Half-plane

Half-plane

一條直線把二維平面劃分為兩半,其中一半就是「半平面」。半平面可以包含直線,也可以不包含直線。

半平面的一些圖示方式:

實作時,通常以兩個點來記錄半平面的直線、以兩個點的順序來記錄半平面的方向。

Half-plane Intersection

「半平面交集」就是許多個半平面的交集區域。半平面交集的結果可能是:一個開放區域、一個凸多邊形、一條線、一條線段、一個點、空集合。

演算法(Incremental Method)

一、預先使用四個半平面,設定一個極大的正方形邊界,讓半平面交集擁有邊界。
二、逐一加入每個半平面,求出當下的半平面交集(凸多邊形)。

online演算法,隨時維護一個半平面交集。每次更新需時O(N),總時間複雜度O(N²),N是半平面數目。

UVa 10084 10117 11265

演算法(Randomized Incremental Method)

預先排序、預先隨機排列,最差、平均時間複雜度O(NlogN)。過程如同「Convex Hull: Incremental Method」,求切點改為求交點。

演算法(Divide-and-Conquer Method)

時間複雜度O(NlogN),N是半平面數目。

Divide:把半平面分成兩堆。
Conquer:分別遞迴求解。
Combine:求兩個凸多邊形的交集。O(N)

兩個凸多邊形的交集,可以用旋轉卡尺求解,也可以用掃描線求解。

演算法【尚無正式名稱】

2006年由競賽選手南京外国语学校朱泽园《半平面交的新算法及其实用价值》提出。我不清楚是否已有正式學術論文,也不確定演算法是否正確。

半平面交集是一個凸多邊形,凸多邊形的邊很有順序的沿著外圍繞行一圈,越來越傾斜。援引Graham's Scan的精神,所有半平面,預先按照角度(不是斜率)排序,逐步找出凸多邊形的邊。

一、所有半平面,按照角度排序。O(NlogN)
  角度相同的半平面只需留下最內側的一個。
二、建立一個deque,加入前面兩個半平面。O(1)
三、從第三個半平面開始,依序將半平面加入deque。O(N)
 甲、deque右端持續彈出,直到deque右端的兩個半平面的交點,位於此半平面內。
 乙、deque左端持續彈出,直到deque左端的兩個半平面的交點,位於此半平面內。
 丙、deque右端加入此半平面。
四、刪除deque兩端多餘的半平面。O(N)
 甲、deque右端持續彈出,直到deque右端的兩個半平面的交點,位於deque左端的半平面內。

時間複雜度O(NlogN),主要取決於排序的時間。N是半平面數目。

有點類似簡單多邊形的凸包演算法Melkman's Algorithm,但是兩者並非點線對偶。

Polygon Intersection

兩個凸多邊形的交集

有三種演算法,時間複雜度都是O(N+M)。

半平面交集:半平面按照角度排序,採用Merge Sort。【尚待確認】

掃描線:凸多邊形從左右極點切開成上下兩條鏈。四鏈齊進。

交互前進:外側邊超車,直到擋住內側邊前方、或者撞到內側邊;內側邊超車,直到前方看不到外側邊、或者撞到外側邊。任選起點,先跑一圈找到任意交點;交點為起點,再跑一圈圍出交集。

UVa 137 10321

兩個簡單多邊形的交集、聯集、差集

http://www.cs.jhu.edu/~misha/Spring16/16.pdf

掃描線。「Segment Intersection」略作修改。時間複雜度O(NlogN + K),N是所有頂點數量,K是交點數量。

UVa 805 ICPC 7583

Polygon Clipping

用直線(半平面)裁切凸多邊形

凸多邊形劃一道直線,切割成兩個凸多邊形。

直線改成半平面,裁切成一個凸多邊形。

裁切前後,頂點先後順序一樣!可以循序掃描!

以點為主角、邊為配角,沿凸多邊形走一圈,點在半平面上則保存,邊與直線有交點則保存。時間複雜度O(N)。

UVa 11989

用直線(半平面)裁切簡單多邊形

我沒有研究。

UVa 10867 10974

用凸多邊形裁切簡單多邊形

http://en.wikipedia.org/wiki/Sutherland–Hodgman_algorithm

Polygon Offsetting

Polygon Offsetting

簡單多邊形,所有邊一齊往垂直方向移動。往外則擴張、往內則收縮。

收縮時,頂點不斷合併,直到剩下一點。夾角決定速率,速率決定頂點合併順序。建立排序資料結構,時間複雜度O(NlogN)。

https://translate.googleusercontent.com/translate_c?sl=ru&tl=en&u=http://e-maxx.ru/algo/inscribed_circle

