodynamics》。

ideal MHD equations

專著《Computational Methods in Plasma Physics》。

「理想磁流體方程組」。追加限制條件：完美導體。

現實世界沒有完美導體。主要用來簡化方程組。

完美導體：無視電阻。電導率σ趨近無限大，電場E趨近零。

perfect conductor (ideal conductor):
σ→∞ and E→0

https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Electro-Optics/Book:_Electromagnetics_I_(Ellingson)/06:_Steady_Current_and_Conductivity/6.03:_Conductivity

理想歐姆定律：無視電阻。

ideal Ohm's law:
E + v × B = 0

F = q (E + v × B)                equation of motion of charged particle
Eeff = E + v × B                 effective electric field
j = σ (E + v × B)                apply Ohm's law
j/σ = E + v × B                  
0 = E + v × B                    perfect conductor: σ→∞

https://warwick.ac.uk/fac/sci/physics/research/cfsa/people/valery/teaching/khu_mhd/KHU_mhd_handout.pdf

理想感應方程式：無視電阻。無視磁擴散。

ideal induction equation:
∂/∂t B - ∇×(v×B) = 0

理想磁流體方程組：無視電阻。無視電場力、磁擴散。

ideal MHD equations:
⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0            conservation of charge
⎪ ∂/∂t ρv + ∇∙(ρv⊗v)             conservation of current
⎪  - j×B + ρg + ∇P + ∇∙σ = 0
⎨ ∂/∂t ρe + ∇∙(ρev)              conservation of energy
⎪  - j×B∙v + ρg∙v + ∇∙(Pv) + ∇∙(σ∙v) = 0
⎪ ∂/∂t (Pρ⁻ᵞ) = 0                adiabatic process (γ = 5/3)
⎪ ∂/∂t B - ∇×(v×B) = 0           ideal induction equation
⎩ ∇∙B = 0

方便起見，將電流j改寫成磁場B，減少未知函數。

ideal MHD equations:
⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
⎪ ∂/∂t ρv + ∇∙(ρv⊗v)
⎪  + ∇(½(B∙B)/μ₀) - ∇∙((B⊗B)/μ₀) + ρg + ∇P + ∇∙σ = 0
⎨ ∂/∂t ρe + ∇∙(ρev)
⎪  + ∇∙((½(B∙B)/μ₀)v) - ∇∙((B⊗B)/μ₀)∙v + ρg∙v + ∇∙(Pv) + ∇∙(σ∙v) = 0
⎪ ∂/∂t (Pρ⁻ᵞ) = 0
⎪ ∂/∂t B - ∇×(v×B) - η∆B = 0
⎩ ∇∙B = 0

magnetic pressure:
½(B∙B)/μ₀

magnetic stress:
(B⊗B)/μ₀

方便起見，改寫成守恆律，以便使用有限體積法。

梯度、旋度，一律改寫成散度。

ideal MHD equations:
⎧ ∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
⎪ ∂/∂t ρv + ∇∙(ρv⊗v + ½(B∙B)I/μ₀ - (B⊗B)/μ₀ + ρφI + PI + σ) = 0
⎨ ∂/∂t ρe + ∇∙(ρev + (½(B∙B)/μ₀)v - ((B⊗B)/μ₀)∙v + ρφv + Pv + σ∙v) = 0
⎪ ∂/∂t (Pρ⁻ᵞ) = 0
⎪ ∂/∂t B + ∇∙(v⊗B - B⊗v - η∇B) = 0
⎩ ∇∙B = 0

∇P = ∇∙(PI)   where I is identity matrix
∇×(v×B) = ∇∙(B⊗v - v⊗B)

最後推導一下磁壓力和磁應力。

無視電場力密度ρE。考慮磁場力密度j×B。

Lorentz force density:
f = j × B

方便起見，捨棄安培－馬克士威定律，採用安培定律。

Ampère's law:
μ₀j = ∇×B

磁場力密度可以拆成兩項：磁壓力、磁應力。

磁應力作為摩擦力則帶負號。

(μ₀j)×B = (∇×B)×B
j×B = ((∇×B)×B)/μ₀
-j×B = (B×(∇×B))/μ₀
-j×B = (½∇(B∙B) - B∙∇B)/μ₀
-j×B = ∇(½(B∙B)/μ₀) - (B∙∇B)/μ₀
-j×B = ∇(½(B∙B)/μ₀) - ∇∙(B⊗B)/μ₀   when ∇∙B = 0

Lorentz force density:
j×B

force density from pressure:
∇(½(B∙B)/μ₀)

force density from stress:
(B∙∇B)/μ₀

force density from stress (under magnetostatics):
(B∙∇B)/μ₀ = ∇∙(B⊗B)/μ₀    when ∇∙B = 0

magnetic pressure:
½(B∙B)/μ₀

magnetic stress:
(B⊗B)/μ₀

使用了兩道數學公式。

½∇(B∙B) = B×(∇×B) + B∙∇B

∇∙(B⊗B) = (B∙∇)B + B(∇∙B)
∇∙(B⊗B) = B∙∇B            when ∇∙B = 0

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities

adiabatic process

專著《Magnetohydrodynamics of Laboratory and Astrophysical Plasmas》。

絕熱過程是熱能沒有轉移、熱能處處不變。磁流體方程組當中，絕熱過程用來描述壓力P。

Pρ⁻ᵞ = P/ρᵞ = constant         adiabatic process
∂/∂t (Pρ⁻ᵞ) = 0                adiabatic process

我們可以追加限制條件，例如等壓過程、等容過程、等溫過程、等熵過程，以便簡化方程組。

如果是等容過程，存在關係式P = (γ-1)ρeᵢ。將壓力P改寫成密度ρ和比內能eᵢ，減少未知函數。

P = (γ-1)ρeᵢ

如果是等溫過程，熱能守恆且等溫過程則熵守恆。將絕熱過程改寫成熵守恆，無法減少未知函數，並沒有甚麼卵用。

∂/∂t ρs + ∇∙(ρsv) = 0          conservation of entropy
s = cᵥ ln(Pρ⁻ᵞ) + constant     specific entropy

經典的微分方程式：electric circuit dynamics

引入網路。

capacitor:   Volta's law of capacitance    電容器
inductor:    Faraday's law of inductance   電感器
resistor:    Ohm's law of resistance       電阻器
circuit:     Kirchhoff's circuit laws      電路
RLC circuit: RLC circuit equations         RLC電路

RLC circuit equation

電路元件：此處討論電荷、電壓、電流。

q(t)  electric charge
v(t)  voltage
i(t)  electric current

電容器：其大小是電容C。其公式稱作伏打定律。

i(t) = C d/dt v(t)     Volta's law of capacitance

⎰ v(t) = q(t) / C      Volta's law of capacitance
⎱ i(t) = d/dt q(t)     electric current

=> i(t) = C d/dt v(t)

電感器：其大小是電感L。其公式源自法拉第定律。

v(t) = L d/dt i(t)     Faraday's law of inductance

⎰ 𝛷 = L i(t)           Faraday's law
⎱ ℰ = - d/dt 𝛷         Lenz's law

=> ℰ = -L d/dt i(t)
=> v(t) = L d/dt i(t)

電阻器：其大小是電阻R。其公式源自歐姆定律。

v(t) = R i(t)          Ohm's law of resistance

⎧ j = σE               Ohm's law
⎨ V = ∫E·dl = El       electric field
⎩ I = ∫j·dA = jA       current density
                       (in uniformly charged straight wire)
=> V = Il/Aσ
=> V = IR              let R = l/Aσ
=> v(t) = R i(t)

電路：電線添上電容器、電感器、電阻器、……各種電路元件，藉此調整電流和電壓。

電壓定律：迴路的所有電位差異總和為零。源自電荷守恆。

電流定律：節點的所有出入電流總和為零。源自電力平衡。

Kirchhoff's voltage law:
sum Vᵢ = 0 for every loop

Kirchhoff's current law:
sum Iᵢ = 0 for every junction

RLC電路：電阻器、電感器、電容器，各一個組成的電路。

此處討論串聯電路、並聯電路。源自電壓定律、電流定律。

series RLC circuit equation:
v(t) = L d/dt i(t) + R i(t) + (1/C) ∫i(t)dt

parallel RLC circuit equation:
i(t) = C d/dt v(t) + (1/R) v(t) + (1/L) ∫v(t)dt

series RLC circuit equation:
d/dt v(t) = L d²/dt² i(t) + R d/dt i(t) + (1/C) i(t)

parallel RLC circuit equation:
d/dt i(t) = C d²/dt² v(t) + (1/R) d/dt v(t) + (1/L) v(t)

經典的微分方程式：chemical kinetics

引入反應式。

(1) production / decay
(2) open system / close system
(3) Michaelis–Menten equation
(4) self-activation / self-repression

chemical reaction network

chemical reaction network / stoichiometry matrix

反應速度取決於當前濃度。

production and decay

production:

 k
───→ A

ȧ = k
a(t) = a(0) + kt

decay:

        k
     A ───→

ȧ = -k a
a(t) = a(0) exp(-kt)

steady state:

