Function(Under Construction!)

Function

finite step function ---->  cycle finding
infinite step function ---->  dynamic system / fractal

Recursion

一階微分 = 取前一個時刻
二階微分 = 取前兩個時刻
recurrence = 取很多個時刻

嚴格來說不是時刻,而是對什麼變數微分,可以是時間/空間/兩者都有
是時間的叫動態系統
是空間的叫做碎形
兩者都有的例如波方程、量子力學

markov process就是引入機率的動態系統 函數值是連續的
markov chain就是引入機率的動態系統 函數值是離散的

state是某個時刻的函數值  steady state是保持不動的函數值
(eigenfunction跟steady state有甚麼關係?好像沒有關係?)
stationary state = 變數兩者都有的 eigenfunction = eigenmode

Fixed Point

【函數的多軸表示法】

【函數的數線表示法】

function is number line. differentation is density.

Fractal(Under Construction!)

Fractal

數學密碼:奇妙的幾何形狀
The Code: Shapes
http://multimedia.lib.ntu.edu.tw/Book?BMID=9583#

動手玩碎形
http://www.math.mcgill.ca/jakobson/courses/math480-19-fractals.html
https://www.cc.gatech.edu/~turk/bio_sim/index.html
Julia Set
Mandelbrot Set
Dragon Curve
Space-filling Curve
Turtle Graphics
L System
http://www.matrix67.com/blog/archives/6231
http://w2.mat.ucsb.edu/200C/spring_2015/
http://algorithmicbotany.org/papers/
http://www.joesfer.com/?p=46
http://chaos.coa.edu/
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperOpenFileX.ashx?autoKey=360
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_map_examples_small.gif
http://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory

Newton Fractal

Dynamical System(Under Construction!)

Dynamical System

Lotka-Volterra Equation           生物系統
Lorenz Equation                   混沌系統
Turing Pattern
Gray-Scott Pattern   https://pmneila.github.io/jsexp/grayscott/
Conway's Game of Life
k-x k-y  bifurcation diagram  穩態變化
bifurcation diagram:遞迴公式,調整係數,觀察穩態。
bifurcation point:穩態中止之處。
Hopf bifurcation:穩態與循環交界之處。
stable region:穩態與循環之係數範圍。
Nodal Set:特徵函數,高度為零的等高線。
Nullcline:梯度場,向量為零的等高線。
Streamline:梯度場的向量的切線方向連線;勢能場的等高線的垂直方向。
isocline:導數相等之處。
nullcline:導數為零之處。
steady state:導數皆為零之處。走不動而停下來了。
stable:停在穩態、不斷循環。
unstable:走向無限。

電力線(流線)是另一種製圖方式,電流大小是電力線多寡,電流方向是電力線走向。

Hash Function

Hash Function

「雜湊函數」。輸入輸出都是數字的函數,但是有著形形色色的變種:限寬、均勻、保距、量化、混亂、單向、編碼。大家視情況需要,混用多個變種。

各種變種仍在發展中,以下只簡介。

1. hash function

限寬。限制輸出範圍。簡易方式是mod運算。

用途是縮減數字範圍。

2. uniform hash function

均勻。輸出數字使用機率均等。簡易方式是mod最大公因數。

用途是均勻分散儲存。知名應用是hash table。

3. isometric mapping / locality-sensitive hashing

保距。所有數對,變換前的差異,大致等於變換後的差異。簡易方式是線性變換。

同樣道理,還可以發明保長、保角、保秩、保序等變種。

用途是以雜湊值估計相似度。

4. quantization / projection

量化。刪除數字的細節,降低精確度。簡易方式是floor運算。

用途是簡化數字。知名演算法是PCA、KNN。

5. random hash function

混亂。輸出是固定的隨機數。簡易方式是以輸入數字生成隨機數、隨機排列。

6. cryptographic hash function

單向。難以從輸出推算輸入。簡易方式是餘數連乘、三角函數。

用途是密碼、摘要、簽章,讓外人難以偽造變換前的原始資料。知名演算法如SHA、MD5。

請見本站文件「Encryption」。

7. coding

編碼。輸入不是數字,而是其他元件,例如字串。簡易方式是先化作多項式、再化作數字。

用途是建立索引表,知名演算法如murmur。

請見本站文件「String」。