Polygon Offsetting

甲以各種姿態碰觸乙的邊緣,甲沿著乙的邊緣掃一圈,盡可能擴張(收縮)乙。結果包含了直線和弧線,厚度均勻。

甲求凸包、求直徑(最遠點對),甲可以簡化成線段。時間複雜度O(N)。

Minkowski Sum / Minkowski Difference

兩個簡單多邊形(內部所有點)的「Pairwise Sum」。

甲不偏不倚。甲內部任取一個基準點,甲的基準點沿著乙的邊緣走一圈,補厚(削薄)乙。基準點通常是頂點。

凸多邊形,有著高速演算法,時間複雜度O(N+M)。

簡單多邊形,切割成大量凸多邊形(三角剖分、凸分割),分頭計算,最後再聯集。時間複雜度O(N²M²)。

http://www.cs.jhu.edu/~misha/Spring16/19.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=3qMNuoTHNHs

Visibility of Polygon

一個點的可見區域,被一個凸多邊形遮擋

點在凸多邊形內部。一定可以看見整個凸多邊形。回顧一下凸多邊形的定義:多邊形內部所有兩點連線,都在多邊形內部。令其中一點是給定點,令另外一點是可見點,兩點之間一定不會被凸多邊形遮擋。

點在凸多邊形上面。如果歸類於內部,可見區域就是整個凸多邊形;如果歸類於外部,可見區域的邊界,就是該點碰觸的邊的延長線。

點在凸多邊形外部。上下兩條切線圍住的區域受到影響,可見區域變成切線與凹面圍住的區域。找切線很簡單:建立點到凸多邊形各頂點的向量,運用叉積找出轉至最右、轉至最左的向量。

時間複雜度O(N)。

UVa 746

一個點的可見區域,被一個簡單多邊形遮擋

點在多邊形內部。被一個簡單多邊形遮擋的可見區域,也是簡單多邊形。採用Incremental Method,從一個可見點開始,依照逆時針順序,一次讀入一條邊,隨時更新當下的可見區域。一共分成六種情況:

一、可見區域直接增加一條邊。
二、可見區域增加一條割線。
  割線會撞到多邊形以後的邊,屆時就能求得割點。
三、可見區域切除看不見的部分,改為一條割線。
  割線會撞到可見區域以前的邊,必須倒退找割點。
四、同三。
五、同一。
六、同二。

http://arxiv.org/pdf/1111.3584v2.pdf

倒退找割點,頂多倒退N條邊。時間複雜度O(N)。

附帶一提,如果預先找到兩個以上可見點,就可以切斷成鏈,實施Divide-and-Conquer Method。

點在多邊形上面、外部。原理相同,不再贅述。

【待補程式碼】

UVa 10907

一個點的可見區域,被數個凸多邊形遮擋

點在凸多邊形外部、凸多邊形們都不相交,才有討論價值。

旋轉的掃描線。以給定點為基準點,所有頂點按照角度排序。依序掃描每個點,當下掃中的點,如果被前一點的鄰邊遮擋,就馬上刪除此點。時間複雜度O(NlogN)。

可以加速到O(N+HlogH)。牽涉到直線與凸多邊形交點的演算法。

一個點的可見區域,被數個簡單多邊形遮擋

http://www.visilibity.org/

旋轉的掃描線。找到給定點到每個多邊形的兩條切線,以及到切點的距離。所有切線按照角度排序。依序掃描每條切線,用二元樹動態維護每個多邊形的可見順序。時間複雜度O(NlogH),N是所有頂點的數目,H是所有多邊形的數目。

比較容易實作的方式。找到給定點到各頂點的射線,以及到頂點的距離。所有射線按照角度排序。依序處理每條射線,用二元樹動態維護每條邊的可見順序。時間複雜度O(NlogN)。

Visibility Graph

大量的簡單多邊形頂點連線,連線不與障礙物交錯。亦可添加起點、終點、中繼點。主要用途是尋找最短路徑,繞過障礙物。

有時候主角不是點,而是多邊形。當主角只位移、不旋轉,則以Minkowski Sum補厚障礙物,並且相對地削薄主角、變成點。

UVa 10762 10376 ICPC 3306

Kernel of Polygon

凸多邊形的核

位於多邊形內部,可以看到整個多邊形內部的地方,稱作「核」。「核」是設置監視攝影機、地標、廣告看板的好地方。「核」可能是風水最旺的地方。

一個多邊形的核,即是所有邊的半平面交集。一個多邊形的核,可能是一個凸多邊形、一條線段、一個點、空集合。

凸多邊形的核,顯然就是原本的凸多邊形。

簡單多邊形的核

直接套用半平面交集演算法,時間複雜度O(NlogN)。借用Visibility of Polygon演算法的手法,時間複雜度得壓至O(N)。

ICPC 2512 UVa 588