ȧₛₛ = -k aₛₛ = 0
aₛₛ = 0

production and decay:

 k₀     k₁
───→ A ───→

ȧ = k₀ - k₁ a
a(t) = (a(0) - k₀/k₁) exp(-k₁t) + k₀/k₁

steady state:

ȧₛₛ = k₀ - k₁ aₛₛ = 0
aₛₛ = k₀/k₁

closed system

irreversible conversion:

   k
A ───→ B

⎰ ȧ = -k a
⎱ ḃ =  k a

closed system:

ȧ + ḃ = 0

reversible conversion:

   k₁
A ⇌⇌⇌ B
   k₋₁

⎰ ȧ = -k₁ a + k₋₁ b
⎱ ḃ =  k₁ a - k₋₁ b

closed system:

ȧ + ḃ = 0

open system

interaction with decay:

   k₁     k₂
A ⇌⇌⇌ B ───→     (k₁ + k₋₁ >> k₂)
   k₋₁

⎰ ȧ = -k₁ a + k₋₁ b
⎱ ḃ =  k₁ a - k₋₁ b - k₂ b

rapid equilibrium assumption:

a and b rapidly become and remain steady states.
b̃/ã = k₁/k₋₁

equivalent model:

   k₂k₁/(k₁+k₋₁)
C ──────────────→

c̃ = ã + b̃

interaction with production and decay:

 k₀     k₁     k₂
───→ A ⇌⇌⇌ B ───→     (k₁ + k₋₁ >> k₂)
        k₋₁

⎰ ȧ =  k₀ - k₁ a + k₋₁ b
⎱ ḃ =  k₁ a - k₋₁ b - k₂ b

quasi-steady state assumption:

a is always steady state respect to b
aₛₛ/bₛₛ = k₁/(k₋₁+k₂)

cooperativity

Michaelis–Menten equation:

       k₁
P + X ⇌⇌⇌ PX
       k₋₁

    number of occupied binding sites
Y = ————————————————————————————————
      total number of binding sites

       [PX]
  = ——————————
    [P] + [PX]

      [X]
  = —————————     where Kₛₛ = k₋₁/k₁ = [P][X]/[PX]
    Kₛₛ + [X]

Adair equation:

        4k₁
P + X₁ ⇌⇌⇌ PX₁
        k₋₁

        3k₂
P + X₂ ⇌⇌⇌ PX₂
        2k₋₂

        2k₃
P + X₃ ⇄⇄⇄ PX₃
        3k₋₃

        k₄
P + X₄ ⇌⇌⇌ PX₄
        4k₋₄

    number of occupied binding sites
Y = ————————————————————————————————
      total number of binding sites

        1[PX₁] + 2[PX₂] + 3[PX₃] + 4[PX₄]
  = ——————————————————————————————————————————
    4([P] + 1[PX₁] + 2[PX₂] + 3[PX₃] + 4[PX₄])

       [X]/K₁ + 3[X]²/K₁K₂ + 3[X]³/K₁K₂K₃ + [X]⁴/K₁K₂K₃K₄
  = ———————————————————————————————————————————————————————
    1 + 4[X]/K₁ + 6[X]²/K₁K₂ + 4[X]³/K₁K₂K₃ + [X]⁴/K₁K₂K₃K₄

Hill equation:

      [X]⁴/K₁K₂K₃K₄
Y ≈ —————————————————   when K₄ << K₁,K₂,K₃
    1 + [X]⁴/K₁K₂K₃K₄

      ([X]/K)⁴       [X]⁴
Y ≈ ———————————— = —————————
    1 + ([X]/K)⁴   K⁴ + [X]⁴

interconversion

Goldbeter–Koshland kinetics:

         4a₁      k₁
Zp + Ex ⇌⇌⇌ C₁ ───→ Z + Ex
         a₋₁

         4a₂      k₂
Zp + Ey ⇌⇌⇌ C₂ ───→ Z + Ey
         a₋₂

       X
    k₁ ↓
Zp ⇌⇌⇌⇌⇌⇌ Z
    k₂ ↑
       Y

transport: diffusion

diffusion:

A ←─→ B

⎰ ȧ = -D(a-b)/V₁
⎱ ḃ =  D(a-b)/V₂

V: volume
D: diffusion rate

inhibition

inhibition:

     n₁
k₁│⊢----🮢 │k₂
  ↓      ╲↓
  A──────→B
k₃│  k₅   │k₄
  ↓       ↓

⎰ ȧ = k₁/(1 + (b/K₂)ⁿ¹) - k₃a - k₅a
⎱ ḃ = k₂                - k₄b + k₅a

n: inhibition rate

cross-inhibition:

   n₁   n₂
k₁│⊢-🮢 🮣-⊣│k₂
  ↓   ╳   ↓
  A--🮠 🮡--B
k₃│       │k₄
  ↓       ↓

⎰ ȧ = k₁/(1 + (b/K₂)ⁿ¹) - k₃a
⎱ ḃ = k₂/(1 + (a/K₁)ⁿ²) - k₄b

n: inhibition rate

gene toggle switch

bistable

Collins toggle switch [Gardner et al. 2000]:

           ┌─→ protein1---┐⊢--inducer1
           │              ⊥
         gene1          gene2
           ⊤              │
inducer2--⊣└---protein2 ←─┘

⎰ ȧ = α₁/(1+aⁿ¹) - δ₁a
⎱ ḃ = α₂/(1+aⁿ²) - δ₂b

⎰ ȧ = F₁(a,b) - δ₁a
⎱ ḃ = F₂(a,b) - δ₂b

oscillator

Goodwin oscillator:

      ┌── Y (protein) ←─┐
      ↓                 │
Z (metabolite)       X (mRNA)
      ╎                 ↑
      └----⊣ gene ──────┘

⎧ ẋ = a/(kⁿ+zⁿ) - bx
⎨ ẏ = cx - dy
⎩ ż = ey - fz

Elowitz–Leibler repressilator:

    ┌─→ repressor1---┐
    │                ⊥
  gene1            gene2
    ⊤                │
    ╎                ↓
repressor3       repressor2
    ↑                ╎ ╎
    └─── gene3 ⊢----─┘ └-----⊣ reporter gene

⎧ ṁ₁ = α₀ + α/(1+p₃ⁿ) - m₁
⎪ ṁ₂ = α₀ + α/(1+p₁ⁿ) - m₂
⎨ ṁ₃ = α₀ + α/(1+p₂ⁿ) - m₃
⎪ ṗ₁ = β(m₁ - p₁)
⎪ ṗ₂ = β(m₂ - p₂)
⎩ ṗ₃ = β(m₃ - p₃)

feedback

autocatalysis (self-activation):

              δ
      ┌────A ──→
      ↓    ↑
gene ──────┘

        a/K
ȧ = α ——————— - δ a
      1 + a/K   ^^^ degrade

autoinhibition (self-repression):

              δ
      ┌─---A ──→
      ⊥    ↑
gene ──────┘

         1
ȧ = α ——————— - δ a
      1 + a/K

經典的微分方程式：statistical mechanics

引入頻率分布。

Boltzmann's equation              粒子運輸
Vlasov's equation                 電漿運輸

distribution function

分布函數：特定時刻、特定位置、特定速度的粒子數量。

濃度：特定時刻、特定位置的粒子數量。分布函數，窮舉各種速度，累加粒子數量。

速度：特定時刻、特定位置，所有粒子的平均速度。

f(t,x,v)                              distribution function
ρ(t,x) = ∭ f(t,x,v) dv                density
v(t,x) = (∭ v f(t,x,v) dv) / ρ(t,x)   velocity

有些文獻改變統計對象，速度v改成動量p = mv。意義相同。

f(t,x,p)                              distribution function

Boltzmann's equation

「粒子運輸方程式」。分布函數時間變化量＝碰撞次數。

df/dt = collision(∂f/∂t)
^^^^^
total derivative

分布函數時間變化量，套用微分連鎖律，拆開成三項。

∂f/∂t + dx/dt ∂f/∂x + dv/dt ∂f/∂v = collision(∂f/∂t)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
        total derivative

流動是其中兩項。

∂f/∂t + dx/dt ∂f/∂x + dv/dt ∂f/∂v = collision(∂f/∂t)
        ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
            streaming(∂f/∂t)

streaming(∂f/∂t) = dx/dt ∂f/∂x + dv/dt ∂f/∂v
                 = ẋ ∂f/∂x + v̇ ∂f/∂v
                 = v ∂f/∂x + a ∂f/∂v

有些文獻改變統計對象，速度v改成動量p = mv。意義相同。

streamming(∂f/∂t) = dx/dt ∂f/∂x + dp/dt ∂f/∂p
                  = ẋ ∂f/∂x + ṗ ∂f/∂p

  dv/dt ∂f/∂v
= a     ∂f/∂v
= F/m   ∂f/∂v
= F     ∂f/∂(mv)     m is constant
= dp/dt ∂f/∂p

碰撞有許多物理模型。此處省略。

collision(∂f/∂t) = ......

