Polynomial

Polynomial

「多項式」。變數的各種次方、乘上倍率、通通相加。

8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³     上升排列
2x³ + 0x² - 4x¹ + 8x⁰     下降排列

度數

最高次方。

f(x)   = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
deg(f) = 3

加法、減法

各項一一配對、係數相加。

f(x)        = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
g(x)        = 1x⁰ + 2x¹
f(x) + g(x) = 9x⁰ - 2x¹ + 0x² + 2x³
f(x) - g(x) = 7x⁰ - 6x¹ + 0x² + 2x³

乘法

各項交叉配對、係數相乘、次方相加。

f(x)      = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
g(x)      = 1x⁰ + 2x¹
f(x) g(x) = 8x⁰1x⁰ - 4x¹1x⁰ + 0x²1x⁰ + 2x³1x⁰
          + 8x⁰2x¹ - 4x¹2x¹ + 0x²2x¹ + 2x³2x¹

帶餘除法

帶餘除法的輸出是兩個多項式:商數、餘數。

長除法,一直補位、一直求餘數,直到餘數度數小於除數度數。

f(x) = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³ + 3x⁴
g(x) = 1x⁰ + 2x¹ + 3x²
f(x) = (¹⁄₃x⁰ + 0x¹ + 1x²) g(x) + (²⁄₃x⁰ - ¹⁰⁄₃x¹)

無窮除法

無窮除法的輸出是一個多項式:商數。

長除法,一直補位、一直求餘數,商數越來越長。

    1 - x
―――――――――――― = 1 - 3x + 3x² + 3x³ + ...
1 + 2x + 3x²

知名範例是Geometric Series。a是任意數,例如1。

1/(1-ax) = (ax)⁰ + (ax)¹ + (ax)² + ...
1/(1-x) = x⁰ + x¹ + x² + ...

可能除得盡:餘數是零,商數是多項式。

可能除不盡:餘數不是零,商數是無窮多項式。

展開

多項式的連乘、多項式的次方,化作一個多項式。

f(x) = 2x⁰ (2x⁰ + 1x¹) (2x⁰ - 2x¹ + x²)
     = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
f(x) = (2x⁰ + 1x¹)²
     = 4x⁰ + 4x¹ + 1x²

分解

展開的反方向。

f(x) = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
     = 2x⁰ (2x⁰ + 1x¹) (2x⁰ - 2x¹ + 1x²)

Binomial

Binomial

「二項式」。兩種變數相加的次方。

(x + y)⁰
(x + y)¹
(x + y)²
(x + y)³

二項式展開成多項式。「和、冪」化作「冪、積、和」。

(x + y)⁰ = x⁰y⁰
(x + y)¹ = x⁰y¹ + x¹y⁰
(x + y)² = x⁰y² + 2x¹y¹ + x²y⁰
(x + y)³ = x⁰y³ + 3x¹y² + 3x²y¹ + x³y⁰

二項式係數恰是巴斯卡三角形。

(x + y)⁰ = C(0,0)x⁰y⁰
(x + y)¹ = C(1,0)x⁰y¹ + C(1,1)x¹y⁰
(x + y)² = C(2,0)x⁰y² + C(2,1)x¹y¹ + C(2,2)x²y⁰
(x + y)³ = C(3,0)x⁰y³ + C(3,1)x¹y² + C(3,2)x²y¹ + C(3,3)x³y⁰

幾何意義是邊邊角角。

Binomial Series

「二項式級數」。y改成1。

(x + 1)⁰ = x⁰
(x + 1)¹ = x⁰ + x¹
(x + 1)² = x⁰ + 2x¹ + x²
(x + 1)³ = x⁰ + 3x¹ + 3x² + x³

Polynomial Function

Formal Power Series

「形式冪級數」。自然數次方。

8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³

可表達x進位整數。

Power Series(Polynomial)

「冪級數」。整數次方。

5x⁻² - 3x⁻¹ + 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³

可表達x進位小數。

Polynomial Function

「多項式函數」。函數是一個多項式。

f(x) = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³

輸入各種底數x、輸出各種數量f(x)。這件事具備什麼意義、擁有什麼用途,我不清楚。

多項式函數是離散與連續的橋樑。x從整數變成實數、甚至複數,多項式函數從離散變成連續。

微分、積分

微分結果仍是多項式函數!dx竟然變不見!