Vlasov's equation

即是collisionless Boltzmann's equation。沒有碰撞。

df/dt = collision(∂f/∂t)
        ^^^^^^^^^^^^^^^^
              = 0

∂f/∂t + ẋ ∂f/∂x + v̇ ∂f/∂v = 0

∂f/∂t + ẋ ∂f/∂x + ṗ ∂f/∂p = 0

total derivative

順便介紹「全導數」。兩套定義。

數學：函數與泛函數分開討論。泛函數才有全導數。

物理學：一切變數視作函數。變數＝函數＝泛函數。

數學定義
一、函數微分：
　甲、函數對一個輸入變數微分。得到partial derivative。
　當輸入變數只有一個，偏微分符號被強行改寫成全微分符號。其實大可不必。
二、泛函數微分：
　甲、泛函數對一個輸入函數微分。得到partial derivative。
　乙、泛函數對（每一個輸入函數的）一個輸入變數微分。得到total derivative。
　當輸入函數只有一個，偏微分恰是全微分。

物理學定義
一、函數微分：
　甲、函數對一個輸入變數微分。得到partial derivative。
　乙、函數對每一個輸入變數微分。得到total derivative。
　當變數不相關，偏微分結果定義為零。

全導數的數學式子，本質是遞迴公式。

數學：連鎖律（內全外偏）、再加總。

物理學：輸入變數包含所有變數，但是微分結果大多是零。

total derivative (in mathematics):

d                   ⎛d   ⎞ ⎛∂                ⎞
—— f(t,x(t),v(t)) = ⎜—— t⎟ ⎜—— f(t,x(t),v(t))⎟
dt                  ⎝dt  ⎠ ⎝∂t               ⎠

                    ⎛d      ⎞ ⎛∂                   ⎞
                  + ⎜—— x(t)⎟ ⎜————— f(t,x(t),v(t))⎟
                    ⎝dt     ⎠ ⎝∂x(t)               ⎠

                    ⎛d      ⎞ ⎛∂                   ⎞
                  + ⎜—— v(t)⎟ ⎜————— f(t,x(t),v(t))⎟
                    ⎝dt     ⎠ ⎝∂v(t)               ⎠
                    ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                      total          partial
                    derivative      derivative

total derivative (in physics):

d             d
—— f(t,x,v) = —— f(t(…), x(…), v(…))   everything can be input
dt            dt                       t(…) = t(t,x,v,f,…)

              d
            = —— f(t(t), x(t), v(t))   select t as input
              dt

              dt ∂f   dx ∂f   dv ∂f          dt
            = —— —— + —— —— + —— ——    where —— = 1
              dt ∂t   dt ∂x   dt ∂v          dt

input variables are everything. however,
if the coefficient is zero, then the derivative is zero.

遞迴公式必須定義初始值。遞迴公式展開到源頭，出現了變數全導數、函數全導數，均未定義。

方便起見，變數全導數定義為1或0。一個變數對相同變數全微分，定義為1；一個變數對相異變數全微分，定義為0。方便起見，函數全導數仿照泛函數全導數。這就好比次方運算將a⁰定義為1、泰勒級數將0!定義為1。

initial condition of total derivative:

d
—— t ≜ 1
dt

d
—— t ≜ 0
ds

順帶一提，古人分不清楚全導數和物質導數。兩者其實無關。

今人對全導數的認知，主要源自物理學。成為歷史共業。

partial derivative

順便介紹「偏導數」。

數學：對其中一個輸入變數微分，其餘輸入變數視作定值。

物理學：習慣省略括號。函數省略括號不會產生誤解，泛函數省略括號就會產生誤解。例如下方範例，請自行省略括號。

example:

f(t,x,a(t,x)) = t² a(t,x)

total derivative:

d                  ⎛d   ⎞ ⎛∂               ⎞
—— f(t,x,a(t,x)) = ⎜—— t⎟ ⎜—— f(t,x,a(t,x))⎟
dt                 ⎝dt  ⎠ ⎝∂t              ⎠
                          ^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                   must NOT apply production rule
                   since a(t,x) is treated as constant
                   in partial derivative with respect to t

                   ⎛d   ⎞ ⎛∂               ⎞
                 + ⎜—— x⎟ ⎜—— f(t,x,a(t,x))⎟
                   ⎝dt  ⎠ ⎝∂x              ⎠

                   ⎛d        ⎞ ⎛∂                    ⎞
                 + ⎜—— a(t,x)⎟ ⎜——————— f(t,x,a(t,x))⎟
                   ⎝dt       ⎠ ⎝∂a(t,x)              ⎠

the wrong way:

∂                  ∂
—— f(t,x,a(t,x)) = —— t² a(t,x)
∂t                 ∂t

                   ⎛∂    ⎞             ⎛∂        ⎞
                 = ⎜—— t²⎟ a(t,x) + t² ⎜—— a(t,x)⎟
                   ⎝∂t   ⎠             ⎝∂t       ⎠
                   ^^^^^^^^^^^^^^   ^^^^^^^^^^^^^^
                   apply production rule
                   since t² and a(t,x) are function of t

詳情請見這個討論串：

順帶一提，各種偏導數，併成向量，得到梯度。

今人對偏導數的認知，主要源自物理學。成為歷史共業。

經典的微分方程式：quantum mechanics

引入機率密度函數。

Schrödinger's equation            波粒對偶
Heisenberg's equation of motion   波粒對偶

wave function

專著《Introduction to Quantum Mechanics》。

機率密度函數（實數）、機率振幅函數（複數）。

probability density function p(x)
probability amplitude function ψ(x)

axiom of probability:

⌠+∞
⎮   p(x) dx = 1 
⌡-∞

axiom of probability:

⌠+∞
⎮   |ψ(x)|² dx = 1
⌡-∞

ψ(x)                    complex
ψ*(x)                   complex conjugate
|ψ(x)|² = ψ*(x) ψ(x)    squared magnitude

波函數（引入時空變數）。

wave function Ψ(t,x)

axioms of probability:

⌠+∞
⎮   |Ψ(t,x)|² dx = 1   for all t
⌡-∞

time-invariance:

∂  ⌠+∞
—— ⎮   |Ψ(t,x)|² dx = 0
∂t ⌡-∞

位置期望值、動量期望值。

expected value of
position ⟨x⟩ = ∫ x |Ψ|² dx = ∫ Ψ* x Ψ dx
momentum ⟨p⟩ = -𝑖ℏ ∫ Ψ* ∇Ψ dx = ∫ Ψ* (-𝑖ℏ∇) Ψ dx

velocity ⟨v⟩ = ∂/∂t ⟨x⟩ = ⟨p⟩/m
force    ⟨f⟩ = ∂/∂t ⟨p⟩ = ⟨-∂/∂x U⟩ = ⟨-∇U⟩

位置算子、動量算子。

position operator x̂ = x               乘以x
momentum operator p̂ = -𝑖ℏ ∂/∂x = -𝑖ℏ∇  對x微分、乘上-𝑖ℏ

動能算子、位能算子、漢米爾頓算子。

kinetic energy operator   K̂ = p̂²/2m = (-ℏ²/2m)∇²
potential energy operator Û = U
Hamiliton operator        Ĥ = K̂ + Û = (-ℏ²/2m)∇² + U

時間算子、能量算子。並不存在。

time operator             t̂ = t        ✘
energy operator           Ê = 𝑖ℏ ∂/∂t   ✘

機率振幅函數不存在於時間，只存在於空間。沿時間座標軸形成deterministic process，沿空間座標軸形成stochastic variable。沒有時間算子，只有位置算子。儘管可以推廣，讓機率振幅函數同時存在於時間與空間（聯合機率分布），但是這不屬於量子力學的範疇。

https://physics.stackexchange.com/questions/17477/
https://physics.stackexchange.com/questions/220697/
https://physics.stackexchange.com/questions/34243/

Schrödinger's equation

「量子波動方程式」。能量＝動能＋位能。

Schrödinger's equation:

𝑖ℏ ∂/∂t ψ = Ĥ ψ

Schrödinger's equation:

Ê Ψ = Ĥ Ψ     however energy operator does not exist

operator:

Ê = Ĥ         however this is not a functional equation

期望值：機械能守恆。

expected value:

∫ Ψ* Ê Ψ dx = ∫ Ψ* Ĥ Ψ dx   conservation of mechanical energy:
^^^^^^^^^^^   ^^^^^^^^^^^
     0         ⟨T⟩ + ⟨U⟩

其他寫法。

∂/∂t ψ = -(𝑖/ℏ) Ĥ ψ

∂/∂t ψ = (𝑖ℏ/2m) ∂²/∂x² ψ - (𝑖/ℏ) U ψ

∂ψ   𝑖ℏ  ∂²ψ    𝑖
—— = ——  ——— - — U ψ
∂t   2m  ∂x²   ℏ

h是物理常數，稱作普朗克常數。源自氫原子光譜實驗。

E = hν = h(c/λ)                   Planck's law
h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ (m²kg/s)   Planck constant
ℏ = h/2π                          reduced Planck constant

特徵問題。

phase rotation equation ḟ = 𝑖f
heat equation           ḟ = ∆f
Schrödinger's equation  ḟ = (-𝑖∇² + U)f

Heisenberg's equation of motion

剛才觀察特定時刻的機率密度函數。寫成算子。

physical quantity (at time t₀):
A

probability density function:
Ψ* A Ψ

expected value:
⟨A⟩ = ∫ Ψ* A Ψ dx

operator:
Â

現在觀察每個時刻的機率密度函數。寫成算子。

time-evolution function:
U(t)

where U is unitary i.e. U* U = I
      U* is conjugate transpose of U

physical quantity (after some time t₀+t):
A(t) = U⁺(t) A U(t)

where U⁺ is pseudoinverse of U
      A' = U⁺ A U is coordinate transformation

probability density function:
Ψ* U⁺(t) A U(t) Ψ dx

expected value:
⟨A(t)⟩ = ∫ Ψ* U⁺(t) A U(t) Ψ dx

operator:
Â(t)

「海森堡運動方程式」。機率密度函數對時間微分。寫成算子。

Heisenberg's equation of motion:
d/dt  = (𝑖/ℏ) [Â,Ĥ] + hat(∂/∂t A)     skip (t)

where [A,B] is commutator

時間獨立：物理量不隨時間而變。守恆。

全微等於偏微：物理量運輸時不生不滅，但是有源匯。【尚待確認】

time-independent physical quantity:
∂/∂t A(t) = 0

time-independent operator:
A(t) = U⁺(t-t₀) A(t₀) U(t-t₀)   for any t₀

time-independent Heisenberg's equation of motion:
d/dt  = (𝑖/ℏ) [Â,Ĥ]

e.g. position operator and momentum operator:
d/dt x̂ = (𝑖/ℏ) [x̂,Ĥ]
d/dt p̂ = (𝑖/ℏ) [p̂,Ĥ]

物理量守恆。

first integral:
[Â,Ĥ] = 0

e.g. conservation of mechanical energy:
[Ĥ,Ĥ] = 0

經典的微分方程式：singularity

符號解的特殊例外狀況。

(0) singularity                 函數值不符合定義之處
    loss of regularity          函數值不符合定義之處的產生
    propagation of singularity  函數值不符合定義之處的傳播

常見的兩個細類。

(1) pole                        函數值正負無限大之處
    blowup                      函數值正負無限大之處的產生
    pole dynamics               函數值正負無限大之處的傳播
(2) jump                        函數值不連續之處
    breakdown                   函數值不連續之處的產生
    shock dynamics              函數值不連續之處的傳播

奇點：不符合預設數學定義之處。不具備預設數學性質之處。

例如正負無限大之處（受限性喪失）、不連續之處（零階連續性喪失）、不可微之處（一階連續性喪失）、平滑程度下降之處（連續性喪失）。簡單來說，奇點就是「例外」的意思。

產生：符號解於某個時刻，突然出現奇點。

傳播：奇點隨著時間增生、消逝、改變位置。

一次微分方程式，奇點不增不減。最初有多少奇點，往後就有多少奇點。非一次微分方程式，則是數學界的大難題。

Hörmander's theorem:
一次微分方程式，奇點沿著characteristics移動，且不增不減。

奇點難以放進章節目錄。畢竟是奇點。

經典的微分方程式：blowup

爆開：符號解於某個時刻，產生正負無限大之處，不再受限。

爆開時刻趨近無限大，缺乏討論意義。爆開時刻不是無限大，才有討論意義，稱作finite-time blowup。

此處討論一個簡單的微分方程式。

differential equation:
fₜ = f²

initial condition:
f(0) = f₀ > 0

solution:
f(t) = f₀ / (1 - f₀t)

blowup time:
T = 1/f₀

經典的微分方程式：breakdown

斷裂：符號解於某個時刻，產生不連續之處，不再連續。

Hopf's equation           fₜ + f fₓ = 0
traffic-flow equation     fₜ + (f(1-f))ₓ = 0

斷裂時間：兔追上龜的時間。

地球物理流體動力學稱作wave breaking time。磁流體動力學稱作shock formation time。

wave breaking time
https://math.stackexchange.com/questions/1207051/

特徵線法，求得各處速度。窮舉兩兩地點，求得相遇時間，取最小值。

震（衝擊）：斷裂導致的斷面。

補充說明。此詞彙的意義接近中文的「浪」和「湧」。我推測，因為英文沒有浪和涌的對應詞彙，所以英文只好採用shock。

Hopf's equation

traffic-flow equation

交通車流。車輛不會互相穿越，整個過程都是函數。

Lighthill–Whitham–Richards model。

經典的微分方程式：soliton

行波：符號解處處等速移動。導致造型不變。

孤波：行波，而且不是週期函數。有人稱作局部行波。

Hopf's equation             fₜ + f fₓ = 0
Burgers's equation          fₜ + f fₓ + fₓₓ = 0
Korteweg–de Vries equation  fₜ + f fₓ + fₓₓₓ = 0
wave equation               fₜₜ = fₓₓ
sine-Gordon equation        fₜₜ = fₓₓ + sin(f)
Boussinesq's equation       fₜₜ = fₓₓ + fₓₓₓₓ + (f²)ₓₓ

孤波擬設：推定符號解是孤波。

soliton ansatz:
f(t,x) = ψ(x-ct)

N孤波擬設：推定符號解是N種孤波疊合，而且各自造型不變。雖然相逢之時造型產生變化，但是離別之後造型回復原狀。

一次微分方程式，N孤波缺乏討論意義。齊次則無限多解。非齊次則無解。

非一次微分方程式，N孤波具備獨特造型。已有各種解題技巧，但是我沒有研究。

n-soliton ansatz:
?????

孤波擬設必須搭配邊界條件：令空間無限遠處函數值趨近定值。如此才是孤波，否則只是行波。

boundary condition for soliton ansatz:
f(t,x) = f₋ when x → -∞
f(t,x) = f₊ when x → +∞

Hopf's equation（inviscid Burgers's equation）

空間項是未知函數平方再微分。兩種寫法。

fₜ + f fₓ = 0

fₜ + ½(f²)ₓ = 0

符號解：特徵線法。越高越快。請見後面章節conservation law。

孤波：不存在。越高越快，無法維持原本造型。

Burgers's equation

Hopf's equation追加二次微分項。

大家習慣添上擴散係數ν。作為摩擦力則帶負號。

fₜ + f fₓ - ν fₓₓ = 0

符號解：利用Cole–Hopf transformation化作熱傳導方程式。

孤波：S形函數tanh()。宛如洪水侵襲。

Burgers's equation:
fₜ + f fₓ - ν fₓₓ = 0

soliton ansatz:
f(t,x) = ψ(x-ct)

boundary condition:
f(t,x) = f₋ and fₓ(t,x) = 0 when x→-∞
f(t,x) = f₊ and fₓ(t,x) = 0 when x→+∞

solution:
f(t,x) = A - B tanh(½(B/ν)(x-ct + C))

A = (f₋ + f₊) / 2
B = (f₋ - f₊) / 2
C = arbitrary constant

   f = ψ(z)                           let z = x - ct
   ⎧ fₜ  = -c ψ′(z)
=> ⎨ fₓ  = ψ′(z)                      derivatives
   ⎩ fₓₓ = ψ″(z)
=> -cψ′ + ψ ψ′ - νψ″ = 0              substitution
=> -cψ + ½ψ² - νψ′ = K                integration
=> -Aψ + ½ψ² - νψ′ = K                boundary condition
=> ψ(z) = A - B tanh(½(B/ν)z + C)     handbook

c = A
K = f₋ f₊ / 2

Korteweg–de Vries equation

Hopf's equation追加三次微分項。

大家習慣添上係數-6。

fₜ - 6 f fₓ + fₓₓₓ = 0

符號解：cnoidal wave。

孤波：鐘形函數sech()。

Korteweg-de Vries equation (skip coefficients):
fₜ + f fₓ + fₓₓₓ = 0

soliton ansatz:
f(t,x) = ψ(x-ct)

boundary condition:
f(t,x) = fₓ(t,x) = fₓₓ(t,x) = 0 when x→±∞

solution:
f(t,x) = A sech²(B(x-ct) + C)

A = 3c
B = ½√c
C = arbitrary constant

   f = ψ(z)                           let z = x - ct
   ⎧ fₜ   = -c ψ′(z)
=> ⎨ fₓ   = ψ′(z)                     derivatives
   ⎩ fₓₓₓ = ψ‴(z)
=> -cψ′ + ψ ψ′ + ψ‴ = 0               substitution
=> -cψ + ½ψ² + ψ″ = K                 integration
=> -cψ + ½ψ² + ψ″ = 0                 boundary condition
=> ψ(z) = A sech²(Bz + C)             handbook

現實世界的船舶河道可以見到此孤波。教科書以KdV equation當作孤波的教學範例。

wave equation

in wave equation,
traveling wave solution <=> method of characteristics

一維空間的符號解：d'Alembert's formula。兩個行波，造型相同，方向相反。造型隨意。

孤波：不存在。

N孤波：N是偶數則無限多解。N是奇數則無解。

sine-Gordon equation

孤波：kink和antikink。

Boussinesq's equation

逕自修改微分方程式，方便模擬波浪。大家發揮創意，製作一堆奇奇怪怪的微分方程式，通通叫做Boussinesq's equation。

專論《The Korteweg-de Vries equation: a historical essay》。

孤波：跟KdV equation差不多。

經典的微分方程式：dispersion

頻散：各種頻率的波，速度都不同，同時存在。

已有兩種解題技巧。

一次微分方程式：Fourier transform
非一次微分方程式：inverse scattering transform

頻散的成因：微分方程式，係數（已知函數）不連續，導致符號解（未知函數）頻散。即是Gibbs's phenomenon。【尚待確認】

順帶一提，對稱邊界條件導致已知函數不連續。計算數值解，波形撞牆反彈就會頻散。【尚待確認】

【尚無正式名稱】

專著《Introduction to Partial Differential Equations》。

此處討論一個簡單的微分方程式。

differential equation:
fₜ + fₓₓₓ = 0

harmonic ansatz:
f(t,x) = exp(𝑖kx)exp(𝑖ωt) = exp(𝑖(kx+ωt))

derivatives:
⎰ fₜ   =  𝑖ω   exp(𝑖(kx+ωt))
⎱ fₓₓₓ = (𝑖k)³ exp(𝑖(kx+ωt))

dispersion relation:
ω = k³

solution:
f(t,x) = exp(𝑖kx)exp(𝑖k³t)