積分結果仍是多項式函數!常數項是任意數,通常設成0。

f(x)      = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
d/dx f(x) = - 4x⁰ + 0x¹ + 6x²
∫ f(x) dx = 0x⁰ + 8x¹ - 2x² + 0x³ + ½x⁴

代入(求值)

Horner's Rule。從最高次方項開始,一乘一加,得到答案。不需要次方運算。

f(x) = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
     = (((((2 ⋅ x) + 0) ⋅ x) - 4) ⋅ x) + 8

求根(求解)

用途不明。

f(x) = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³ = 0
x = -2 or 1+𝑖 or 1-𝑖

Infinite Polynomial Function

Polynomial Fraction

「多項式分式」。分子、分母是多項式。

    1 - x
――――――――――――
1 + 2x + 3x²

可表達x進位分數。

Infinite Polynomial

「無窮多項式」。無窮項。

... + 5x⁻² - 3x⁻¹ + 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³

可表達x進位無窮小數。

Infinite Polynomial Function

「無窮多項式函數」。函數是一個無窮多項式。

f(x) = ... + 5x⁻² - 3x⁻¹ + 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³

穿梭超時空、轉移異世界

整數、多項式,位於不同世界。

先前談過「反運算拓展數域」。整數裝備除法,得到分數(有理數)。整數裝備無窮除法,得到無窮小數。

而在平行世界當中,多項式裝備除法,得到多項式分式。多項式裝備無窮除法,得到無窮多項式。

兩個世界擁有相同之處。整數與多項式,可以互相轉換,指定底數即可。

兩個世界也有不同之處。整數可以進位和借位,多項式卻不行。多項式可以微分與積分,整數卻不行。

這些不同之處,穿越到平行世界,造就了奇幻,創造了魔法。比方來說,無窮多項式,實施微分與積分,然後穿越到平行世界,可以產生那個世界原本造不出來的圓周率π。

古希臘尺規作圖三大難題之化圓為方:畫出直線長度√π。這個問題懸宕數百年,直到有人見到了從平行世界穿越過來的圓周率π,這個問題才得到證明:畫不出來。

圓周率π不屬於自然數、整數、有理數、代數數、……這系統。目前數學家仍然無法確認其所屬、無法掌握其範疇。

無窮小數、無窮多項式,穿越到平行世界之後等價於什麼東西、穿越到平行世界之前需要準備哪些條件,是數學界的大難題。

無窮多項式變成數字

目前數學家只知道:收斂時,無窮多項式才可以變成數字。

無窮數列收斂至零:一串數列,末端數字絕對值足夠微小。
無窮數列收斂至常數:一串數列,每項減去常數,末端數字絕對值足夠微小。
無窮小數收斂至常數:建立一串數列,數列第n項是無窮小數前n位數。
無窮級數收斂至常數:建立一串數列,數列第n項是無窮級數前n項總和。
無窮多項式收斂至常數:建立一串數列,數列第n項是無窮多項式前n項。
           x代入各種數字,各自判斷是否收斂。

方便起見,數學家將「收斂至常數」視作「等於常數」,即便差距總是大於0。

例如0.999... = 1。即便事實是0.999...永生永世碰不到1。

建立一串數列 0 0.9 0.99 0.999 ...

|0     - 1| = 1
|0.9   - 1| = 0.1
|0.99  - 1| = 0.01
|0.999 - 1| = 0.001
   :           :      末端數字足夠微小

無窮多項式的各種運算,如果輸入都能變成數字,那麼輸出也能變成數字。只要有一個輸入不能變成數字,那麼輸出就不能變成數字。強行變成數字,數字可能錯誤。

Taylor Expansion

Taylor Expansion(Taylor Series)

「泰勒展開」。數學公式。多項式更換底數。

已知原係數a₀ a₁ ...,底數減k,求得新係數b₀ b₁ ...。

a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ = b₀(x-k)⁰ + b₁(x-k)¹ + b₂(x-k)² + b₃(x-k)³

                                       f⁽ⁿ⁾(k)
sum aₙxⁿ = sum bₙ(x-k)ⁿ     where bₙ = ——————— , f(x) = sum aₙxⁿ
                                          n!