ω: angular frequency (temporal frequency)
k: wave number (spatial frequency)

頻譜法。實施傅立葉轉換，將符號解拆解成弦波們。

推定符號解是弦波。先求得頻散關係式。再求得符號解。

頻散關係式：時間頻率（角頻率ω）與空間頻率（波數k）的關係式。頻散的每一個波都滿足頻散關係式。

此例當中，波的頻率越大（波數k越大），粒子的振動速度越快（角頻率ω越大），呈指數增長。

另一方面，波的頻率、粒子的振動速度，影響了波的傳播速度。

相速：波的傳播速度。群速：包絡線的傳播速度。

兩個弦波，頻率不相同，但是差異很小。這兩個弦波疊加之後，包絡線也會形成弦波。

angular frequency   ω = 2π / period
wave number         k = 2π / wavelength
phase velocity      ω/k = cp
group velocity      ∂ω/∂k = cg

另一方面，真實世界的波浪，粒子實際上是做軌道運動，取決於水深。上述的粒子振動速度不適用此處。【尚待確認】

經典的微分方程式：perturbation

微分方程式進行微調，符號解隨之微調。

Hopf's equation             fₜ + f fₓ = 0
Korteweg–de Vries equation  fₜ + f fₓ + fₓₓₓ = 0

擾動法：方程式追加一項（其係數是參數）然後求解（其格式是參數的冪級數）。令參數是微小擾動，導致解得以省略高次方項。

https://jmahaffy.sdsu.edu/courses/f19/math537/beamer/perturb.pdf

Hopf's equation（inviscid Burgers's equation）

專著《Linear and Nonlinear Waves》。2.10小節。

【尚待確認】

Hopf's equation:

∂f     ∂f
—— + f —— = 0
∂t     ∂x

linearization:

∂f̃      ∂f̃     ∂f₀
—— + f₀ —— + f̃ ——— = 0     assume f = f₀ + f̃
∂t      ∂x     ∂x

∂f̃      ∂f̃                        ∂f₀
—— + f₀ —— = 0             assume ——— = 0 (?????)
∂t      ∂x                        ∂x

perturbation method:

assume f = f₀ + ε f₁ + ε² f₂ + ...

{ ∂f₁      ∂f₁ 
{ ——— + f₀ ——— = 0
{ ∂t       ∂x
{ 
{ ∂f₂      ∂f₂        ∂f₁
{ ——— + f₀ ——— = - f₁ ———
{ ∂t       ∂x         ∂x
{ 
{ ∂f₃      ∂f₃        ∂f₁      ∂f₂
{ ——— + f₀ ——— = - f₂ ——— - f₁ ———
{ ∂t       ∂x         ∂x       ∂x
{       :
{       :

∂f      ∂f
—— + f₀ —— = F(x,t)
∂t      ∂x

method of characteristics:

⎧ dt
⎪ —— = 1   =>  s = t
⎪ ds
⎪
⎪ dx
⎨ —— = f₀  =>  x(t) = x₀ + f₀t
⎪ ds
⎪
⎪ dF                              ⌠t
⎪ —— = 0   =>  F(t,x) = F₀(0,x₀) + ⎮  F(t,x) dt
⎩ ds                              ⌡0

characteristic curves:

               ⌠t
F(x) = F₀(x) + ⎮  F(x - f₀t) dt     since x₀ = x - f₀t
               ⌡0

1st-order perturbation as initial value:

f = f₀ + ε f₁ + ε² f₂ + ... = f₀ + ε p(x)

{ f₁ = p(x)     at t = 0
{ f₂ = 0
{ f₃ = 0
{ :

solution:

{ f₁ = p(x)
{ f₂ = -t p(x) p′(x)
{ f₃ = -t²/2 (p²(x) p′(x))′ 
{  :

Korteweg–de Vries equation

專著《Solitary Waves in Fluids》，第二章。

ω和k改寫成conservation law。稱作Whitham modulation equation。【尚待確認】

不用perturbation method，改用Whitham's method，也可以求得行波解、孤波解。手法宛如Arakawa's method。我沒有研究。

經典的微分方程式：scattering

散射：波撞到障礙物，行進方向偏移。

障礙物表示成數學式子就是邊界條件。

球座標系、時間諧波假設。

acoustic wave equation for sound scattering
Maxwell's equation for light scattering (Rayleigh/Mie)
Schrödinger's equation for quantum scattering

https://en.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion
https://en.wikipedia.org/wiki/Partial-wave_analysis
https://web2.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2022f/PW.pdf

經典的微分方程式：harmonics

實弦波：sin(x)或cos(x)。複弦波：exp(𝑖x)。

諧波：頻率呈倍數的弦波。追加邊界條件，符號解變成諧波。齊次一次微分方程式，符號解可以乘上倍率並且相互疊加。

wave equation          f̈ = c²∆f
heat equation          ḟ = c∆f
Helmholtz's equation   f = -k²∆f
Laplace's equation     0 = ∆f

wave equation

頻率呈倍數的弦波，稱作諧波。物體振動往往是諧波疊加。

追加特殊限制的波動方程式，恰好可以描述物體振動。

一、數學家根據彈簧力定律，設計方程式。得到波動方程式。

二、數學家根據向量與分量，推定符號解每個維度可以分開處理（分離變數法）。結果符號解恰是弦波疊加，完全符合振動與波。

三、數學家根據物體尺寸，追加邊界條件。結果符號解恰是整數倍頻率的弦波疊加，完全符合物體振動。

四、數學家根據物體形狀，實施座標變換。波動方程式變成可以描述各種形狀的物體振動，符號解變成各種造型的波。

不同的物體形狀，得到不同的符號解。特殊的物體形狀，容易推導符號解。其餘形狀只好計算數值解。

一維琴弦振動：直線線段
二維薄膜振動：方形、圓形、L形
三維固體振動：懸臂梁、H型鋼、平板

一維琴弦：固定左右端點（位置永遠是零）、初始速度是零。

符號解：fₙ(t,x) = sin((nπ/L)x) cos((cnπ/L)t)，其中L是琴弦長度。無限多解。n代入每一個自然數，得到每一種符號解。

數學解法：分離變數法，推定符號解是時間項和空間項相乘。波動方程式改寫成兩個振子方程式。波動方程式改寫成兩個特徵問題。兩個特徵函數合併成符號解，稱作特徵模態（eigenmode）。

物理意義：駐波。處處振動皆是弦波，整體形成波也是弦波。一個自然數，對應一種駐波，稱作正規模態（normal mode）。

wave equation:

∂²/∂t² f(t,x) = c² ∂²/∂x² f(t,x)

harmonic ansatz:

f(t,x) = X(x) T(t)

boundary condition:

f(t,0) = f(t,L) = 0 for all t
ḟ(0,x) = 0 for all x

fundamental solutions:

fₙ(t,x) = sin((nπ/L)x) cos((cnπ/L)t)   n = 0,1,2,...
          ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^      ^^^
          spatial part temporal part    trivial

        = sin(kₙx) cos(ωₙt)

where kₙ = nπ/L is wave number
      ωₙ = ckₙ = cnπ/L is angular frequency 

wave equation and harmonic ansatz:

⎰ ∂²/∂t² f(t,x) = c² ∂²/∂x² f(t,x)   wave equation
⎱ f(t,x) = X(x) T(t)                 separation of variables

=> X(x) (∂²/∂t² T(t)) = c² T(t) (∂²/∂x² X(x))
=> X(x) / (∂²/∂x² X(x)) = c² T(t) / (∂²/∂t² T(t)) ≜ -(1/k)²
=> ⎰ ∂²/∂x² X(x) = -k² X(x)          oscillator equation
   ⎱ ∂²/∂t² T(t) = -k² c² T(t)       oscillator equation

solution:

⎰ X(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
⎱ T(t) = C cos(ckt) + D sin(ckt)

boundary condition:

f(t,0) = f(t,L) = 0 for all t     position is zero at endpoints

=> X(0) = X(L) = 0
=> k = nπ/L and A = 0             period = 2π/2 and phase = 0
                                  n = 0,1,2,... (0 is trivial)
=> X(x) = B sin((nπ/L)x)          
=> T(t) = C cos((cnπ/L)t) + D sin((cnπ/L)t)

solution (eigenmode):

f(t,x) = X(x) T(t)
       = (B sin((nπ/L)x)) (C cos((cnπ/L)t) + D sin((cnπ/L)t))
       = (B sin(kₙx)) (C cos(ωₙt) + D sin(ωₙt))

boundary condition:

ḟ(0,x) = 0 for all x

=> Ṫ(0) = 0
=> ⎰ C = T(0)
   ⎱ D = Ṫ(0)/kₙ = 0
=> ⎰ M = |C+D𝑖| = sqrt(C²+D²) = C
   ⎱ Φ = -∠(C+D𝑖) = -tan⁻¹(D/C) = 0 
=> T(t) = C cos(ωₙt)

solution (eigenmode):

f(t,x) = (B sin(kₙx)) (C cos(ωₙt) + D sin(ωₙt))
       = B sin(kₙx) M cos(ωₙt + Φ)
       = B sin(kₙx) C cos(ωₙt)
       = (BC) sin(kₙx) cos(ωₙt)

in wave equation,
harmonic solution <=> separation of variables

符號解：仿照d'Alembert's formula，利用三角函數公式改寫成sin(x+ct) + sin(x-ct)的格式。

物理意義：行波。兩個弦波，朝相反方向傳播。

兩個行波，疊加之後，恰是一個駐波。

standing wave = traveling wave:
sin(kx) cos(ωt) = (1/2) [sin(k(x-ct)) + sin(k(x+ct))]

heat equation

解法同前。

f(t,x) = sin((nπ/L)x) exp(-c(nπ/L)²t)

https://personal.math.ubc.ca/~feldman/m267/heatSln.pdf

Helmholtz's equation

解法同前。一維版本即是振子方程式。

f(x) = A cos(kx) + B sin(kx)

f(x,y) = (A cos(kₓx) + B sin(kₓx)) (C cos(k₝y) + D sin(k₝y))
kₓ² + k₝² = k²

kₓ²是正數得到弦波相加，kₓ²是負數得到雙曲函數相加。此處的符號解假設kₓ² k₝²都是正數。

kₓ k₝ k可以定義為倒數，呼應雙曲函數和雙曲線。

Laplace's equation

解法同前。啊就k² = 0。

https://ocw.nthu.edu.tw/ocw/upload/348/news/L3_R.pdf

經典的微分方程式：time-harmonic field

有些經典的微分方程式，推定符號解是弦波。

time-harmonic wave equation             振動與波
time-harmonic Maxwell's equations       無線電波
time-independent Schrödinger's equation 原子軌域

時間諧波擬設：處處振動皆是弦波，整體形成波但是是任意波。振動的振幅和相位不隨時刻而變，波的振幅和相位不隨地點而變。時空互不干涉。換句話說，符號解格式是時間項和空間項相乘，時間項是弦波，空間項是任意波。符號解的時間變數和空間變數可分離。

time-harmonic ansatz:
f(t,x,y,z) = M(x,y,z) exp(-𝑖ωt)
             ^^^^^^^^ ^^^^^^^^^
         spatial part temporal part

諧波擬設：處處振動皆是弦波，整體形成波也是弦波。時間項是弦波，空間項也是弦波。時空互不干涉，各個空間維度也互不干涉。符號解的每個變數皆可分離。

harmonic ansatz:
f(t,x,y,z) = exp(-𝑖kₓx) exp(-𝑖k₝y) exp(-𝑖k₞z) exp(-𝑖ωt)
             ^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^
             x part     y part     z part     t part

諧波擬設必須搭配邊界條件：令空間邊界函數值是定值。如此才是諧波，否則只是弦波。

（簡單起見，下面數學式子採用一維空間。）

boundary condition for harmonic ansatz:
f(t,x) = fʟ when x = xʟ
f(t,x) = fʀ when x = xʀ

time-harmonic wave equation

「時間諧波波動方程式」。符號解時間項推定為弦波。

空間項作為未知函數，恰好形成Helmholtz's equation。得以解釋Helmholtz's equation添加負號恰到好處、添加波數k恰到好處。

（簡單起見，下面數學式子採用一維空間。）

time-harmonic wave equation:
⎰ ∂²/∂t² f(t,x) = c² ∂²/∂x² f(t,x)
⎱ f(t,x) = M(x) exp(-𝑖ωt)

LHS:
∂²/∂t² f(t,x) = ∂²/∂t² M(x) exp(-𝑖ωt)
              = M(x) (∂²/∂t² exp(-𝑖ωt))
              = M(x) (-ω² exp(-𝑖ωt))

RHS:
c² ∂²/∂x² f(t,x) = c² ∂²/∂x² M(x) exp(-𝑖ωt)
                 = c² (∂²/∂x² M(x)) exp(-𝑖ωt)

time-harmonic wave equation => Helmholtz's equation:
∂²/∂x² M(x) = -k² M(x)

where k = ω/c is wave number

time-harmonic Maxwell's equations

「時間諧波電磁方程組」。符號解時間項推定為弦波。

經典應用是無線電波，例如電臺廣播、Wi-Fi。

time-independent Schrödinger's equation

「時間獨立量子波動方程式」。符號解時間項推定為弦波。

位能設定為零，空間項作為未知函數，恰好形成Helmholtz's equation。性質如同時間諧波波動方程式。得以解釋Ψ(t,x)取名波函數恰到好處。

追加邊界條件，符號解變成諧波疊加。能量算子簡化為能量特徵值。

（簡單起見，下面數學式子採用一維空間。）

time-independent Schrödinger's equation:
⎰ 𝑖ℏ ∂/∂t ψ = Ĥ ψ
⎱ Ψ(t,x) = ψ(x) exp(-𝑖Et/ℏ)

where E = ℏω is energy (Planck's law)

solutions (eigenmodes):
ψ(x) = A sin(kₙx)             n = 1,2,3,...

where kₙ = nπ/L is wave number
      Eₙ = kₙ(ℏ²/2m) = (nπℏ)²/(2mL²) is energy eigenvalue

time-independent Schrödinger's equation:
⎰ 𝑖ℏ ∂/∂t ψ = Ĥ ψ
⎱ Ψ(t,x) = ψ(x) ϕ(t)

separation of variables:
⎰ ∂/∂t ϕ = (-𝑖Et/ℏ) ϕ     exponential equation
⎱ E ψ = Ĥ ψ              simplfied Schrödinger's equation
where E = (-𝑖/ℏ)(1/ϕ)(∂/∂t ϕ)

solution:
Ψ(t,x) = ψ(x) exp(-𝑖Et/ℏ)     where |Ψ(t,x)|² = |ψ(x)|²
         ^^^^ ^^^^^^^^^^
 spatial part temporal part

when potential energy U = 0,
time-independent Schrödinger's equation => Helmholtz's equation:
   E ψ = T̂ ψ
=> E ψ = (-ℏ²/2m) ∂²/∂x² ψ
=> ∂²/∂x² ψ = (-2m/ℏ²) E ψ
=> ∂²/∂x² ψ = -k²ψ           where k = sqrt(2mE) / ℏ

經典的微分方程式：linearization

有些經典的微分方程式，實施線性化，恰好退化成波動方程式。

shallow water wave equation       淺水波
acoustic wave equation            聲波

線性化：非一次微分方程式，強行拆開變數，成為穩態與差異量，成為齊次一次微分方程式。需要假定差異量遠少於穩態。

nonlinear differential equation:

∂f     ∂f
—— + f —— + g = 0
∂t     ∂x

linearization f = f₀ + f̃:

∂                      ∂
—— (f₀ + f̃) + (f₀ + f̃) —— (f₀ + f̃) + g = 0
∂t                     ∂x

steady state f₀:

∂          ∂
—— f₀ + f₀ —— f₀ + g = 0
∂t         ∂x

subtraction:

∂f̃      ∂f̃     ∂f₀     ∂f̃
—— + f₀ —— + f̃ ——— + f̃ —— = 0
∂t      ∂x     ∂x      ∂x

assume f̃ << f₀:
(product of differentials equals zero)

∂f̃      ∂f̃     ∂f₀
—— + f₀ —— + f̃ ——— = 0
∂t      ∂x     ∂x

linear differential equation with unknown f̃ and known f₀:

∂f̃   ⎛    ⎞ ∂f̃   ⎛ ∂f₀ ⎞   
—— + ⎜ f₀ ⎟ —— + ⎜ ——— ⎟ f̃ = 0
∂t   ⎝    ⎠ ∂x   ⎝ ∂x  ⎠    

https://www.math.arizona.edu/~kglasner/math456/fixedpointlin.pdf

shallow water wave equation

「淺水波方程式」。淺水方程組，實施線性化，退化成波動方程式。

∂²/∂t² h̃ - c² ∆h̃ = 0     where c² = gh₀

linearization:
h = h₀ + h̃
v = v₀ + ṽ

原理：密度連續方程式、速度平流方程式、流體靜力平衡，三式聯立，實施線性化。

1. continuity equation for mass conservation:

∂/∂t h + ∇∙(hv) = 0
∂/∂t (h₀ + h̃) + ∇∙((h₀ + h̃)(v₀ + ṽ)) = 0
∂/∂t h̃ + ∇∙(h₀ ṽ) = 0

2. continuity equation for momentum conservation:
   (advection of velocity)

D/Dt v + g∇h = 0
∂/∂t v + v∇∙v + g∇h = 0
∂/∂t (v₀ + ṽ) + v∇∙v + g∇(h₀ + h̃) = 0
∂/∂t ṽ + g∇h̃ = 0

第二式當中，假設水深變化極小，因而省略對流加速度。

let convective acceleration v∙∇v ≈ 0
when height perturbation h̃ << h₀

Boussinesq approximation

一些額外假設，用於簡化微分方程式。其中包括：

(1) incompressible  不可壓縮（速度場的散度為零）
(2) irrotational    不可旋轉（速度場的旋度為零）
(3) inviscid        無黏性（沒有二次微分項）
(4) Taylor expansion of velocity potential of z-coordinate
    速度位勢場針對Z軸求泰勒級數
(5) neglect higher-order terms
    泰勒級數只保留低階項

https://en.wikipedia.org/wiki/Boussinesq_approximation_(water_waves)
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Celeris_Wave_Model.gif

acoustic wave equation

「聲波方程式」。均勻流體，恰好讓壓力場振盪產生波。

∂²/∂t² P̃ - c² ∆P̃ = 0     where c² = ∂P/∂ρ = γP₀/ρ₀

linearization:
P̃ = P - P₀
ρ̃ = ρ - ρ₀

P:  total pressure
P₀: static pressure (equilibrium pressure)
P̃:  acoustic pressure (pressure perturbation)
ρ:  total density
ρ₀: static density (equilibrium density)
ρ̃:  density perturbation
c:  propagation speed in medium
γ:  ratio of specific heat capacity

原理：密度連續方程式、速度平流方程式、理想氣體狀態方程式，三式聯立，實施線性化。

第二式省略重力、引入壓力、省略應力，針對速度實施線性化（省略對流加速度），稱作linearized Euler's equation。

第三式針對壓力實施線性化（一階泰勒近似），稱作acoustic equation of state。

major assumptions for medium of acoustic wave:
(1) perfect elastic: σ = Eε
(2) isotropic: σ = -PI + 2μD where D = ∇v + (∇v)ᵀ
(3) homogeneous: ρ = constant
(4) dissipationless:
 (4-1) inviscid: μ = 0 => σ = -PI => ∇∙σ = -∇P
 (4-2) adiabatic: P = P(ρ)
(5) neglect gravitational force: g = 0
(6) neglect convective acceleration: v∙∇v = 0
(7) compressible: ∇∙v ≠ 0
(8) irrotational: ∇×v = 0

1. continuity equation for mass conservation:

∂/∂t ρ + ∇∙(ρv) = 0
∂/∂t ρ + ρ ∇∙v = 0             homogeneous: ρ = constant
∂/∂t ρ̃ + ρ₀ ∇∙v = 0            perturbation
∂²/∂t² ρ̃ + ρ₀ ∂/∂t ∇∙v = 0     time derivative

2. continuity equation for momentum conservation:
   (advection of velocity)

D/Dt v + g + ∇P/ρ = 0          advection of velocity
∂/∂t v + v∙∇v + g + ∇P/ρ = 0   material derivative
∂/∂t v + v∙∇v + ∇P/ρ = 0       neglect gravitational force
∂/∂t v + ∇P/ρ = 0              neglect convective acceleration
ρ ∂/∂t v = -∇P
ρ₀ ∂/∂t v = -∇P̃                perturbation
ρ₀ ∂/∂t ∇∙v = -∆P̃              divergence

3. ideal gas equation of state:

P = ρrT
P = P(ρ)                       P is function of ρ
P = P₀ + (∂P/∂ρ)(ρ-ρ₀)         Taylor series
  + ½(∂²P/∂ρ²)(ρ-ρ₀)²
  + ...
P-P₀ = (∂P/∂ρ)(ρ-ρ₀)           first-order Taylor approximation
P̃ = (∂P/∂ρ)ρ̃                   perturbation
P̃ = c²ρ̃                        define c² = ∂P/∂ρ = γP₀/ρ₀

經典的微分方程式：quantization

引入各種數學工具，想方設法描述各種量子現象。

Rydberg formula                   球座標系
WKB ansatz                        歐拉恆等式
Weyl transform                    傅立葉轉換
scattering                        級數

Rydberg formula

「氫原子光譜公式」。針對氫原子的能階躍遷，能階差與光波長的關係式。

1/λ = R(1/nf² - 1/ni²)

球座標系、獨立時間量子波動方程式、庫侖定律、普朗克定律，可以推導出氫原子光譜公式。

Coulomb's law:
F = kq₁q₂r̂/‖r‖²     where k = 1/(4πε₀)

Planck's law:
E = hν = h(c/λ)

假設氫原子核是帶電粒子，不移動，形成靜電場。假設電子是帶電粒子，受到庫侖力。求得位能U。

假設電子繞著氫原子核旋轉。假設量子波動方程式可以描述電子運動。未知函數的輸入變數是球座標系：半徑、方位角、仰角。假設半徑是諧波。求得能量特徵值E。

能量特徵值代入普朗克定律，即得氫原子光譜公式。

WKB ansatz

守恆的數學式子，本來是相加為零，現在是複數平面繞圈圈。歐拉恆等式，波函數作為複數，「能量對時間積分」作為複數角度。

WKB ansatz:
Ψ(x) = exp((𝑖/ℏ)S)

https://faculty.washington.edu/seattle/physics541/14text.pdf

phase of wave function is action
https://physics.stackexchange.com/questions/831659/

action S(t,x)
∂S/∂t = E
∂S/∂x = p = mv

衝量（動量先後差異）、功（能量先後差異）、作用量（能量對時間積分先後差異），三者用途相仿。由於「能量對時間積分」沒有正式學術名稱，以下姑且也稱作作用量。

作用量對時間微分是能量。作用量對空間微分是動量。

分子分母同時再對時間微分，形成漢米爾頓力學。能量是能量。能量對速度微分是動量，形成共軛動量。不過這不在本文討論範圍。

額外乘上-𝑖ℏ，基本單位設定成繞1/4圈，形成量子力學。

Weyl transform

傅立葉轉換，位置域、動量域，互相轉換。

Weyl transform:
Ψ̂(p) = (1/√h) ∫ Ψ(x) exp(-𝑖px(2π/h)) dx
Ψ(x) = (1/√h) ∫ Ψ̂(p) exp(+𝑖px(2π/h)) dp

momentum is the generator of translation
translation is the generator of momentum
https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum_operator
https://physics.stackexchange.com/questions/153469/

0D  polar coordinates
1D  Fourier transform
2D  eigendecomposition

平移算子。

exp(-ε d/dx)

時域平移等於頻域乘以exp(-𝑖ωx)。反之亦然。

Fourier transform:
T̂(ω) = ∫ T(x) exp(-𝑖ωx) dx

Fourier transform of translation
T̂(ω+ε) = ∫ T(x+ε) exp(-𝑖ω(x+ε)) dx
       = ∫ exp(-x d/dx) exp(-ε d/dx) exp(-𝑖ωx) exp(-𝑖ωε) dx
       = ∫ exp(-x d/dx) exp(-𝑖ωx) exp(-ε d/dx) exp(-𝑖ωε) dx
       = ∫ T(x) exp(-𝑖ωx) T(ε) exp(-𝑖ωε) dx

shift in time domain = phase accerleration in frequence domain
  T(x+ε)
= ∫ T̂(ω) exp(-𝑖ω(x+ε)) dω
= ∫ T̂(ω) exp(-𝑖ωx) exp(-𝑖ωε) dω

  d/dx T(x+ε)
= ∫ T̂(ω) exp(-𝑖ω(x+ε)) dω
= ∫ T̂(ω) exp(-𝑖ωx) exp(-𝑖ωε) dω

因此位置算子和動量算子必須是平移算子。

得以解釋動量算子-𝑖ℏ∇定義恰到好處。【尚待確認】

translation operator in momentum:
T(ε) = exp(-ε 𝑖p̂/ℏ) = (1 - ε 𝑖p̂/ℏ)

momentum in quantum mechanics:
T(ε) = exp(-ε ∇)
     = exp(-(𝑖/ℏ)ε (ℏ/𝑖)∇)
     = exp(-(𝑖/ℏ)ε (𝑖ℏ/-1)∇)
     = exp(-(𝑖/ℏ)ε (-𝑖ℏ∇))
     = exp(-(𝑖/ℏ)ε p̂)

經典的微分方程式：equilibrium

符號解趨近穩態。萬物消長，走向平衡。

nodal equilibrium equations            建築結構
Fourier–Biot heat conduction equation  熱能流動
equation of motion of vibration        物體運動
Lotka–Volterra equations               生態消長
Hodgkin–Huxley model                   生理機制
van der Pol oscillator                 電路雜訊

nodal equilibrium equations

「節點平衡方程組」。萬物靜止，保持平衡。

方程組清單請見課程講義：

土木工程之結構分析，已經發展一套分析靜止結構的方法。其中跟本文有關的方法是direct stiffness method：運用虎克定律F = kx計算位移量。

所有元件／所有取樣地點，皆滿足虎克定律。列出所有等式，化作線性方程組，得到大型稀疏矩陣。矩陣求解，得到每個元件／每個取樣地點的位移量。整件事情可以想成是：給定常微分方程式，求得數值解。這個方法最初稱作有限元素法，後來又稱作矩陣法。