實際範例。

8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³ = 6(x-1)⁰ + 2(x-1)¹ + 6(x-1)² + 2(x-1)³

f(x)  = 8x⁰ - 4x¹ + 0x² + 2x³
f′(x) =     - 4x⁰ + 0x¹ + 6x²
f″(x) =             0x⁰ + 12x¹
f‴(x) =                   12x⁰

k = 1
f(k)  =  8 - 4 + 0 + 2  = 6
f′(k) =    - 4 + 0 + 6  = 2
f″(k) =          0 + 12 = 12
f‴(k) =              12 = 12

b₀ = f(k)  / 0! = 6 / 1  = 6
b₁ = f′(k) / 1! = 2 / 1  = 2
b₂ = f″(k) / 2! = 12 / 2 = 6
b₃ = f‴(k) / 3! = 12 / 6 = 2

證明方式:原多項式反覆微分、代入k,得到新多項式係數。

方便起見,定義0! = 1與0⁰ = 1,讓數學公式變漂亮。

f(x) = b₀ (x-k)⁰ + b₁ (x-k)¹ + b₂ (x-k)² + b₃ (x-k)³
f(k) = b₀
b₀ = f(k)

f′(x) = 1 b₁ (x-k)⁰ + 2 b₂ (x-k)¹ + 3 b₃ (x-k)²
f′(k) = b₁
b₁ = f′(k)

f″(x) = (2⋅1) b₂ (x-k)⁰ + (3⋅2) b₃ (x-k)¹
f″(k) = 2! b₂
b₂ = f″(k) / 2!

f‴(x) = (3⋅2⋅1) b₃ (x-k)⁰
f‴(k) = 3! b₃
b₃ = f‴(k) / 3!

泰勒展開也能改寫成這些模樣。

        f(k)          f′(k)          f″(k)
f(x) = ――――― (x-k)⁰ + ――――― (x-k)¹ + ――――― (x-k)² + ...
         0!             1!             2!

            f(k)      f′(k)      f″(k)
f(x + k) = ――――― x⁰ + ――――― x¹ + ――――― x² + ...   變數代換
             0!         1!         2!

                 x⁰         x¹         x²
f(x + k) =  f(k) ―― + f′(k) ―― + f″(k) ―― + ...   分母換位置
                 0!         1!         2!

Binomial Series

順帶一提,二項式級數的數學公式,也可以利用泰勒展開求得。

f(x)  = (1+x)ⁿ
f′(x) = n(1+x)ⁿ⁻¹
f″(x) = n(n-1)(1+x)ⁿ⁻²
f‴(x) = n(n-1)(n-2)(1+x)ⁿ⁻³

k = 0
f(k)  = 1
f′(k) = n
f″(k) = n(n-1)
f‴(k) = n(n-1)(n-2)

        1        n       n(n-1)      n(n-1)(n-2)
f(x) = ――― x⁰ + ――― x¹ + ―――――― x² + ――――――――――― x³ + ...
        0!       1!        2!             3!

Lagrange Expansion

Lagrange Expansion(Lagrange Inversion)

「拉格朗日展開」。數學公式。多項式函數的反函數。

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem

似乎很少使用。我沒有仔細讀懂。大家好自為之。

Natural Exponential Function

微分不動點

微分不動點:一個多項式函數,經過微分,仍然相同。

零多項式是微分不動點。缺乏討論意義。

其他有窮多項式都不是微分不動點。微分總是消滅最高次方項。

無窮多項式才有微分不動點。兩種計算方式:

一、遞迴函數。

f(x)  =  c₀x⁰ +  c₁x¹ +  c₂x² +  c₃x³ + ...
f′(x) = 1c₁x⁰ + 2c₂x¹ + 3c₃x² + ...

equations      recurrence
{ c₀ = 1c₁     { c₀ = any number
{ c₁ = 2c₂     { cₙ = cₙ₋₁ / n
{ c₂ = 3c₃
{  :    :

二、泰勒展開的特例。

                x⁰         x¹         x²
f(x + k) = f(k) ―― + f′(k) ―― + f″(k) ―― + ...
                0!         1!         2!

                  x⁰   x¹   x²             微分不動點
f(x + k) = f(k) ( ―― + ―― + ―― + ... )     f(x) = f′(x) = f″(x) = ...
                  0!   1!   2!

              x⁰   x¹   x²
f(x) = f(0) ( ―― + ―― + ―― + ... )         讓k = 0
              0!   1!   2!

微分不動點、常數項是1

大家令c₀ = f(0) = 1,讓答案只有唯一一種,讓答案變漂亮。

       x⁰   x¹   x²
f(x) = ―― + ―― + ―― + ...     when f(0) = 1
       0!   1!   2!

「微分不動點、常數項是1」屬於「指數函數」

指數函數:a的x次方。a是任意數。

f(x) = aˣ

指數函數的等價定義:輸入相加等同輸出相乘。

f(x + y) = f(x) f(y)

證明方式:二項式展開、冪級數乘法(加性卷積)。

https://math.stackexchange.com/questions/2402730/

  f(x + y)

  (x+y)⁰   (x+y)¹   (x+y)²      
= ―――――― + ―――――― + ―――――― + ...
    0!       1!       2!        

  0!   x⁰y⁰     1!   x⁰y¹   x¹y⁰     2!   x⁰y²   x¹y¹   x²y⁰        
= ―― ( ―――― ) + ―― ( ―――― + ―――― ) + ―― ( ―――― + ―――― + ―――― ) + ...
  0!   0!0!     1!   0!1!   1!0!     2!   0!2!   1!1!   2!0!        

    x⁰y⁰       x⁰y¹   x¹y⁰       x⁰y²   x¹y¹   x²y⁰        
= ( ―――― ) + ( ―――― + ―――― ) + ( ―――― + ―――― + ―――― ) + ...
    0!0!       0!1!   1!0!       0!2!   1!1!   2!0!        

  x⁰y⁰   x⁰y¹   x⁰y²         x¹y⁰   x¹y¹   x¹y²         
= ―――― + ―――― + ―――― + ... + ―――― + ―――― + ―――― + ...
  0!0!   0!1!   0!2!         1!0!   1!1!   1!2!         

    x⁰   x¹   x²           y⁰   y¹   y²        
= ( ―― + ―― + ―― + ... ) ( ―― + ―― + ―― + ... )
    0!   1!   2!           0!   1!   2!        

= f(x) f(y)
  f(x + y)

      (x+y)ⁿ       (x+y)ᵃ⁺ᵇ          1    (a+b)!             xᵃyᵇ
= sum ―――――― = sum ―――――――― = sum  ―――――― ―――――― xᵃyᵇ = sum  ――――
   n    n!    n=a+b (a+b)!   n=a+b (a+b)!  a!b!        n=a+b a!b!

          xᵃyᵇ         xᵃ         yᵇ  
= sum sum ―――― = ( sum ―― ) ( sum ―― )
   a   b  a!b!      a  a!      b  b!  

= f(x) f(y)

「微分不動點、常數項是1」的底數

指數函數,代入一次方,可得底數。

f(x) = aˣ     where a = f(1)

「微分不動點、常數項是1」的底數是一個無限長數字。

                               1    1    1 
f(x) = aˣ     where a = f(1) = ―― + ―― + ―― + ... = 2.7182818...
                               0!   1!   2!

Natural Exponential Function

「微分不動點、常數項是1」重新稱作「自然指數函數」。

                                 1    1    1 
exp(x) = eˣ   where e = exp(1) = ―― + ―― + ―― + ... = 2.7182818...
                                 0!   1!   2!

並且重新設計數學符號:

exp(x)稱作「自然指數函數」。

exp(1)稱作「歐拉數」,簡寫為小寫英文字母e。

Natural Exponential Function下界

近似公式,但是不實用。證明請見維基百科

           x⁰   x¹   x²         xⁿ
exp(x,n) = ―― + ―― + ―― + ... + ―― ≥ (1 + x/n)ⁿ
           0!   1!   2!         n!

           x⁰   x¹   x²
exp(x)   = ―― + ―― + ―― + ......   = lim (1 + x/n)ⁿ
           0!   1!   2!              n→∞

Natural Exponential Function演算法

計算exp(x)的演算法:Horner's Rule。

Natural Logarithmic Function

自然指數函數的反函數

自然指數函數是嚴格遞增函數,擁有反函數。

自然指數函數的反函數,擁有多種寫法。畢竟可以進位和借位。

自然指數函數的反函數,經典的寫法是「Mercator Series」。

http://www.math.com/tables/expansion/log.htm

           (x-1)¹   (x-1)²   (x-1)³
exp⁻¹(x) = ―――――― - ―――――― + ―――――― - ......      (0 < x ≤ 2)
             1        2        3