土木工程之結構分析之有限元素法，應用數學之微分方程之有限元素法，後者源自前者，不過後者已經發展為完全不同的事物。

Fourier–Biot heat conduction equation

「熱傳導方程式」。熱轉移公式、熱傳導定律，兩式聯立。

當物理常數是一、熱源是零，退化成先前介紹的熱傳導方程式。

     ∂      ∂ ⎛   ∂    ⎞   ∂ ⎛   ∂    ⎞   ∂ ⎛   ∂    ⎞   ∂   
ρ cₚ —— T - ——⎜ k —— T ⎟ - ——⎜ k —— T ⎟ - ——⎜ k —— T ⎟ = —— q
     ∂t     ∂x⎝   ∂x   ⎠   ∂y⎝   ∂y   ⎠   ∂z⎝   ∂z   ⎠   ∂t  

where ρ cₚ k q are constants

ρcₚṪ - ∇∙(k∇T) = q̇

ρ: density
cₚ: specific heat capacity at constant pressure
q: heat source

https://www.nuclear-power.com/nuclear-engineering/heat-transfer/thermal-conduction/heat-conduction-equation/

equation of motion of vibration

「振動運動方程式」。運動方程式是力與各種物理量的方程式，此處討論振動。物理量是位置。物理常數是質量、阻尼係數、彈簧常數。

彈簧運動。合力＝運動力＋阻尼力＋彈簧力。

         d²           d 
F(t) = m ——— x(t) + c —— x(t) - k x(t)
         dt²          dt

where m c k are constants

F = mẍ + cẋ + kx

F: force
ẍ: acceleration
ẋ: velocity
x: displacement (or position when x₀ = 0)
m: mass
c: damping coefficient
k: spring constant

彈簧位置符號解：

Lotka–Volterra equations

「掠食者－獵物方程式」。掠食者與獵物的生態消長。

例如狐狸與兔子的生態消長。

一、兔子變多，狐狸容易捕食，導致狐狸容易生存繁殖。
二、狐狸變多，兔子容易被捕食，導致兔子不易生存繁殖。
三、兔子變少，狐狸不易捕食，導致狐狸不易生存繁殖。
四、狐狸變少，兔子不易被捕食，導致兔子容易生存繁殖。
一二三四，反覆循環。

未知函數是獵物x、掠食者y，處處極限環，不會產生混沌。

⎰ d/dt x(t) = a x(t) - b x(t) y(t)
⎱ d/dt y(t) = c x(t) y(t) - d y(t)
where a b c d are constants

⎰ ẋ = ax - bxy
⎱ ẏ = cxy - dy

x: population density of prey (e.g. rabbit)
y: population density of predator (e.g. fox)

Hodgkin–Huxley model

Hodgkin–Huxley model：離子通道模型。利用電路學描述細胞膜的離子通道如何開啟關閉。

一、活化量模型：化學反應之可逆反應。

         α
┌─────┐────→┌────┐
│close│     │open│
└─────┘←────└────┘
  1-n    β     n

ṅ = α (1-n) - β n

n: ion channel subunit activation 離子通道的活化量（0到1）
α: forward transport rate         正向運輸率
β: backward transport rate        逆向運輸率

二、離子通道模型：電位、電流。

考慮鉀離子通道、鈉離子通道、洩漏離子通道。

未知函數是電位Vₘ、活化量n，形成極限環。

⎧ I   = Iₘ + Iᴋ + Iɴₐ + Iₗ
⎪ Iₘ  = Cₘ V̇ₘ
⎪ Iᴋ  = gᴋ  n⁴ (Vₘ - Vᴋ)
⎨ Iɴₐ = gɴₐ m³ h (Vₘ - Vɴₐ)
⎪ Iₗ  = gₗ (Vₘ - Vₗ)
⎪ ṅ = Vₘ (αₙ (1-nₙ) - βₙ nₙ)
⎪ ṁ = Vₘ (αₘ (1-nₘ) - βₘ nₘ)
⎩ ḣ = Vₘ (αₕ (1-nₕ) - βₕ nₕ)

ₘ: membrane                    細胞膜
ᴋ: potassium ion channel       鉀離子通道
ɴₐ: sodium ion channel         鈉離子通道
ₗ: leakage ion channel         洩漏離子通道

I: electric current            電流
V: electric potential          電位
C: capacitance per unit area   電容率
g: conductance per unit area   電導率

n: potassium channel subunit activation 鉀離子通道活化量
m: sodium channel subunit activation    鈉離子通道活化量
h: sodium channel subunit inactivation  鈉離子通道不活化量
α: forward transport rate               正向運輸率
β: backward transport rate              逆向運輸率

FitzHugh–Nagumo model：簡化版本。未知函數是V與W。

⎰ V̇ = V - V³/3 - W - I
⎱ Ẇ = a(V + b - cW)

where a = 0.08
      b = 0.7
      c = 0.8

V: membrane potential   細胞膜電位
W: recovery variable    活化量／不活化量
I: stimulus current     刺激電流

van der Pol oscillator

van der Pol oscillator：收斂至一個極限環。

經典的微分方程式：chaos

符號解沒有穩態。亂中有序。

Newton's law of universal gravitation      行星運動
Lorenz's equations                         大氣對流
Mackey–Glass equation                      細胞濃度
Duffing oscillator                         電路雜訊
Rabinovich–Fabrikant equations             數學現象

Newton's law of universal gravitation

牛頓萬有引力定律：兩體相引，引力正比於質量相乘、反比於距離平方。

    Gm₁m₂
F = —————     where r = x₂ - x₁
      r²

下面第一式，以第一物作為基準，描述第二物作用力。相引導致位置靠近，導致第一物作用力帶正號、第二物作用力帶負號。

⎧         Gm₁m₂
⎪ F₁₂ = - —————     where r₁₂ = x₂ - x₁
⎨          r₁₂²
⎪
⎩ F₂₁ = -F₁₂

位置x從純量改成向量。

⎧         Gm₁m₂   r₁₂      Gm₁m₂r₁₂
⎪ F₁₂ = - —————— ————— = - ————————   where r₁₂ = x₂ - x₁
⎨         ‖r₁₂‖² ‖r₁₂‖      ‖r₁₂‖³
⎪
⎩ F₂₁ = -F₁₂

Kepler problem：兩體相引，求得軌跡。

牛頓萬有引力定律、牛頓運動定律，兩者聯立，形成動態系統。

⎧         G m₁ m₂ (x₂ - x₁)           Newton's law of
⎪ F₁₂ = - —————————————————           universal gravitation
⎪             ‖x₂ - x₁‖³              F = Gm₁m₂r/r³
⎪
⎪         G m₂ m₁ (x₁ - x₂)
⎪ F₂₁ = - ————————————————— = -F₁₂
⎪             ‖x₁ - x₂‖³
⎨
⎪          d²
⎪ F₁₂ = m₂ ——— x₂                     Newton's law of motion
⎪          dt²                        F = ma
⎪
⎪          d²
⎪ F₂₁ = m₁ ——— x₁
⎩          dt²

⎧ d²         G m₂ (x₂ - x₁)
⎪ ——— x₂ = - ——————————————
⎪ dt²          ‖x₂ - x₁‖³
⎨
⎪ d²         G m₁ (x₁ - x₂)
⎪ ——— x₁ = - ——————————————
⎩ dt²          ‖x₁ - x₂‖³

N-body problem：多體兩兩相引，求得軌跡。

N = 2有符號解。N ≥ 3形成混沌，無法寫成符號解。

⎧ d²             G mᵢ (xᵢ - xⱼ)
⎨ ——— xᵢ = - sum ——————————————   for all i
⎩ dt²         ⁱ    ‖xᵢ - xⱼ‖³

Jeans's equation可以用來估計位置是否塌陷。

virial theorem可以用來檢查能量是否守恆。

Lorenz's equations

亂繞圓圈的路線。繞行兩個吸引子。

⎧ ẋ = σ(y - x)
⎨ ẏ = x(ρ - z) - y
⎩ ż = xy - βz

亂七八糟的路線。

Lorenz 96 model (Lorenz–Emanuel system)
ẋᵢ = (xᵢ₊₁ - xᵢ₋₂)xᵢ₋₁ - xᵢ + F

Duffing oscillator

亂繞圓圈的路線。繞行一個吸引子。

經典的微分方程式：pattern formation

生物發育，產生圖案，隱含規律。

Turing model
Gray–Scott model

Turing model（Turing pattern）

各式各樣的參數，各式各樣的造型，造就大自然。

Gray–Scott model

經典的微分方程式：hydrodynamic stability

多種物質互動。天下大勢，分久必合，合久必分。

Rayleigh's equation               剪力流
Ginzburg–Landau equation          顆粒流
thin-film equation                摩擦流
Buckley–Leverett equation         二相流
Kuramoto–Sivashinsky equation     冷熱交融

Rayleigh's equation

Ginzburg–Landau equation

專著《Stability and Transition in Shear Flows》。

thin-film equation

Hele–Shaw equation
https://www.nature.com/articles/ncomms1289

Kuramoto–Sivashinsky equation