           1 /x-1\¹  1 /x-1\²  1 /x-1\³
exp⁻¹(x) = ― ⎸―――⎹ + ― ⎸―――⎹ + ― ⎸―――⎹ + ......   (x > 1/2)
           1 \ x /   2 \ x /   3 \ x /

兩種計算方式:

一、二項式反演(拉格朗日展開的特例)。

https://math.stackexchange.com/questions/1199411/

二、函數複合、一次微分。

https://math.stackexchange.com/questions/1199411/

「自然指數函數的反函數」屬於「對數函數」

「指數函數的反函數」稱作「對數函數」。

對數函數:a的幾次方是x。a是任意數。

f(x) = loga(x)

對數函數的等價定義:輸入相乘等同輸出相加。

f(xy) = f(x) + f(y)

Natural Logarithmic Function

「自然指數函數的反函數」重新稱作「自然對數函數」。

                  (x-1)¹   (x-1)²   (x-1)³
ln(x) = logₑ(x) = ―――――― - ―――――― + ―――――― - ......   (0 < x ≤ 2)
                    1        2        3

並且重新設計數學符號:

ln(x)稱作「自然對數函數」。

e稱作「歐拉數」。

Natural Logarithmic Function上界

近似公式,但是不等於。證明請見維基百科

          (x-1)¹   (x-1)²   (x-1)³         (x-1)ⁿ   1    1    1          1 
ln(x,n) = ―――――― - ―――――― + ―――――― - ... + ―――――― < ―― + ―― + ―― + ... + ――
            1        2        3              n      1    2    3          n 

          (x-1)¹   (x-1)²   (x-1)³                  1    1    1          
ln(x)   = ―――――― - ―――――― + ―――――― - ......       < ―― + ―― + ―― + ......
            1        2        3                     1    2    3          

「自然指數函數的反函數」恰是x⁻¹的積分

反函數即是函數圖形沿著45°斜線翻面。

斜率是高度除以寬度。反函數翻轉高度和寬度,讓斜率變成倒數。以此推導出exp⁻¹(x)的斜率是x⁻¹。

斜率就是微分結果。以此推導出exp⁻¹(x)是x⁻¹的積分。

     exp⁻¹(x) = y
d/dx exp⁻¹(x) = 1 / (d/dy exp(y))     反函數的斜率變成倒數
d/dx exp⁻¹(x) = 1 / exp(y)            微分不動點
d/dx exp⁻¹(x) = 1 / x                 exp(y) = x
     exp⁻¹(x) = ∫ (1 / x) dx

「自然指數函數的反函數」完成了整數次方的微積分

微分讓次方值減一,唯一例外是0次方。0次方微分之後,不是-1次方,而是回歸虛無。

積分讓次方值加一,唯一例外是-1次方。-1次方積分之後,不是0次方,而是涵蓋萬物。「自然指數函數的反函數」涵蓋所有非負次方。

Transcendental Number

數量種類(基於無窮多項式)

這邊的世界有自然數、整數、有理數、代數數,那邊的世界有多項式、無窮多項式。數學家仍未完全弄懂兩個世界之間的關係。

Transcendental Number

「超越數」。不屬於代數數的數。

例如無窮多項式所變成的數字。

超越數仍有許多謎團。例如超越數的四則運算是否為超越數。

e

「歐拉數」。尾一微分不動點代入1。數值是2.718...。

π

「圓周率」。圓周長除以直徑。數值是3.141...。

延伸閱讀:π is wrong!

http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html

https://tauday.com/tau-manifesto-cn

有兩派人馬,一派支持角度,一派支持面積。

角度派認為π是180°,是圓周角360°的一半,要乘以二才能補成360°,極不方便。這派人馬認為應該替360°特地訂立符號。

面積派認為π剛好就是單位圓面積,明明很方便,不需要改。

Transcendental Function

Transcendental Function

「超越函數」。不屬於代數函數的函數。

例如無窮多項式函數。

超越函數仍有許多謎團。畢竟超越數就有許多謎團。

exp() ln()

自然指數函數、自然對數函數都是超越函數。

sin() cos() tan()

三角函數都是超越函數。